精品解析：上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

曹杨二中2023学年第二学期高二年级数学期末 2024．06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知数列为正项等比数列，，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】等比数列中， 因为，所以， 又为正项的等比数列，所以. 故答案为：3. 2. 曲线在点处的切线斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解. 【详解】因为，则， 可知曲线在点处的切线斜率. 故答案为：. 3. 在二项式的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】设展开式的第项为含的项， 则， 由, 所以的系数为. 故答案为：10 4. 若随机变量X服从标准正态分布，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 5. 一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】每1粒种子发芽的概率为，发芽种子数量， 所以发芽种子数量的方差是. 故答案为： 6. 将序号分别为的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，将序号分别为的4张参观券分成三组，，，每组分给人，有种分法，再利用分步计数原理，即可求出结果. 【详解】将序号分别为的4张参观券分成三组，且2张参观券连号在一组， 有，，三种情况， 每组分给人，有种，所以不同的分法种数为， 故答案为：. 7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5 维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是______． 【答案】5.66 【解析】 【分析】先利用线性回归方程必过样本中心点，求出，再用回归方程进行估计. 【详解】因为，， 由利用线性回归方程必过样本中心点，得：， 所以当时，. 故答案为：5.66 8. 已知数列满足：（为正整数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知式减去的递推式可得解. 【详解】当时，， 当时，， ， 两式相减得，可得， 综上，. 故答案为：. 9. 已知袋中有（为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别计算出任取两个球和取出的两球是一黄一红的种类数，利用概率计算公式可得出的表达式，再利用基本不等式和为正整数即可求得的最大值. 【详解】根据题意可得，黄球8个，红球个，从中任取两个球总共有种， 取出的两球是一黄一红总共有种； 所以从袋中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率； 令，利用基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 但为正整数，所以当时，；当时，； 即当或时，的最小值为， 所以， 即的最大值为 故答案为： 10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可. 【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 而，，两两互斥，和为，，，， 记第二次抽到3号球的事件为B， ． 故答案为: 12. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分 13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 学生身高和体重没有相关性 B. 学生身高和体重呈正相关 C. 学生身高和体重呈负相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【解析】 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 14. 已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项. 【详解】取，则，而为上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 取，，则是上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件， 故选：D. 15. 设，，随机变量X的分布列是（ ） a 则方差（ ） A. 既与有关，也与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与有关，但与无关 D. 既与无关，也与无关 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】由分布列可得， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式. 16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式求出，再取一个单调递增函数，按给定的条件使方程有正整数解的函数个数即可判断. 【详解】对于①，数列单调递增，令函数，显然，由， 得，整理得，此方程有正整数解， 如方程中取，则，即， 对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，①错误； 对于②，数列单调递增，，令，由， 得，取，显然对每一个正整数都有唯一的正数， 并且不同的值，值不同，因此与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，②正确， 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题（本大题满分78分） 17. 袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． （1）采用不放回摸球，求X的分布； （2）采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，依据超几何分布的公式计算即可； （2），依据二项分布写出分布列，计算期望和方差即可. 【小问1详解】 各次试验的结果不独立，故X服从超几何分布. ，其中. X的分布为 X 0 1 2 P 【小问2详解】 每次摸到黑球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故. ，其中. X的分布为， X 0 1 2 3 P 期望. 18. 设，已知函数． （1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； （2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；减区间是，增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【小问1详解】 由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. 【小问2详解】 由得： ① 时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ② 时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增 ， 综上可得 19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】（1）有关 （2）①，不独立，理由如下： 因为，所以事件、不独立； ②977 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【小问1详解】 提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． 【小问2详解】 ①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件、不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 20. 已知数列的各项均为正数，，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． （3）设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 （3）4139166 【解析】 【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，，列不等式组求数列的最大项，进而分析判断； （3）由题意可得：，，分析可知数列的前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为的各项均为正数，，且， 则，可得， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列． 【小问2详解】 不存在，理由如下： 由（1）可得：， 则， 令，即，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为， 所以不存在正整数m，使得成立. 【小问3详解】 由（2）可得：，其前n项和为； 由题意可知：，其前n项和为； 因为，， 且， 对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项， 所以. 21. 已知，设函数的表达式为（其中） （1）设，，求曲线在点处的切线方程； （2）设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； （3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用导数求函数在某点处的切线方程即可； (2)利用极值点等价于导数值为零的点，且导数零点的左右两侧有正负，通过对导函数是二次函数的零点进行分析即可得解； (3)利用换元思想，把，即知，再利用二项式展开式和均值不等式，即可证明不等式. 【小问1详解】 由，，可知，则， 当时，， 所以在点处的切线方程为：，即为； 【小问2详解】 当时，由，则， 即， 由在上有两个不同的极值点，则在内有两个解， 即由等价于， 作出二次函数图象， 因为当时，， 结合图像可知：当时，方程在内有两个解, 即b的取值范围; 【小问3详解】 证明：依题意，，，且，， 令，则 所以 而 ， 则 又，且，当且仅当时等号成立，所以， 同理，，……，且均在时等号成立， 所以 ，即得证． 【点睛】思路点睛：首先对令，则，从而把原不等式变为关于正数的不等式， 其次就是利用二项式展开式和作差法来构造两两组合，从而证明每一项成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹杨二中2023学年第二学期高二年级数学期末 2024．06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知数列为正项等比数列，，，则______． 2. 曲线在点处的切线斜率为_____________. 3. 在二项式的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 4. 若随机变量X服从标准正态分布，则______． 5. 一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______． 6. 将序号分别为的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______． 7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5 维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是______． 8. 已知数列满足：（为正整数），则______． 9. 已知袋中有（为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为__________. 10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________. 12. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分 13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 学生身高和体重没有相关性 B. 学生身高和体重呈正相关 C. 学生身高和体重呈负相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 14. 已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 设，，随机变量X的分布列是（ ） a 则方差（ ） A. 既与有关，也与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与有关，但与无关 D. 既与无关，也与无关 16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分） 17. 袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． （1）采用不放回摸球，求X的分布； （2）采用有放回摸球，求X的分布、期望． 18. 设，已知函数． （1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； （2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 20. 已知数列的各项均为正数，，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． （3）设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 21. 已知，设函数的表达式为（其中） （1）设，，求曲线在点处的切线方程； （2）设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； （3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $