精品解析：河南省开封市新世纪高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

河南省开封市新世纪高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，．若，则（ ） A. 6 B. C. D. 2. 在中，已知，，则（ ） A B. C. 或 D. 或 3. 设复数z满足，则． A. B. 1 C. D. 2 4. 下列函数中，在R上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（ ）． A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 将的图象向右平移个单位长度，然后把所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到的函数图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若三角形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 10. 已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（ ） A B. C. 若，则 的最小值为2 D. 11. 已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______. 13. 设内角的对边分别为，且则________________ 14. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 16. 已知不共线的向量、，其中． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若，求与夹角的正切值． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 18. 已知向量的夹角为，且，若求： （1）； （2）. 19. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省开封市新世纪高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，．若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由向量，，且， 则，解得． 故选：B 2. 中，已知，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求得的值，结合大边对大角即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 即可得， 因为可知所以， 因为，所以或 故选：C. 3. 设复数z满足，则． A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得，根据模长定义求得结果. 【详解】由题意得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够利用复数的除法运算整理出复数. 4. 下列函数中，在R上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断． 【详解】中函数定义域是，中函数定义域是，其中是减函数，是增函数． 故选：D． 【点睛】本题考查函数单调性，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键． 5. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱底面半径为R，高为h，由题意列方程组求出R、h，即可求出圆柱的体积. 【详解】设圆柱底面半径为R，高为h， 设，解得， ∴圆柱的体积为． 故选：D 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 7. 将的图象向右平移个单位长度，然后把所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到的函数图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换分析求解即可. 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到， 然后把所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到. 故选：A. 8. 在三角形ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若三角形的面积为，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积公式以及余弦定理整理可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，则， 可得，且，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 则，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； ，因为，所以，故C正确； 在方向上的投影向量是，故D错误. 故选:AC. 10. 已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 的最小值为2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断. 【详解】设， 对A，，， 当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误； 对B，，则， 而，故，故B正确； 对C，若，即，即， 即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆， 的几何意义表示为点到点的距离，显然， 则点在圆外，则圆心到定点的距离， 则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，，， ， 而，故，故D正确； 故选：BD. 11. 已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据重心的性质及向量的运算、三角形面积公式求解判断． 【详解】如图，为的重心，则，A错误，B正确； ，C错误； 由得，D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可． 【详解】由题意，设母线长为， ∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径， 则有，解得， ∴该圆锥的母线长为. 故答案为：. 13. 设内角的对边分别为，且则________________ 【答案】 【解析】 【详解】由得由正弦定理得由余弦定理得 则 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值本题的突破点，然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值 14. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，结合，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，可得且， 则. 【小问2详解】 解：由向量，可得， 因为，可得， 即，解得. 16. 已知不共线的向量、，其中． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若，求与的夹角的正切值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数的值； （2）利用平面向量的数量积可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】（1）根据题意，向量与共线，可得， ； （2）， 所以，， 因为，则，因此，. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因， 所以, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以， 所以，解得， 所以 18. 已知向量的夹角为，且，若求： （1）； （2）. 【答案】（1）9 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义表达式进行计算即得； （2）根据向量的模的计算公式计算即得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因， 则 ， 故. 19. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长； （2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长． 【详解】⑴∵，，的面积为 ∴ ∴ ∴由余弦定理得 ∴ ⑵由（1）知中，， ∴ ∵,∴ 又∵ ， ∴在中，由正弦定理得 即,∴ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$