第02章 有理数 章节（21知识点回顾+46题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第02章 有理数 章节（21知识点回顾+46题型练习） 题型汇聚 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 绝对值的几何意义 题型十三 求一个数的绝对值 题型十四 绝对值非负性 题型十五 绝对值的其他应用 题型十六 有理数大小比较 题型十七 有理数大小比较的实际应用 题型十八 相反数的定义 题型十九 相反数的应用 题型二十 化简多重符号 题型二十一 有理数加法运算 题型二十二 有理数加法中的符号问题 题型二十三 有理数加法在生活中的应用 题型二十四 有理数加法运算律 题型二十五 有理数的减法运算 题型二十六 有理数减法的实际应用 题型二十七 有理数的加减混合运算 题型二十八 有理数加减中的简便运算 题型二十九 有理数加减混合运算的应用 题型三十 两个有理数的乘法运算 题型三十一 多个有理数的乘法运算 题型三十二 有理数乘法的实际应用 题型三十三 有理数乘法运算律 题型三十四 有理数的除法运算 题型三十五 有理数除法的应用 题型三十六 有理数乘除混合运算 题型三十七 有理数四则混合运算的实际应用 题型三十八 有理数幂的概念理解 题型三十九 有理数的乘方运算 题型四十 有理数乘方逆运算 题型四十一 乘方运算的符号规律 题型四十二 乘方的应用 题型四十三 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型四十四 程序流程图与有理数计算 题型四十五 算“24”点 题型四十六 含乘方的有理数混合运算 知识清单 知识点1：正数、负数的定义 1.正数 像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 3.“0” 的特性 0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界 知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量 1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2.具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 知识点3：对“0”的认识 1. 表示没有 例如,0个苹果,意思是没有苹果 2.表示数时起到占位的作用 如10605中的两个0,分别占的是十位和千位 3.表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4.表示某些数量的分界 0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 知识点4：有理数的相关概念 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 知识点5：有理数的分类 1.有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 2.集合 把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集 知识点6：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点7：数轴上的点与有理数的关系 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点8：有理数的大小 数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 知识点9．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点10．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 知识点11．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点12．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 知识点13．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点14．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点15．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点16．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点17．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点18．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点19．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点20．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点21．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义求解即可． 【详解】解：在，，，中，负数是，，共有个， 故选：C． 题型二 相反意义的量 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若表示零上5度，则零下6度表示为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若表示零上5度，则零下6度表示为． 故答案为：． 题型三 正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温为零上记作，则表示气温为（   ） A．零下 B．零上℃ C．零下℃ D．零上 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下， 故选：A． 题型四 有理数的定义 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在      中，有理数共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数“整数和分数统称为有理数”，熟练掌握有理数的概念是解题关键．根据有理数的概念求解即可得． 【详解】解：是负分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是无限不循环小数，不属于有理数， 综上，有理数共有2个， 故选：C． 题型五 0的意义 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列说法正确的是（    ） A．正整数就是非负整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．正数和0统称非负数 【答案】D 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】根据有理数的定义和分类处理； 【详解】解：A. 正整数就是非负整数；非负整数包含零和正整数；说法错误，本选项不合题意； B. 零表示不存在，所以零不是有理数；0是有理数，说法错误，本选项不合题意； C. 非负有理数就是正有理数；非负有理数包含0和正有理数；说法错误，本选项不合题意； D. 正数和0统称非负数；正确，本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查有理数的定义和分类，理解非负数，非正数的概念是解题的关键． 题型六 有理数的分类 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）把下列序号填在相应的大括号里． ①，②，③0，④，⑤，⑥2023，⑦，⑧． (1)整数{ }； (2)正分数{ }； (3)非负数{ }； (4)负有理数{ }． 【答案】(1)①，③，⑥ (2)④，⑦，⑧ (3)③，④，⑥，⑦，⑧ (4)①，②，⑤ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，先化简，再按照有理数的分类进行解答即可，掌握相关概念是解答本题的关键． 【详解】（1）解：整数有：①，③0，⑥2023， 故答案为：①，③，⑥； （2）解：正分数有：④，⑦，⑧．． 故答案为：④，⑦，⑧； （3）解：非负数有：③0，④，⑥2023，⑦，⑧， 故答案为：③，④，⑥，⑦，⑧； （4）解：负有理数有：①，②，⑤， 故答案为：①，②，⑤． 题型七 带“非”字的有理数 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，0，，，2024，，，中，非负整数有 个． 【答案】 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查非负整数，熟练掌握非负整数的分类是解题的关键．根据非负整数即正整数以及即可得到答案． 【详解】解：非负整数有，0，2024． 故答案为：． 题型八 数轴的三要素及其画法 8．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 【答案】正方向 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的三要素（原点、正方向和单位长度），解题的关键是熟记数轴的三要素，据此解答即可． 【详解】解：数轴的三个要素是：原点、正方向和单位长度． 故答案为：正方向． 题型九 用数轴上的点表示有理数 9．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来：，，0，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示有理数，根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】如图所示，数轴表示如下： 题型十 利用数轴比较有理数的大小 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“”连接起来： ，，， ． 