精品解析：2024年辽宁省沈阳市第一二六中学九年级第三阶段限时作业数学试题

九年数学综合测试 一、选择题（共39分） 1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入5元记作元，支出6元记作（ ） A. 6元 B. 元 C. 元 D. 5元 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意得：支出6元记作元． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质，从而完成求解． 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形得出这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，，由此即可得出答案． 【详解】解：这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，， 故这个几何体的主视图是 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则处理． 【详解】解：A. ，原计算错误，本选项不合题意； B ，原计算错误，本选项不合题意； C. ，计算正确，本选项符合题意； D. ，原计算错误，本选项不合题意； 故选：Ｃ． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的运算，积的乘方，幂的乘方；掌握幂的运算法则是解题的关键． 4. 如图，在中，，点是延长线上一点，过点作．若，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据EF∥BC，可得∠CBD =∠ADE =70°，根据外角的性质，可得∠C=∠CBD－∠A=40°． 【详解】解：∵EF∥BC， ∴∠CBD =∠ADE =70°， ∵∠CBD是△ABC的外角， ∴∠C=∠CBD－∠A=40°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和外角的性质定理，熟记性质定理是解题关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等 C. 正五边形是中心对称图形 D. 单项式的次数是4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义求解． 【详解】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题； B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题； C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题； D. 单项式的次数是3，故此命题是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义，熟练掌握上述知识是关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即． 故选：C． 8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：A． 9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，它系统地总结战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成．《九章算术》卷第七“盈不足”原文如下：今有共买琎（注释：琎（jīn），像玉的石头），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，如果每人出钱，还多出钱；如果每人出钱，则还差钱．问人数、琎价各是多少？若设有人，琎价为钱，依题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，琎价为钱，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，琎价为钱， 由题意可得，， 故选：． 10. 如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分点在上，分别求得与的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， 当点在上时，即时， ∵，， ∴， 当点在上时，即时， 如图所示，连接， ∵， ∴ ∴, 综上所述，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 二、填空题（共15分） 11. 因式分解：xy3－4xy＝_______． 【答案】 【解析】 【详解】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解：xy3-4xy =xy（y2-4） =xy（y+2）（y-2）． 故答案为xy（y+2）（y-2）． 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 如图，两个直角三角板与按如图所示的方式摆放，其中，，，且共线，将沿方向平移得到，若点落在上，则平移的距离为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，设平移的距离为，则可表示出，再根据含角的的性质可得，从而列出含的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到 ∴ ∵若设平移的距离为，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴在中，由勾股定理可推导出 ∴ ∴ ∴平移的距离为． 故答案是： 【点睛】本题考查了平移的性质、含角的直角三角形的性质以及平行线的性质，此题还可有其他方法来解决比如锐角三角函数、相似三角形以及列一元二次方程等，但因是八年级试题故选择的是列一元一次方程求得最后结论． 13. 一个不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出2个球，摸出两个颜色不同的小球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有12种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种， ∴摸出两个颜色不同的小球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查随机事件的概率，可用列表法和树状图法来解，属于中考常考题型． 14. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点E、O，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，在中，由勾股定理得出，得出方程，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于的方程． 15. 如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且边始终平行水平方向，当在滑动过程中，点B落在y轴上时，C点坐标是：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，正弦等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，正弦是解题的关键． 由，可得顶点坐标为，点B落在y轴上时，如图，作于，则，的横坐标等于等边三角形边长的一半，为，则与顶点重合，由，可得． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 点B落在y轴上时，如图，作于， ∴，的横坐标等于等边三角形边长的一半，为， ∴与顶点重合， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减运算、特殊角的三角函数及负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据去绝对值、特殊角的三角函数及负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）先变成同分母的分式，再进行计算即可． 【详解】解：（1） （2） 17. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元 （2）购买吊兰的数量最多为17盆 【解析】 【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解． 【小问1详解】 解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：当时，则， ∴是原方程的解， ∴， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴m取最大值为17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键． 18. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 【答案】（1），，； （2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； （3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【解析】 【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比； （2）根据方差越小越稳定即可判断； （3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可． 【小问1详解】 解：由题意可知架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为，即； 由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为， 则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：， 故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为： B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为： 即 故答案为：，，； 【小问2详解】 B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； 【小问3详解】 架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架， 答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 19. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm． （1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长； （2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）． 【答案】（1）12cm （2）AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm 【解析】 【分析】（1）在直角三角形，根据正弦函数值的定义代值求解即可； （2）根据对称性可知的位置有两种情况，分情况利用正弦函数值的定义代值求解即可． 