精品解析：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

复旦中学高一期末数学试卷 2024.06 一､填空题 1. 已知角终边经过点，则__________． 2. 已知复数满足，则__________ 3. 满足，角的集合为__________. 4. 已知函数（）是偶函数，则的最小值是______． 5. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________． 6. 若是实系数方程的一个虚根，且，则_________． 7. 若数列的通项公式为，则______时取到最大值. 8. 如图，在离地面高400热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________. 9. 已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是__________. 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 11. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数__________. 12. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________． 二､选择题 13. 已知为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ） A ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 16. 设无穷项等差数列的公差为，前n项和为，则下列四个说法中正确的个数是（ ） ①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三､解答题 17. 已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. （1）求； （2）若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 18. 设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列前项和，求使成立的的最小值． 19. 已知函数. （1）求解方程:; （2）设,求函数的单调递增区间; （3）在中,角所对应的边为.若的面积为.求的值. 20. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断数列是否具有性质并证明； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列通项公式. II卷 21. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________. 22. 已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________. 23. 若向量满足，，且，则的最小值是____________. 24. 已知函数，则的值为__________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦中学高一期末数学试卷 2024.06 一､填空题 1. 已知角终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵角终边经过点，∴，∴，故答案为． 2. 已知复数满足，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【详解】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 3. 满足，的角的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助余弦函数的性质计算即可得. 【详解】由，则， 即，又， 则，有， 当，有， 故角的集合为. 故答案为：. 4. 已知函数（）是偶函数，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 5. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，，再利用无穷等比数列和的公式求解即可. 【详解】因为无穷等比数列，，则，， 又， 所以，解得或（舍）. 故答案为：. 6. 若是实系数方程一个虚根，且，则_________． 【答案】4 【解析】 【详解】设,则方程的另一个根为,且， 由韦达定理直线 所以 7. 若数列的通项公式为，则______时取到最大值. 【答案】 【解析】 【分析】由判断出变号的相邻两项即可求解. 【详解】令，解得， ∵, ∴前项为正数，从项开始为负数， ∴当时，取到最大值， 故答案为： . 8. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________. . 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的. 9. 已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设，结合向量数量积的概念可得结果. 【详解】以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 可得，所以， 故，当时，最大，最大值为9. 故答案为：9. 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 11. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数__________. 【答案】9 【解析】 【分析】设的公差为，由题意基本量化简得到.，代入基本量，化简得到，通过的范围进而得到的范围. 【详解】设等差数列的公差为，，，即.， ，得到，将代入，得到，即. ，，即， 得到，，，，所以元素个数为9个. 故答案为：9. 12. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题. 【详解】以 为x轴， 为y轴，建立直角坐标系如下图，设 ， 则 ， ， 即为平面内一点 到 三点的距离之和， 由费马点知：当点 与三顶点 构成的三角形ABC为费马点时 最小， 将三角形ABC放在坐标系中如下图： 现在先证明 的三个内角均小于 ： ， ， ， 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 是等腰三角形， 点P必定在底边BC的对称轴上，即y轴上， ， ，即 ， 现在验证： ， ， ，同理可证得 ， 即此时点 是费马点，到三个顶点A，B，C的距离之和为 ，即的最小值为 ； 故答案为：. 二､选择题 13. 已知为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立. 【详解】若，则，则，故充分性成立； 若，设，则，， 则，或与不一定相等，则必要性不成立， 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 14. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得. 【详解】对A：，又是偶函数，故A正确； 对B：为奇函数，故B错误； 对C：周期为，故C错误； 对D：为奇函数，故D错误. 故选：A. 15. 欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】A 【解析】 【分析】对①，通过欧拉公式，，算出即可； 对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可. 【详解】对①，由题意，，正确； 对②，原式== =，正确. 故选：A. 16. 设无穷项等差数列的公差为，前n项和为，则下列四个说法中正确的个数是（ ） ①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可得,可看作关于的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可 【详解】由等差数列的求和公式可得, 对于①,若,由二次函数的性质可得数列有最大项,故①正确； 对于②,若数列有最大项,则对应抛物线开口向下,则有,故②正确； 对于③,若对任意,均有,对应抛物线开口向上,则有,故数列是递增数列,故③正确； 对于④,若数列是递增数列,则对应抛物线开口向上,则,但无法确定恒成立,故④错误； 故正确的有3个, 故选:C 【点睛】本题考查等差数列求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用 三､解答题 17. 已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. （1）求； （2）若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【小问1详解】 由得：， . 【小问2详解】 又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 18. 设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列前项和，求使成立的的最小值． 【答案】(1).(2)10. 【解析】 【详解】试题分析：（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值 试题解析：（1）由已知，有， 即． 从而． 又因为成等差数列，即． 所以，解得． 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列． 故． （2）由（1）得．所以． 由，得，即． 因为， 所以．于是，使成立的n的最小值为10． 考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和 19. 已知函数. （1）求解方程:; （2）设,求函数的单调递增区间; （3）在中,角所对应的边为.若的面积为.求的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1)将代入方程,用反三角函数解出即可; (2) 将代入用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可; (3)先求出的值,再根据面积公式求出的值,根据的值求出角的值,再用余弦定理求出,再根据正弦定理即可求出. 【小问1详解】 解:由题知, 即, 解得或; 即 【小问2详解】 由题, 即 , 的单调递增区间为: ,, 解得:,, 故的单调递增区间为; 【小问3详解】 由 , 或, , , 当时, 中由余弦定理得: , 解得, 此时在中由正弦定理得: , 解得, 当时, 在中由余弦定理得: , 解得, 此时在中由正弦定理得: , 解得, 综上:或. 20. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断数列是否具有性质并证明； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】（1）分别为5、11 （2）数列具有性质，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列数列具有性质可得为等比数列，根据等比数列性质可求得答案； （2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明； （3）求出，可得，进而推出，分n为奇偶数，求出，综合可得答案. 【小问1详解】 由题意数列具有性质，为等比数列，设公比为q， 由，得， 又； 【小问2详解】 数列具有性质； 证明：因为， 所以， 则，即为等比数列， 所以数列具有性质. 【小问3详解】 因为，则，， 故，适合该式， 故， 所以由得， 则， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ， 故. 【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题. II卷 21. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意作出两个函数图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解. 【详解】如图可知：函数和直线共有5个交点，依次为，其中， ∵函数和直线均关于点对称，则关于点对称， ∴，且， 故. 故答案为：10. 22. 已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________. 【答案】31 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论求出的值，即可求得的最小值. 【详解】设，由题意可得，，恰有一个为， 如果，那么，，，， 同样也有，，，，， 全部加起来至少是； 如果，那么，，， 同样也有，，，，， 全部加起来至少是， 综上所述，最小应该是31. 故答案为：31. 23. 若向量满足，，且，则的最小值是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，由条件可知，画出图形，由向量加减法及性质可得，利用两边之和不小于第三边求解. 【详解】设, 因为， 所以, 即, 所以, 取中点如图， 所以 ， 当且仅当三点共线时取等号. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，向量加法的几何意义，考查了数形结合思想，属于难题. 24. 已知函数，则的值为__________. 【答案】2023 【解析】 【分析】利用函数的对称性得到，然后计算即可. 【详解】根据题意，函数，则， 故，， 故答案为：2023. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $