暑假复习专题03 解三角形（7大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题03 解三角形（7大题型） 高频考点题型复习归纳 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 【题型2 利用正（余）弦定理判断三角形形状】 【题型3 三角形的面积公式及应用】 【题型4 解三角形的最值与范围】 【题型5 三角形的中线、角平分线、垂线】 【题型6 多边形的解三角形问题】 【题型7 解三角形的实际应用】 专项练 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 【典例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）点D在线段BC上，，，求的值． 【题型训练1】 1.在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 2.在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ） A. B. C. D. 3.设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 . 4.在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 【题型2 利用正（余）弦定理判断三角形形状】 【典例2】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【题型训练2】 1.中若有，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 2.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 3.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4.(多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使的形状唯一确定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， E. ，， 【题型3三角形的面积公式及应用】 【典例3】在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______． （1）求角B的大小： （2）若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值． 【题型训练3】 1.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 21 2.中，为边的中点，，若的面积为，且，求的值； 3.在中，分别为角，，所对的边，已知，. （1）若的面积等于，求边； （2）若，求的面积； 4.的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，． （1）若为锐角三角形，求AC的取值范围； （2）在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 【题型4 解三角形的最值与范围】 【典例4】（多选）锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（ ） A. A=2B B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【题型训练4】 1.锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为______． 2.设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______． 3.在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 4.在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知. （1）求A； （2）若，求周长的最大值. 【题型5 三角形的中线、角平分线、垂线】 【典例5】已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为； ①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 【题型训练5】 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（ ） A. B. C. D. 2.（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，.若，内角的平分线交于点，，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3.在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为__________． 4.在锐角中，设边所对的角分别为，且． （1）求角的取值范围； （2）若，求中边上的高的取值范围． 【题型6 多边形的解三角形问题】 【典例6】在凸四边形中，. （1）若四点共圆，，求四边形的面积： （2）若，求的值. 【题型训练6】 1.在扇形中，圆心角，半径，点在弧上（不包括端点），设. （1）求四边形的面积关于的函数解析式； （2）求四边形的面积的取值范围； （3）托勒密所著《天文学》第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值. 2.在中，角的对边分别为，若，点在边上，连接并延长至点，且．求面积的最大值及此时点的位置． 3.在平面四边形中，，，. （1）若的面积为，求； （2）若，，求. 4.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形．并修建两条小路（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以为直角顶点的等腰直角三角形．设，． （1）当时，求小路的长度（千米）； （2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度（千米）． 【题型7 解三角形的实际应用】 【典例7】如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号） 【题型训练7】 1.某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行5百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（ ） A. 百米 B. 百米 C. 百米 D. 百米 2.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为________. 3. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（△MNC的周长）； （2）当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 4.某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点S到点T的距离； （2）求点P到点R的距离； （3）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【专项练】 1.在中，若，，，则=（ ） A B. C. D. 2.在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3.在中，内角A平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5.（多选）在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则 C. 面积有最大值 D. 若有一解，则 6.(多选）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B 三个内角满足关系 C. 外接圆半径为 D. 中线的长为 7.斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______． 8.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为______. 9.在中，内角的对边分别是，且. （1）求的大小； （2）若是边的中点，且，求面积的最大值. 10.法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解三角形（7大题型） 高频考点题型复习归纳 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 【题型2 利用正（余）弦定理判断三角形形状】 【题型3 三角形的面积公式及应用】 【题型4 解三角形的最值与范围】 【题型5 三角形的中线、角平分线、垂线】 【题型6 多边形的解三角形问题】 【题型7 解三角形的实际应用】 专项练 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 【典例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）点D在线段BC上，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由结合正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）如图， 在中，， 在中，， 由正弦定理可得：，故， 即，所以， 故的值为． 