【小问1详解】 解：∵∠BAC＝24°，CD⊥AB， ∴sin24°＝， ∴CD＝ACsin24°＝30×0.40＝12cm； ∴支撑臂CD的长为12cm； 【小问2详解】 过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： 当∠BAC＝12°时， ∴sin12°＝＝， ∴CE＝30×0.20＝6cm， ∵CD＝12， ∴DE＝， ∴AE＝＝12cm， ∴AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm． 【点睛】本题考查实际背景下的三角函数值求线段长，解决问题的关键是读懂题意，找到直角三角形利用三角函数值的定义求解． 20. 某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______． （2）求W与x之间的函数关系式 （3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）直接利用题意用含x的式子表示y即可； （2）将每盒利润乘以销量即可表示W， （3）利用二次函数的图象与性质即可求解． 【小问1详解】 解：价格每提高1元，平均每天少销售2盒， ∴价格提高元，每天少销售盒， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， 故W与x之间函数关系式为． 【小问3详解】 ∵， ∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大， ∴当时，， ∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是理解题意，正确列出表达式，能利用二次函数图形与性质求出限定范围内的最值． 21. 已知：如图1，是的直径，是弦，垂直于F交于E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． （3）如图2，利用尺规作图，连接，在直径上确定一点P，使． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由同弧对的圆周角相等得，结合，得，再由垂直得，从而，即可证明结论成立； （2）连接，则，由（1）知，则得，则有；设，由勾股定理求得，则可求得x的值，进而求得结果； （3）过点E作的平行线交于点P，则点P即可所求作的点． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； ， ， ， 即， 因为圆的半径， 故是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是直径，， ，； 由（1）知，， ， ； 设，由勾股定理求得， ， 即， ； 【小问3详解】 解：过点E作的平行线交于点P，则点P即可所求作的点． 连接，由，则， 又O是中点，则， 因为 ， ， 则． 【点睛】本题考查了相似三角形的的判定与性质，切线的判定，直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等，勾股定理，尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线等知识，熟练运用这些知识是解题的关键． 22. （1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得，再证明即可； （2）连接，过N作于G，依题意得四边形是矩形；首先证明四边形是平行四边形，从而得；设，由面积关系得，从而由勾股定理得；依题意得四边形是矩形，则有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得结果； （3）分两种情况考虑：①时；②时，分别利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：正方形中，； 由折叠性质得，； ，； ， ， ； ； （2）如图，连接，过N作于G，则， 在矩形中， ，，； 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ； 由折叠知，， 设，由于的面积与的面积比为， 即， ； ，，； 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理求得， ； （3）由于四边形是菱形， 则； ①如图，当时； 延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R； 设，则； ， ， ， 则； 由折叠知：，， 平分， ； ，， 上两式相比并化简得：， 即，故有：； ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ； ②当时， 如图，延长交延长线于点，过点作于， 则； 设，则； ， ， ， ； 由折叠性质得：，； 与前一情况同理，得：， 即， ； ， ， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题是相似三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性质等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，难度大，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定与性质是关键． 23. 若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． （1）如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． （2）若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 【答案】（1）①或；②或 （2）①或；②m的值为或 【解析】 【分析】（1）①分两种情况：一次函数经过A、C两点时；一次函数经过B、D两点时；分别利用待定系数法即可求解； ②设，则可得点B的坐标，由点B在图象上，可求得t的值，进而求得点A的坐标； （2）①由待定系数法求出抛物线的解析式，并求出其顶点坐标，由题意得两个不等式组：或，解不等式组即可； ②分四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：点A的坐标为，轴，，， ； 当一次函数经过A、C两点时， ，解得：， ； 同理，当一次函数经过B、D两点时，； 故答案为：或； ②设， 轴，，， 点B的坐标， 点B在图象上， ， 解得：； 当时，，此时； 当时，，此时； 点A的坐标为或； 【小问2详解】 解：①，，轴， ； 经过A，C两点， ，解得：， ； ， 顶点坐标为； ∵抛物线与矩形有且仅有两个交点， 或， 解得：或； ②由（2）①知，， 当时，；当时，； 下面分四种情况考虑： （一）当，即时， 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （二）当，即，且时， 当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （三）当，即时， 当时，函数值在顶点取得最小值， 若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； （四）若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； 综上，m的值为或． 【点睛】本题是三种函数的综合，考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，涉及分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年数学综合测试 一、选择题（共39分） 1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入5元记作元，支出6元记作（ ） A. 6元 B. 元 C. 元 D. 5元 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点是延长线上一点，过点作．若，则的度数为（ ） A 20° B. 30° C. 40° D. 50° 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 菱形四条边相等 C. 正五边形是中心对称图形 D. 单项式的次数是4 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，它系统地总结战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成．《九章算术》卷第七“盈不足”原文如下：今有共买琎（注释：琎（jīn），像玉的石头），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，如果每人出钱，还多出钱；如果每人出钱，则还差钱．问人数、琎价各是多少？若设有人，琎价为钱，依题意得（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 因式分解：xy3－4xy＝_______． 12. 如图，两个直角三角板与按如图所示的方式摆放，其中，，，且共线，将沿方向平移得到，若点落在上，则平移的距离为 _______ ． 13. 一个不透明袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出2个球，摸出两个颜色不同的小球的概率为_____． 14. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点E、O，连接，则的长为______． 15. 如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且边始终平行水平方向，当在滑动过程中，点B落在y轴上时，C点坐标是：________． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 18. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 19. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm． （1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长； （2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）． 20. 某文具商店销售进价为元/盒彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______． （2）求W与x之间的函数关系式 （3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 已知：如图1，是的直径，是弦，垂直于F交于E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． （3）如图2，利用尺规作图，连接，在直径上确定一点P，使． 22. （1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 23. 若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． （1）如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． （2）若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$