【答案】见解析． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可． 【详解】解：，， ， 把，，，表示在数轴上为 如图， ∴． 题型十一 数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 题型十二 绝对值的几何意义 12．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上的四个点，，，对应的数为整数，且．若，则原点的位置可能是(  ) A．A或B B．B或C C．C或D D．D或A 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴以及绝对值，分四种情况进行讨论，根据，若即可解答． 【详解】解：， 当点为原点时，，不符合题意； 当点为原点时，，符合题意； 当点为原点时，，符合题意； 当点为原点时，，不符合题意． 所以当点或为原点时，符合题意． 故选：B． 题型十三 求一个数的绝对值 13．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）把下列各数表示的点画在数轴上（请标注原数），并用“”把这些数连接起来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了有理数的化简、比较和利用数轴上的点表示的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 先对有关有理数进行化简，再把它们用数轴上的点表示出来，最后比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴把它们表示的点画在数轴上如下： ． 题型十四 绝对值非负性 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若与互为相反数，则 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据相反数的定义以及非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 题型十五 绝对值的其他应用 15．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 题型十六 有理数大小比较 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于有理数m、n，若，，则n ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较“正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据有理数的大小比较法则求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型十七 有理数大小比较的实际应用 17．（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列关于代数式的值的结论：的值可能是正数；的值一定比大；③的值一定比小；的值随着的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用特殊值判断；利用作差法判断；根据越大，越小，越小判断，利用特殊值和作差法判断两数大小是解题的关键． 【详解】解：当时，，故符合题意； ∵， ∴，故符合题意； 当时，，故不符合题意； 越大，越小，越小，故符合题意； 故答案为：． 题型十八 相反数的定义 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若数a的相反数比a大，则a 0（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据数a的相反数比a大即可确定a的取值范围． 【详解】解：∵数a的相反数比a大， ∴， 故答案为：． 题型十九 相反数的应用 19．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 题型二十 化简多重符号 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”号把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，0， 【答案】画图见解析，． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，化简双重符号，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先计算，，再在数轴上表示各数，再利用数轴比较大小即可． 【详解】解：∵，， 如图，在数轴上表示各数如下： 题型二十一 有理数加法运算 21．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数列式求解即可． 【详解】解：由图得，． 故答案为：． 题型二十二 有理数加法中的符号问题 22．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法中的符号问题 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 题型二十三 有理数加法在生活中的应用 23．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）快递员骑自行车，从文昌中路邮电局出发，先向西骑行到小区，继续向西骑行到达小区，然后向东骑行到达小区，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示、、三个小区的位置； (2)小区离小区有多远？ (3)快递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)数轴见解析 (2)C村离A村有远 (3)邮递员一共骑行了 【知识点】有理数加法在生活中的应用、数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法与减法． （1）向西为负方向，则A村对应的数为，B村对应的数为，C村对应的数为4，然后描点即可； （2）用4减去得到A村与C村之间的距离； （3）把快递员所走的路程相加即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， C村离A村有远； （3）解：， 快递员一共骑行了． 题型二十四 有理数加法运算律 24．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】解： ． 题型二十五 有理数的减法运算 25．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 题型二十六 有理数减法的实际应用 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数减法，解题的关键是正确理解的意义． 根据的意义分析得出然后进行减法运算即可． 【详解】解：由得： 该机器零件尺寸最大相差， 故选：． 题型二十七 有理数的加减混合运算 27．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、合并同类项 【分析】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据有理数在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 题型二十八 有理数加减中的简便运算 28．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十九 有理数加减混合运算的应用 29．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）；，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员一共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员最后正好回到球门线上； (2)这位守门员一共跑动62米． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数的加减法运算． （1）先根据有理数的加法进行计算，然后再判断即可； （2）求出所有数的绝对值的和即可． 【详解】（1）解：． 所以守门员最后正好回到球门线上； （2）解：． 所以这位守门员一共跑动62米． 题型三十 两个有理数的乘法运算 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ） A．58 B．63 C．68 D．73 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、数字类规律探索、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题意，依次求出每次操作后所产生的新数串的所有数之和，发现规律即可解决问题，能通过计算发现操作第n次后所产生的新数串的和为是解题的关键． 【详解】解：由题知，当开始的数串为2，9，7时， 操作第1次后所产生的新数串为：2，7，9，，7，它们的和为：； 操作第2次后所产生的新数串为：2，5，7，2，9，，，9，7，它们的和为：； 操作第3次后所产生的新数串为：2，3，5，2，7，，2，7，9，，，9，，11，9，，7，它们的和为：； ， ∴操作第n次后所产生的新数串的和为 当时，， 即操作第10次后所产生的新数串的和为， 故选：． 题型三十一 多个有理数的乘法运算 31．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 【答案】(1)⑤，； (2)； (3)． 