【题型训练1】 1.在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 2.在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理可得， 设，则，， 由余弦定理可得. 故选：D. 3.设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【解析】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意. 故答案为： 4.在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由，得 由正弦定理，得． ． ． 又，． 又，． 又，． （2）由（1）知， ① 又，故，，② 又，由①②，得，故， ∴， 故，周长为. 【题型2 利用正（余）弦定理判断三角形形状】 【典例2】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形.故选：B. 【题型训练2】 1.中若有，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以为直角三角形， 故选：B 2.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【解析】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A 3.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】，由正弦定理化简得， 即，故，， 则或，即或，则的形状为等腰或直角三角形. 故选：D. 4.(多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使的形状唯一确定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， E. ，， 【答案】ABD 【解析】对于A，根据三角形的三边关系，由，，得 又，则，为等腰三角形，有唯一解，A选项正确； 对于B，，得，又，，由正弦定理， 可得，解得，由，则，的形状唯一确定，B选项正确； 对于C，，得， ，当时，满足条件，此时是直角三角形， 时，，则有， 又，，此时是边长为2 的等边三角形， 形状不能唯一确定，C选项错误； 对于D，，中由正弦定理可知，， 可得，则，又，则， 为等腰直角三角形，形状唯一确定，D选项正确； 对于E，，，则有， ， 当为锐角时，， ，此时为钝角； 当为钝角时，， ，此时为锐角； 的形状不能唯一确定，E选项错误； 故选：ABD 【题型3三角形的面积公式及应用】 【典例3】在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______． （1）求角B的大小： （2）若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）选①，因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 选②，由及正弦定理得， 所以， 即， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以. （2）如图： 由题意，， 因为， 由余弦定理，， 所以，即， 因为，所以，即， 当且仅当，即，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为. 【题型训练3】 1.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 21 【答案】A 【解析】，，， 则， ， ， 的面积为． 故选：． 2.中，为边的中点，，若的面积为，且，求的值； 【答案】 【解析】因为为边的中点，所以， 又，即，解得， 在中由余弦定理， 即，所以， 在中由正弦定理，即，解得. 3.在中，分别为角，，所对的边，已知，. （1）若的面积等于，求边； （2）若，求的面积； 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由余弦定理得：， 由，则，即， 联立方程组，解得，； （2）由题得， 即， 当时，，则， 故，， 当时，，即， 则有，即，则， 则； 4.的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，． （1）若为锐角三角形，求AC的取值范围； （2）在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】（1）设的内切圆半径为r，因为， 所以，化简得：， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 因为为锐角三角形， 所以，，解得：， 所以，所以AC的取值范围为． （2）选择①，因为，所以， 因为，所以，所以， 由（1）知，，所以， 整理得，方程无实数解，所以不存在． 选择②，由得：， 所以，即，所以， 由（1）知，， 所以，所以，解得， 所以存在且唯一，的面积． 选择③，因为，所以， 由（1）知，，所以， 整理得， 方程无实数解，所以不存在． 【题型4 解三角形的最值与范围】 【典例4】（多选）锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（ ） A. A=2B B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，，故选项C正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在，上单调递增， 又，（1）， ，，故选项D正确． 故选：ACD． 【题型训练4】 1.锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 由正弦定理得， 又，故， 因为在锐角中，，所以或， 当时，， 所以，解得，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 综上，， 又， 而，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 2.设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为，则，， 又， 故由正弦定理可得： ， 又锐角三角形，故可得， 解得，则， 由于，在上单调递增， 当当， 故， 即． 故答案为：． 3.在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； （2）由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 4.在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知. （1）求A； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）12 【解析】（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得， 整理可得， 所以. 又，所以. （2）方法一：由（1）知， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，，整理可得， 所以， 故的周长的最大值为12. 方法二：由（1）知， 所以，， 记的周长为，则， 由，，得， 所以. 又， 所以当时，. 【题型5 三角形的中线、角平分线、垂线】 【典例5】已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为； ①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 【答案】（1） （2）长的最小值为，的最大值 【解析】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于,所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故 【题型训练5】 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以， 又是中点，所以，又， 所以， 即，解得（负值舍去）， 所以，则， 所以，即， 所以的外接圆面积为， 故选：A. 2.（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，.若，内角的平分线交于点，，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A项，因，由正弦定理，，即，则有， 因，，故，即得，故A正确； 对于B项，如图，由上分析，在中，设，则，因平分,则有, 即① ,在中,，代入① 式，解得，即，故B项正确； 对于C项，由上分析知故C项错误； 对于D项，由易得，故D项正确. 故选：ABD. 3.在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为__________． 【答案】 【解析】在中，，由余弦定理得，即， 整理得，在中，， 由余弦定理得，相加整理得，即， 因此，解得，所以的周长为. 故答案为： 4.在锐角中，设边所对的角分别为，且． （1）求角的取值范围； （2）若，求中边上的高的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为， 所以， 所以，，又， 所以，整理可得， 所以或(舍去)， 所以，又为锐角三角形， 所以，所以； （2）由题可知，即， 又，所以， 所以， 由，可得， 所以，所以， 即中边上的高的取值范围是. 