精品解析：上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

上海南汇中学2023 学年第二学期期末考试 高二数学 满分：150分 完成时间：120分钟 命题人 ：高一数学命题组 一、填空题：（本大题满分54分 ，其中1-6题每小题4分 ，7-12题每小题5分 ） 1. 已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝_____. 2. 若，则______． 3. 已知函数，若是函数的驻点，则实数___________ 4. 随机变量服从正态分布，若，则________． 5. 直线与直线的夹角大小为__________． 6. 已知x､，且，则的最大值为___________ 7. 设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、 ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是_______． 8. 设表示在处的导数值， 已知，则___________ 9. 设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则___________ 10. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程． x(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y(℃) 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为_________． 11. 甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 12. 已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为__________. 二、选择题（本大题满分 18分 ， 13-14 每小题4分 ， 15-16 每小题5分 ） 13. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A 13 B. 12 C. 9 D. 6 15. 某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共 5题 ，满分 78分 ） 17. 已知不等式的解集为A，不等式的解集为B． （1）求A∩B． （2）若不等式在上有解，求实数m的取值范围． 18 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数单调区间． 19. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分 款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）求这四款车得分的平均数． （2）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 （3）为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望． 附： ； 20. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线的方程． （2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 21. 已知函数. （1）求证：. （2）若对任意恒成立，求的最小值. （3）求证：的图象恒在直线上方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海南汇中学2023 学年第二学期期末考试 高二数学 满分：150分 完成时间：120分钟 命题人 ：高一数学命题组 一、填空题：（本大题满分54分 ，其中1-6题每小题4分 ，7-12题每小题5分 ） 1. 已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝_____. 【答案】{﹣1，0}##{0，-1} 【解析】 【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可. 【详解】解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0.5}，B＝{﹣1，0，1}， 所以A∩B＝{﹣1，0}. 故答案为：{﹣1，0}. 2. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算法则直接计算即可. 【详解】，则，故. 故答案为：. 3. 已知函数，若是函数的驻点，则实数___________ 【答案】5 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可. 【详解】函数，求导得， 由是函数的驻点，得， 所以. 故答案为：5 4. 随机变量服从正态分布，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】随机变量服从正态分布，可得正态分布曲线关于对称， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 5. 直线与直线的夹角大小为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出两条直线的倾斜角，可得两条直线的夹角． 【详解】直线的斜率，可得倾斜角为， 因为直线与轴垂直，其倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 6. 已知x､，且，则的最大值为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，变形可求的最大值即可. 【详解】因为且， 所以，即， 当且仅当，即且时取等号， 此时取最大值为. 故答案为：. 7. 设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、 ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 8. 设表示在处导数值， 已知，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出. 【详解】由，得 ， 令，则，解得， 故答案为： 9. 设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再利用二项分布概率公式求值即可. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故答案为： 10. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程． x(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y(℃) 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定数表求出样本的中心点，再求出值并求出预报值. 【详解】依题意，，， 于是，解得，则y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以该地当时的气温预报值为（℃）. 故答案为： 11. 甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 12. 已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质结合等面积法求出的表达式，进而结合二次函数性质，求最值，求出取得最小值时M点坐标，再求出以为圆心，为半径的圆的方程，和相减，即可求得答案. 详解】如图，设，设与交于， 由题意知，， 中，， 而，则， 当最小时，取最小值. 而， 当且仅当时，取得最小值，此时，，， 则以为圆心，为半径的圆的方程为：， 与圆的方程相减，可得的直线方程为：，即， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于利用圆的切线性质推出的表达式，结合二次函数性质求最值求出取最小值时的M点坐标. 二、选择题（本大题满分 18分 ， 13-14 每小题4分 ， 15-16 每小题5分 ） 13. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特值或不等式的性质可得答案. 【详解】对于A， ，而，A不成立； 对于B，，而，B不成立； 对于C，，因为，所以，，即，C不成立； 对于D，，因为，所以，即，D成立. 故选：D 14. 已知，是椭圆：两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 15. 某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，由此可得，再由求其最大值，并确定对应的的值即可. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中，， 当时，由， 得，化简得， 解得，又，∴，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 故选：C. 16. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 三、解答题（本大题共 5题 ，满分 78分 ） 17. 已知不等式的解集为A，不等式的解集为B． （1）求A∩B． （2）若不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出A、B，再求出A∩B即可． （2）参变分离求出，转化为求，上的最小值即可． 小问1详解】 根据题意可以解出， ， 则． 【小问2详解】 不等式在上有解等价于，上有解， 令， 则，故. 则实数m的取值范围为 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【小问1详解】 ，则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为． 19. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分 款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）求这四款车得分的平均数． （2）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 （3）为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望． 附： ； 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用题意写出列联表，再结合公式求解即可； （3）利用超几何分布计算概率，从而求解分布列和期望. 【小问1详解】 由题意，这四款车得分的平均数为， 所以这四款车得分的平均数为3. 【小问2详解】 由题意，列联表如下： 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 则， 所以能在犯错误概率不超过的前提下认为汽车的性能与款式有关. 【小问3详解】 由题意可得：样本评分不大于2的基础版车主中，基础版1车主有4人，基础版2车主有8人， 从这12人中随机抽取3人，其中含基础版1的人数服从超几何分布，则的所有可能取值为 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 20. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线的方程． （2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【小问1详解】 由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． 【小问3详解】 由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 21. 已知函数. （1）求证：. （2）若对任意恒成立，求的最小值. （3）求证：的图象恒在直线上方. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性，求出函数的最小值即可. （2）令，利用导数确定单调性求出的最小值，等价变形不等式成立，构造函数并利用导数求出的最大值，即可求出的最小值. （3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论. 【小问1详解】 函数，求导得， 则在上单调递增，所以. 【小问2详解】 令，，求导得，即函数在上递增， 则，而对任意恒成立，因此； 要对任意恒成立，只需在恒成立， 令，，求导得，由，得， 当时，，函数在上递增，成立，于， 当时，，函数在上递减，，不符合题意， 当时，则当时，，函数在上递减，此时，不符合题意， 因此，从而， 所以的最小值为. 【小问3详解】 令，， 求导得，令，，求导得， 则函数在上单调递增，显然， 于是存在，使得，即，当时，， 当时，，则函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上递减， 即，则， 从而，，即， 所以的图象恒在直线上方. 【点睛】思路点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$