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，乘方分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵， ∴正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律， 故答案为：，； （3）解： ． 题型三十二 有理数乘法的实际应用 32．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向的公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)行驶过程中离A地最远是_______？ (2)如果汽车每行驶平均耗油a L，那么这天汽车共耗油多少L？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)42 (2) 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数四则混合运算的实际运用，理解正负数的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据行程的数量进行判定即可求解； （2）把所有行程的绝对值求和，再与平均油耗相乘即可求解． 【详解】（1）养护过程中，离出发点的位置为15千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 故最远处离出发点42千米． 故答案为：42 （2）这次养护共走了千米， 则这次养护耗油量为 题型三十三 有理数乘法运算律 33．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三十四 有理数的除法运算 34．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 题型三十五 有理数除法的应用 35．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 【答案】88分 【知识点】有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即这位选手的得分是88分． 题型三十六 有理数乘除混合运算 36．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)34 (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三十七 有理数四则混合运算的实际应用 37．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 所以最后的长度比原长度约伸长． 故答案为：． 题型三十八 有理数幂的概念理解 38．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，底数是 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】利用幂的定义解答即可．求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，记作，读作a的n次幂．熟练掌握幂的定义是解题的关键．注意底数是负数时要加括号． 【详解】解：中，底数是， 故答案为：． 题型三十九 有理数的乘方运算 39．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）在中，负数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了正数和负数，乘方运算，绝对值，先化简各数，再根据小于0的数是负数，可得负数的个数． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴负数有，，，一共3个． 故选：C． 题型四十 有理数乘方逆运算 40．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数x，y满足，，且，求的值． ，________． ，________． 又，________0． 当________时，________； 当________时，________． 【答案】；；；；6；； 【知识点】有理数的减法运算、有理数乘方逆运算、绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数乘方的逆运算，有理数减法计算，根据绝对值的意义得到，根据乘方的逆运算法则得到，再由绝对值的非负性得到，则或，据此求解即可． 【详解】解：， ． ， ． 又， ． 当时，； 当时，． 故答案为：；；；；6；；． 题型四十一 乘方运算的符号规律 41．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】乘方运算的符号规律、多个有理数的乘法运算、多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】根据绝对值的意义即可判断①，根据相反数的性质即可判断②，根据单项式的系数即可判断③，根据乘方的非负性即可判断④，根据多个有理数的乘法符号法则即可判断⑤，根据多项式的定义进行判断即可⑥． 【详解】解：①若，则，故说法错误； ②若a、b互为相反数且，则，故说法错误； ③单项式的系数是，故说法错误； ④∵，∴代数式，即代数式的值永远是正的，故说法正确； ⑤几个非零有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负，故说法错误； ⑥多项式是关于x，y的三次多项式，故说法错误； 综上可知，判断正确的有1个， 故选：A 【点睛】此题考查了绝对值的意义、乘方的非负性、单项式和多项式、多个有理数的乘法、相反数等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 题型四十二 乘方的应用 42．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数乘方的实际应用，根据每次对折厚度是原来的2倍，求出对折十次后的厚度即可得到答案． 【详解】解；有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度为毫米，即接近成人的手掌宽度， 故选：B． 题型四十三 用科学记数法表示绝对值大于1的数 43．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义、用科学记数法表示绝对值大于1的数、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数、相反数、科学记数法，根据有理数、相反数、科学记数法的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）最大的负整数是，该选项说法错误； （）数轴原点两旁且绝对值相等的两个数互为相反数，该选项说法错误； （）如果两个不为的数互为相反数，那么它们的商为，该选项说法错误； （）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，该选项说法正确； ∴正确的说法只有个， 故选：． 题型四十四 程序流程图与有理数计算 44．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求得，的值，然后列得算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 题型四十五 算“24”点 45．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【答案】(1)在数轴上表示各数见解析， (2)（答案不唯一） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、算“24”点 【分析】本题考查绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键， （1）先把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可； （2）根据有理数混合运算，列式计算即可． 【详解】（1）解：， 如图， 由图可知，； （2）解：由题可得： ． 题型四十六 含乘方的有理数混合运算 46．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用加法的交换律与结合律计算即可； （3）先算乘方，绝对值及括号里面的，再算除法，最后算加法即可； （4）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 有理数 章节（21知识点回顾+46题型练习） 题型汇聚 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 绝对值的几何意义 题型十三 求一个数的绝对值 题型十四 绝对值非负性 题型十五 绝对值的其他应用 题型十六 有理数大小比较 题型十七 有理数大小比较的实际应用 题型十八 相反数的定义 题型十九 相反数的应用 题型二十 化简多重符号 题型二十一 有理数加法运算 题型二十二 有理数加法中的符号问题 题型二十三 有理数加法在生活中的应用 题型二十四 有理数加法运算律 题型二十五 有理数的减法运算 题型二十六 有理数减法的实际应用 题型二十七 有理数的加减混合运算 题型二十八 有理数加减中的简便运算 题型二十九 有理数加减混合运算的应用 题型三十 两个有理数的乘法运算 题型三十一 多个有理数的乘法运算 题型三十二 有理数乘法的实际应用 题型三十三 有理数乘法运算律 题型三十四 有理数的除法运算 题型三十五 有理数除法的应用 题型三十六 有理数乘除混合运算 题型三十七 有理数四则混合运算的实际应用 题型三十八 有理数幂的概念理解 题型三十九 有理数的乘方运算 题型四十 有理数乘方逆运算 题型四十一 乘方运算的符号规律 题型四十二 乘方的应用 题型四十三 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型四十四 程序流程图与有理数计算 题型四十五 算“24”点 题型四十六 含乘方的有理数混合运算 知识清单 知识点1：正数、负数的定义 1.