精品解析：湖南省邵阳县第二高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

邵阳县二中2024年上学期高一期中考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的定义判断即可. 【详解】因为，所以复数的虚部为. 故选：A 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量加法的坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3. 空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直 【答案】C 【解析】 【分析】应用线面垂直的性质得出. 【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 故选：C. 4. 下列几何体中为球的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间几何体的特征判断即可. 【详解】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为球，D选项可能为棱台. 故选：C 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 7. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 8. 在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得，所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】只需判断两个向量不共线即可. 【详解】对于A：因为，，则，所以不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，，所以，即，所以不能作为一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以与不共线， 所以与可以作为一组基底，故C正确； 对于D：因，所以与不共线， 所以与可以作为一组基底，故D正确. 故选：CD 10. 下列结论不正确的是（ ） A. 且是的充要条件 B. 对于任意向量，都有 C. 若，则与中至少有一个为 D. 两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量共线的意义判断AB；举例说明判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】对于A，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，A错误； 对于B，零向量与任意向量共线，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量夹角的范围是，D正确. 故选：AC 11. 已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的内角和，以及正弦定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，在中，因为，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，因为，由正弦定理得，所以，所以C正确； 对于D中，因为，可得，由正弦定理得，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，实数______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，即，解得. 故答案为： 13. 直径为的球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出球的半径，由球的表面积公式求出答案. 【详解】由题意得，球的半径为，故表面积为. 故答案为： 14. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积． 【详解】由直观图可得平面图形如下图所示： 则，， 在题设等腰梯形中，，因此， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当为何实数时，复数分别是： （1）实数； （2）纯虚数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到复数的实部与虚部，依题意只需虚部为即可； （2）复数为纯虚数，则实部为且虚部不为. 【小问1详解】 复数的实部为，虚部为， 若为实数，则，解得； 【小问2详解】 若为纯虚数，则，解得； 16. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3． （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解； （2）根据题意，利用圆锥的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，圆锥母线长为，底面圆半径长为， 可得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 【小问2详解】 解：由题意，可得圆锥的侧面积为， 圆锥的底面面积为， 所以圆锥的表面积为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，即， 又由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，因为， 所以的面积为. 18. 已知向量，且函数．在上的最大值为． （1）求常数m的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的x的取值集合． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算表示出并化简，求最大值，即可求解； （2）利用整体代换思想，结合正弦函数的递增区间，即可求解； （3）利用正弦函数的图像，即可解出不等式. 【小问1详解】 因为函数在上的最大值为， 所以，解得． 【小问2详解】 由，得， 所以函数单调递增区间为． 【小问3详解】 由得，则， 得， 所以成立的取值集合为 19. 一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. （1）求AC的长； （2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】（1） （2）沿北偏东方向航行即可到达C处 【解析】 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得： ，解得 【小问2详解】 在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邵阳县二中2024年上学期高一期中考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直 4. 下列几何体中为球的是（ ） A B. C D. 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 正六边形中，（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列结论不正确是（ ） A. 且是的充要条件 B. 对于任意向量，都有 C. 若，则与中至少有一个为 D. 两个非零向量与夹角的范围是 11. 已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，实数______． 13. 直径为的球的表面积为______． 14. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当为何实数时，复数分别是： （1）实数； （2）纯虚数． 16. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3． （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的表面积． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角A； （2）若，，求的面积． 18. 已知向量，且函数．在上的最大值为． （1）求常数m的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的x的取值集合． 19. 一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. （1）求AC的长； （2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$