【题型6 多边形的解三角形问题】 【典例6】在凸四边形中，. （1）若四点共圆，，求四边形的面积： （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）因为四点共圆且， 所以，则， 在中由余弦定理， 又， 所以， 解得（负值舍去），所以， 则， 在中，由余弦定理，得 ， 又， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以. （2）设， 则，则， ， 又，所以， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以，即， 所以 ， 故， 又，解得， 又由正弦定理有， 故， 所以. 【题型训练6】 1.在扇形中，圆心角，半径，点在弧上（不包括端点），设. （1）求四边形的面积关于的函数解析式； （2）求四边形的面积的取值范围； （3）托勒密所著《天文学》第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】（1） ，； （2）因为，所以，所以， 所以，即四边形的面积的取值范围为. （3）因为，由托勒密定理知：， 化简得， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当时取到最小值， 所以，当且仅当时取等号. 2.在中，角的对边分别为，若，点在边上，连接并延长至点，且．求面积的最大值及此时点的位置． 【答案】最大值为；点在边上靠近的三等分点 【解析】在中，由正弦定理，得． 因为，所以． 因为，所以，故， 则, 因为，所以，则, 因此 在中，，． 在中，由正弦定理得． 因为，所以， 所以． 在中，因为，所以． 设． 在中，由余弦定理， 得． 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立． 所以面积的最大值为． 在中，因为，所以． 在中，因为，所以． 在Rt中，， 所以点在边上靠近的三等分点． 3.在平面四边形中，，，. （1）若的面积为，求； （2）若，，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，因为，，， 所以，解得：. 在中，由余弦定理得： 所以 （2）设，则 如图， 在中，因为，所以 在中，， 由正弦定理，得，即 所以 所以，即 所以，即 4.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形．并修建两条小路（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以为直角顶点的等腰直角三角形．设，． （1）当时，求小路的长度（千米）； （2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度（千米）． 【答案】（1）5千米 （2）千米 【解析】（1）当，时，， 由， 所以． 由正弦定理得， 解得：， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形， 所以，且， ， 在中，， 所以千米. （2） ， 其中，， 而，所以， 当时，四边形的面积最大，即， 此时， 由（1）得：， 所以，即千米. 【题型7 解三角形的实际应用】 【典例7】如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号） 【答案】 【解析】在中，，，则， 又，由正弦定理，得 . 中，，， 则. 在中，由余弦定理，得 . 所以. 答：，两点之间的距离为. 【题型训练7】 1.某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行5百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（ ） A. 百米 B. 百米 C. 百米 D. 百米 【答案】B 【解析】如图所示： 设山顶高于海面的距离为，由题意，，， 所以， 在中，，，由余弦定理得， 即，即，解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面百米. 故选：B 2.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为________. 【答案】 【解析】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为： 3. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（△MNC的周长）； （2）当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）； （2），最小值为. 【解析】（1）由，，，则， 所以，，则， 在△ACM中，由余弦定理得，则， 所以，即，又， 所以，则， 综上，护栏的长度（△MNC的周长）为. （2）设， 在△BCN中，由，得， 在△ACM中，由，得， 所以， 而， 所以，仅当，即时，有最大值为， 此时△CMN的面积取最小值为. 4.某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点S到点T的距离； （2）求点P到点R的距离； （3）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】（1）连接，在四边形中， 因为，，，所以. 在中，由余弦定理可得， 所以（m）. （2）在中，由余弦定理可得. 则， 在中，由正弦定理可得， 解得. 在中，由勾股定理得， 所以（m）. （3）因为， ， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，因此，. 所以当时，三角形区域面积最小，最小值为. 【专项练】 1.在中，若，，，则=（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】在中，若，，，由正弦定理得： ， 所以. 故选：B 2.在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到， 又，所以， 故选：B. 3.在中，内角A平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，，则，而，故， 又，而，故，则， 由题意，则， 所以，故. 故选：D 4.在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为的面积为， 所以， 中，由余弦定理得，， 则，因为，所以, 又，，所以， 化简得，解得或（不合题意，舍去）； 因为，所以，， 因为，所以 因为，所以，所以， 因为，，所以，， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以， 因为，所以. 故选：C． 5.（多选）在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则 C. 面积有最大值 D. 若有一解，则 【答案】AC 【解析】在 中, 由 , 得 , 由正弦定理可得, , 即 3 , 可得 外接圆的面积为 , 故 正确; 若 , 则 , 得 , 或 , 故B错误； 由余弦定理可得, B, 即 , 得 , 当且仅当 时取等号, 则的面积有最大值为 , 故C正确; 由 , 得 , 方程的判别式， ①，解得=.当时，=0转化为=0，解得=符合题意；当时=0转化为=0，解得=不符合题意； ② 0且两根之积 , 可得 有一正根和一负根, 负根舍去，此时 有一解，此时， ③ 0且两根之积 , 解得=，当时，=0，解得=符合题意；当时=0，解得=不符合题意； 故若有一解，则或， 故D错误. 故选：AC. 6.(多选）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B 三个内角满足关系 C. 外接圆半径为 D. 中线的长为 【答案】ABD 【解析】因为满足， 由正弦定理得，可设，其中， 又由余弦定理得， 因为，可得，所以，所以，所以B正确； 又因为的面积，可得， 解得，所以， 所以的周长为，所以A正确； 设的外接圆的半径为，可得，即，所以C错误； 在中，可得， 所以， 所以，即中线的长为，所以D正确. 故选：ABD. 7.斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______． 【答案】## 【解析】由及正弦定理可得， ，则，所以，，则， ，故， ，，由余弦定理可得， ，则，故， 由斯特瓦尔特定理可得， 因此，. 故答案为：. 8.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为______. 【答案】 【解析】由，则，故， 所以，又为锐角三角形，则，且，则， 而，则，， 所以， 又，且， 所以，则. 故答案为： 9.在中，内角的对边分别是，且. （1）求的大小； （2）若是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，， 由正弦定理可得， ，， ，，，即，即； （2）依题意，， ，，， 即， 即，当且仅当时，等号成立， 即，面积的最大值为. 10.法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由， 得， 即， 即 即，∵，∴， 由正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，∴. （2）如图，连接､，则，， 正面积，∴， 而，则， ∴中，由余弦定理得：， 有，则， 在中，，，由余弦定理得，则， ∴，，∴，所以的周长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$