精品解析：浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高一年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若命题p：，且，则命题为（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 5. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列说法正确是（    ） A. 的图象关于直线对称 B. 的周期为 C. 是的一个对称中心 D. 在区间上单调递增 7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则（ ） A. B. 的虚部是 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是方程一个根 10. 已知非零向量，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为锐角 D. 已知，，，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（ ） A. 记的中点为，上存在一点，使得面∥面 B. 动点轨迹的长度为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 13. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为______. 14. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值； （3）若复数满足，求的最值． 16. 在中，点在边上，，，，． （1）求的模； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）若点在边上，求的范围． 17. 三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积． 18. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B值； （2）若，求的取值范围． 19. 已知函数，， （1）求的解析式； （2）关于不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高一年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为或， 又，所以. 故选：C. 2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断. 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若命题p：，且，则命题为（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，只需将存在量词改为全称量词，并否定结论即可得答案. 【详解】存在量词命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量词，并否定结论，故命题为或． 故选：B． 5. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. 的图象关于直线对称 B. 的周期为 C. 是的一个对称中心 D. 在区间上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案． 【详解】由函数， 由此可作出的函数图象，如图所示， 对于A中，由， 所以关于直线不对称，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误； 对于D中，因为，，， 所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误. 故选：B. 7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可. 【详解】因，由正弦定理可得：， 即，， 又，，故；由，解得； 由余弦定理，结合，可得， 即，解得，当且仅当时取得等号； 故的面积，当且仅当时取得等号. 即面积的最大值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则（ ） A B. 的虚部是 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以，故A正确； 易知的虚部是，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； 对于， 显然不符合题意，故D错误. 故选：AC 10. 已知非零向量，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 已知，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知可得，可判断A；两边平方可得，可得，可判断B；由已知可得，可判断C；，利用和向量的平行四边形法则可判断D. 【详解】对于A：由，可得，所以，故A错误； 对于B：由，两边平方得，所以， 又， 所以，故B正确； 对于C.：，由，可得，所以， 则，又，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，， 又，结合向量的平行四边形法则可得，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（ ） A. 记的中点为，上存在一点，使得面∥面 B. 动点轨迹的长度为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点，的中点，通过证明平面平面，从而判断A；对于B，结合A选项分析可得点轨迹为线段，从而判断B；由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断C；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可判断. 【详解】对于A，取中点，的中点，连接，则， 正方体中易知，从而， 又平面，而平面，所以平面， 又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等， 则是平行四边形，所以，同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 所以当点与点重合，即点为的中点时，有平面平面，故A正确； 对于B，平面平面，所以当时，平面， 即线段为点的轨迹，，故B不正确； 对于C，点到平面即平面的距离为， 而于三角形的面积而言，底边是固定的，而线段为点的轨迹， 当且仅当点与点重合时，此时点到的距离最短，且为， 综上所述，三棱锥体积的最小值为，故C正确； 对D，如图， 当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时, 所以在底面的射影为底面外心，, 所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球球心为O，半径为，由， ， 可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】化简式子，结合已知条件即可求出的值. 【详解】由题意，， ∴，， 故答案：. 13. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆可得，进而求得球表面积. 【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得， 可知，所以球的表面积. 故答案为： 14. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，过点作，结合直角三角形运算求解. 【详解】设，则， 在中，因为， 由余弦定理可得：，解得：， 则. 过点作， 由题意可得：， 则， ， 可得，， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值； （3）若复数满足，求的最值． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算及加法运算求出，再根据共轭复数的定义即可得解； （2）法一：将代入即可得解； 法二：根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，进而可得出答案. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 法一：因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 可得，即 所以，解得，； 法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根， 根据韦达定理得，， 解得； 【小问3详解】 设，则，即， 所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆， 表示复数对应的点与点间的距离， ， 则，. 16. 在中，点在边上，，，，． （1）求的模； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）若点在边上，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，两边平方可求； （2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值； （3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论. 【小问1详解】 由，可得，所以， 可得， 所以； 【小问2详解】 ， 又， 所以； 【小问3详解】 设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. 17. 三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明，即可得证； （2）根据线面平行可得，由等体积法求解. 【小问1详解】 在三棱柱中，，取中点F，连接DF，EF， ∵D和E分别是和的中点， ， 又面，面，且面，面， ∴//面，EF//面，又，面， ∴面//平面，而面DEF，故直线//平面． 法二，连接CE交于点G，连接CD交于点H，连接HG，如图， 在三棱柱中，，， ∴，， ∴，则，又面，面， ∴直线平面. 小问2详解】 如图， ∵直线//平面， ∴，又， 所以平行四边形边上的高， 由B到面的高，则. 18. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可； （2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； 【小问2详解】 由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，， （1）求的解析式； （2）关于的不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式进行化简，即可求解； （2）由（1）化简，并分离参数，利用换元法，构造法求出函数的最值，即可求解； （3）由（1）化简，结合条件将不等式化为，利用函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，，则， 所以函数的解析式； （2）由（1）和，可得， 即的解集为， 设，则，即， 又由函数在为单调递增函数， 所以当时，函数的最小值为，则， 即实数的取值范围是. （3）由（1）和，可得， 因为不等式的解集中正整数解恰好由3个， 所以当时，有， 若，则该不等式在上恒成立，与题设矛盾. 故，所以， 设不等式的解集为， 又由函数的性质和条件， 可得，所以， 解得，即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，不等式的恒成立问题的转化，以及换元思想和构成新函数思想的综合应用，同时考查了不等式恒成立问题的分离参数、转化最值的应用，着重考查了转化思想，换元和构造思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$