精品解析：2024年四川省乐山市中考数学试题

乐山市2024年初中学业水平考试 数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 移项可得一元一次不等式的解集． 【详解】解：， 解得，， 故选：A． 2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ） A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵 C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提． 得出各个选项中的几何体的俯视图即可判断． 【详解】解：A．俯视图是圆形，因此选项A不符合题意； B．俯视图不是四边形，因此选项B不符合题意； C．俯视图不是四边形，因此选项C不符合题意； D．俯视图是正方形，因此选项D符合题意； 故选：D． 3. 年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破 亿元，居全省地级市第一．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中 ， 的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】边数为n的多边形的内角和，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到． 【详解】解：三角形的内角和等于 四边形的内角和等于 五边形的内角和等于 六边形的内角和等于 所以三角形的内角和最小 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和是解此题的关键． 5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ） 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它 人数（人） 30 5 15 8 2 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案． 【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为： （人）， 故选：D． 6. 如图，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形 是平行四边形，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形 是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不可以判定四边形 是平行四边形，例如等腰梯形也可以满足一组对边平行，另一组对边相等，故此选项符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形 是平行四边形，故此选项不符合题意； 7. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为，当时， ，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为， 当时， ， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 10. 如图，在菱形 中， ， ，点P是 边上一个动点，在 延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径． 过点C作 交 于点H，根据 ，四边形 是菱形，得出 垂直平分 ，再证明 垂直平分 ，点M在 上运动，根据解直角三角形 ．即可求解． 【详解】解：过点C作 交 于点H，连接 ， ∵ ，四边形 是菱形， ， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴ 垂直平分 ， ∵ ， ∴， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴，即 垂直平分 ， ∵交于点M． ∴ ∴点M在 上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， 此时，∵ ，四边形 是菱形， ， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确把握运算法则是解题关键． 12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______． 【答案】66 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得． 【详解】解：将这组数据重新排列为57，58，66，69，71， 所以这组数据的中位数为66． 故答案为：66． 13. 如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义． 根据两直线平行同位角相等得到，再根据平角的定义得到，从而可计算出． 【详解】解：如图， ， ， 而， ， 故答案为：． 14. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 15. 如图，在梯形 中， ，对角线 和 交于点O，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为 ，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为 ， ∴，即， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）； ① ；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______． 【答案】 ①. ③ ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）① 中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取 时， ，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）① 中， 时，， 不存在“近轴点”； ②， 由对称性，当时，， 不存在“近轴点”； ③， 时， ， ∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③ 故答案为：③； （2）中， 时， ， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴， ∴； 当直线过时，， ∴， ∴； ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的关键． 先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程． 【详解】解：①＋②，得． 解得 ． 把 代入②，得． 原方程组的解是． 19. 如图， 是 的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是 的平分线， ． 在 和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． （1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】（1）③ （2） 解： 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； 【小问2详解】 略 21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 【答案】（1）240，35 （2） 补全图形如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件 或事件 的概率．也考音了统计图． （1）根据：该项所占的百分比 该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次抽取的游客总人数为(人)， ， 故答案为：240，35； 【小问2详解】 “甜皮鸭”对应的人数为(人)； 【小问3详解】 假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”， 画树状图如图所示， 共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2， ∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是． 22. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点 的一次函数的图象与 轴交于点． （1）求 、 的值和一次函数的表达式； （2）连接 ，求点 到线段 的距离． 【答案】（1）， ， （2）点 到线段 的距离为 【解析】 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得 、 的值；根据一次函数过点，，代入求得 ， ，即可得到表达式； （2）连接 ，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，可推出 轴， 、 、的长度，然后利用勾股定理计算出 的长度，最后根据，计算得 的长度，即为点 到线段 的距离． 【小问1详解】 点、在反比例函数图象上 ， 又 一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； 【小问2详解】 如图，连接 ，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段 的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺 （2）能， 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，， ，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出 ． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，， ，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． 【小问2详解】 能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 24. 如图， 是 的外接圆， 为直径，过点C作 的切线 交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若 垂直平分 ，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接 ．                图1 ∵ 为 的切线， ∴ ，即． 又∵ 为直径， ∴ ，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接 ．则 ，即．由 为直径，可得 ，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由 垂直平分 ，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接． 图2 ∵ 垂直平分 ， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵ ， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且 ）与y轴交于点A． （1）若 ，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把 代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【小问1详解】 解：当 时，抛物线． ∴顶点坐标． 【小问2详解】 令 ，则， ∴， ∵线段 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵ ， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且， ，，求 的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转 得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ∵ ，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在 和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，， ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足的周长等于正方形 的周长的一半，连结，分别与对角线 交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图5，在 中，， ，，点D、E在边 上，且．设，，求y与x的函数关系式． 【答案】【问题解决】①；②；③5； 【知识迁移】， 证明：如图，将绕点 逆时针旋转 ，得到． 过点 作交边于点 ，连接． AI    由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵ 为正方形 的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】； 【问题再探】 【解析】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点 逆时针旋转 ，得到．过点 作交边于点 ，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线 交 延长线于 点，交 延长线于 点，将 绕着点 顺时针旋转 ，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交 于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点 逆时针旋转 ，得到，连接．过点 作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点 作交 于点、交于点 ．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出 ，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转 得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ∵ ，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在 和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】略 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线 交 延长线于 点，交 延长线于 点， 将 绕着点 顺时针旋转 ，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交 于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点 逆时针旋转 ，得到，连接．过点 作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点 作交 于点、交于点 ． 由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市2024年初中学业水平考试 数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ） A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵 C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎 3. 年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破 亿元，居全省地级市第一．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ） 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它 人数（人） 30 5 15 8 2 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 6. 如图，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形 中， ， ，点P是 边上一个动点，在 延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______. 12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______． 13. 如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么______． 14. 已知，，则______． 15. 如图，在梯形 中， ，对角线 和 交于点O，若，则______． 16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）； ① ；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 如图， 是 的平分线，．试说明：． 20. 先化简，再求值：，其中 ．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当 时，原式． （1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 22. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点 的一次函数的图象与 轴交于点． （1）求 、 的值和一次函数的表达式； （2）连接 ，求点 到线段 的距离． 23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 24. 如图， 是 的外接圆， 为直径，过点C作 的切线 交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若 垂直平分 ，，求阴影部分的面积． 25. 在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且 ）与y轴交于点A． （1）若 ，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且，，，求 的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转 得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ∵ ，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在 和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，， ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足的周长等于正方形 的周长的一半，连结，分别与对角线 交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图5，在 中，， ，，点D、E在边 上，且．设，，求y与x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $