第一讲 有理数与数轴 讲义2024-2025学年 暑假 苏科版七年级数学上册

第一讲 有理数与数轴 教学目标： 1.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想 2.理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴； 3.能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法； 4.能利用数轴比较有理数的大小． 教学重难点： 1.理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2.会判断一个数是有理数还是无理数． 3.能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法 模块一 正负数的认识 【课程导入】 由记数、排序产生1，2，3 由表示“没有”，产生数0 由分物、测量产生分数， 这些数能满足我们的需要吗？还会有新的数出现吗？ 感受负数产生的必要性 你能说说下面图片的含义吗？ 【知识积累】 1.正负数的定义 像8844.43、100、357、78这样的数是正数； 像－154、－38.87、－117.3、－0.102%这样的数是负数。 0既不是正数，也不是负数。 注意：为了明确表达意义，在正数前面也加上“＋”号，例如：＋1，＋，＋6.5等。 2.整数和分数的分类 正整数、负整数、零统称为整数 正分数、负分数统称为分数 【考点一 正负数的意义】 1．某市的平均海拔高度是高于海平面米，记作米；吐鲁番盆地的平均海拔高度低于海平面米，记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 3．一食品的包装袋上标有克，这种食品一袋的最小重量不低于 克． 4．某检修小组乘汽车检修供电线路．向南记为正，向北记为负．某天自A地出发．所走路程（单位：千米）为：－3，＋4，－2，－8，＋11，－2，＋8，；问： ①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？； ②若每千米耗油0.06升，则今天共耗油多少升？ 5．某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向的大街上营运，规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，＋10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？ （2）出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？ （3）出租车按物价部门规定，起步价（不超过千米）为元，超过3千米的部分每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 模块二 有理数与无理数 【知识积累】 1.有理数的定义 定义1：我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数。 定义2：整数和分数统称为有理数 2.有理数的分类 按定义分： 按符号分： 有理数 有理数 （1） 正数和零统称为非负数； （2） 负数和零统称为非正数； 3.小数分类 小数分数 无限不循环小数统称为无理数，比如π， 【考点二 有理数的分类】 6．在数，0.1010010001，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在，，0，，，5，，中，若负数共有M个，正数共有N个，则 ． 8．把下列各数填入相应的大括号中： 5，﹣20，﹣0.1415，98%，1，﹣0.10，，﹣789，﹣，325，0，10.10，1000.1，﹣0.12， ﹣51%． 正数：{___________…}； 负数：{___________…}； 非负整数：{___________…}； 负分数：{___________…}． 9．请将下列各数分类： ，，，，，，，，． （1）正分数集： ； （2）整数集： ； （3）负有理数集： ． 10．把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ①，②；，③，④，⑤；⑥20，⑦， ⑧，⑨ 负有理数集合：{ ； 正分数集合：{ ； 非负整数集合：{ ； 无理数集合：{ . 模块三 数轴 【知识积累】 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示－1，－2，－3，……. 3.数轴上的点与有理数之间的关系 ①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 【考点三 数轴的画法与比较大小】 11．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 12．下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 13．在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ，2，0，，． 14．在数轴上画出表示0，，，的点，并按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来． 【考点四 数轴上两点之间的距离】 15．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和a，则a的值为（    ） A．7 B．6 C．3.6 D．2.6 16．若点A，B位于数轴上原点O两侧，且，点B表示的数是6，则点A表示的数是（　） A． B． C． D． 17．在数轴上，若点A表示，则到点A距离等于4.5的点所表示的数为 ． 18．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 19．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 20.如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【习题】 1．在下列各数：，＋1，6.7，－（－3），0，，－5，25%中，属于整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 3．在数轴上与表示的点距离等于5的点所表示的数是 ． 4．如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ．(结果保留π)    5．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 6．请把下列各数填入相应的集合中 ，5.2，0，2π，，﹣，，2005，﹣0.030030003… 非负数集合：{                                       …} 分数集合：{                                       …} 无理数集合：{                                     …} 自然数集合：{                                      …}． 7．有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示．    (1)判断： 1（填“>”、“=”或“<”）； (2)用“<”将连接起来（直接写出结果） 8．如图，点A、B都在数轴上，O为原点． (1)点A表示的数是______．点B表示的数是______； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，则4秒后点B表示的数是______； (3)对折纸面使数轴上点A与点B重合，则同时表示的点与表示______的点重合． 参考答案 【考点一 正负数的意义】 1．D 2． 3．145 4． ①最后他们没回到出发点． ∵-3+4-2-8+11-2+8=8（千米）； ∴最后他们没回到出发点，在A地的南方，距离A地8千米； ②0.06×（3+4+2+8+11+2+8）=0.06×38=2.28（升）． 答：今天共耗油2.28升． 5． （1） 故出租车离车站出发点，出租车在车站； （2），，，，，，，，. 故离车站最远的距离是； （3）（元）. 故司机一个下午的营业额是122元. 【考点二 有理数的分类】 6．C 7．3 8． 正数：{5，98%，1，，325，10.10，1000.1…}； 负数：{﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%…}； 非负整数：{5，1，325，0…}； 负分数：{﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%…}． 9． （1）正分数集：，； （2）整数集：，，，； （3）负有理数集：，，，，． 10． 解：， 负有理数集合：， 正分数集合：， 非负整数集合：， 无理数集合：， 故答案为：②④；⑤⑧⑨；①⑥；③⑦． 【考点三 数轴的画法与比较大小】 11．B 12．B 13． 解：在数轴表示为 ． 14． 解：， ， 按从小到大的顺序排列为:． 【考点四 数轴上两点之间的距离】 15．D 16．C 17． 解：在数轴上，若点表示， 则到点距离等于4.5的点所表示的数为或， 故答案为：0.5或 18． 解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 19．D 20. （1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【习题】 21．C． 22．A 23． 解：由题意知，在数轴上与表示的点距离等于5的点所表示的数是或， 故答案为：3或． 24． 解：由题意，则A点表示的数是； 25． 解：如图所示： 点表示的数为4， 26． 非负数集合：{0，，5.2，，，2005，…} 分数集合：{，5.2，，，…} 无理数集合：{2π，，﹣0.030030003…} 自然数集合：{0，2005，…}． 27． （1）由数轴得， ∴， 故答案为：>； （2）由数轴得，， ∴， ∴ 28． （1）解：由数轴得， 点B表示的数是，点A表示的数是2， 故答案为：2，； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：8； （3）解：由（1）得， 点A与点B的中点为：， ∴的点重合的点是：， 学科网（北京）股份有限公司 $$