山东省淄博市高青县第一中学二部2023-2024学年高一下学期期末备考数学试题

二部2023级高一下学期期末备考测试 数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图所示，中，，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．数据，，，，，的平均数和中位数相同 B．数据，，，，，，，，的众数为3 C．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D．甲组数据的方差为4，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组 10．已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量，的夹角为 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A．，，三点共线 B．点C到平面的距离为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为 ． 13．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的（如图），若被截正方体的棱长是6dm，那么该几何体的表面积是 ． 14．如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为 ． 四、解答题 15．（13分）已知函数在区间上的最小值为3. (1)求常数的值； (2)当时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，求函数的单调递减区间、对称中心. 16．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号。作为普通市民既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者。某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 17．（15分）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点． (1)求证：平面ABC； (2)若，平面平面ABC，，求证：平面ABC． 18．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求角; (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，且. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正切值 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 二部2023级高一下学期期末备考测试 数学参考答案： 1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．C 9．AB 10．AC 11．AC 12． 13． 14． 15．(1)3 (2)， 15.【详解】（1）由题意得 ， 因为，所以，则， 又函数在区间上的最小值为3，则，故； （2）当时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，即， 令， 则，即的单调递减区间为； 令，解得，故的对称中心为. 16．(1) (2)84 (3)62，23 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，， 所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 . 17．【详解】（1）取的中点，连接， 因为为中点，所以且， 又为中点，，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，由（1）可知，所以， 又，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面， 所以，又，平面，所以平面． 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）．由正弦定理可得， 因， 所以， 可得， 为三角形内角，， 解得，，． （2）由已知，，所以， ， ， . （3），， 由余弦定理得， 即，解得， 的周长为． 19．（1）由，平面，平面， 得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线， 所以. （2）在直角梯形中，，， 取的中点，连接，则， 即四边形是平行四边形， 于是，则， 即，又平面，平面， 则， 又，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，，由平面，平面， 则， 而平面， 于是平面，又平面， 则，过作于，连接，显然平面， 因此平面， 而平面，则， 即是二面角的平面角， 由，，得， 则，， 所以二面角的正切值是. 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$