正数 像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 3.“0” 的特性 0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界 知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量 1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2.具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 知识点3：对“0”的认识 1. 表示没有 例如,0个苹果,意思是没有苹果 2.表示数时起到占位的作用 如10605中的两个0,分别占的是十位和千位 3.表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4.表示某些数量的分界 0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 知识点4：有理数的相关概念 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 知识点5：有理数的分类 1.有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 2.集合 把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集 知识点6：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点7：数轴上的点与有理数的关系 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点8：有理数的大小 数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 知识点9．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点10．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 知识点11．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点12．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 知识点13．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点14．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点15．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点16．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点17．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点18．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点19．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点20．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点21．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 相反意义的量 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若表示零上5度，则零下6度表示为 ． 题型三 正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温为零上记作，则表示气温为（   ） A．零下 B．零上℃ C．零下℃ D．零上 题型四 有理数的定义 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在      中，有理数共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五 0的意义 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列说法正确的是（    ） A．正整数就是非负整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．正数和0统称非负数 题型六 有理数的分类 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）把下列序号填在相应的大括号里． ①，②，③0，④，⑤，⑥2023，⑦，⑧． (1)整数{ }； (2)正分数{ }； (3)非负数{ }； (4)负有理数{ }． 题型七 带“非”字的有理数 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，0，，，2024，，，中，非负整数有 个． 题型八 数轴的三要素及其画法 8．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 题型九 用数轴上的点表示有理数 9．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来：，，0，． 题型十 利用数轴比较有理数的大小 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“”连接起来： ，，， ． 题型十一 数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 题型十二 绝对值的几何意义 12．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上的四个点，，，对应的数为整数，且．若，则原点的位置可能是(  ) A．A或B B．B或C C．C或D D．D或A 题型十三 求一个数的绝对值 13．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）把下列各数表示的点画在数轴上（请标注原数），并用“”把这些数连接起来． 题型十四 绝对值非负性 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若与互为相反数，则 题型十五 绝对值的其他应用 15．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 题型十六 有理数大小比较 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于有理数m、n，若，，则n ．（填“”“”或“”） 题型十七 有理数大小比较的实际应用 17．（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列关于代数式的值的结论：的值可能是正数；的值一定比大；③的值一定比小；的值随着的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ． 题型十八 相反数的定义 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若数a的相反数比a大，则a 0（填“”、“”或“”）． 题型十九 相反数的应用 19．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 题型二十 化简多重符号 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”号把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，0， 题型二十一 有理数加法运算 21．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为 ． 题型二十二 有理数加法中的符号问题 22．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型二十三 有理数加法在生活中的应用 23．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）快递员骑自行车，从文昌中路邮电局出发，先向西骑行到小区，继续向西骑行到达小区，然后向东骑行到达小区，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示、、三个小区的位置； (2)小区离小区有多远？ (3)快递员一共骑行了多少千米？ 题型二十四 有理数加法运算律 24．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 题型二十五 有理数的减法运算 25．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 题型二十六 有理数减法的实际应用 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 题型二十七 有理数的加减混合运算 27．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 题型二十八 有理数加减中的简便运算 28．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 题型二十九 有理数加减混合运算的应用 29．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）；，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员一共跑了多少米？ 题型三十 两个有理数的乘法运算 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ） A．58 B．63 C．68 D．73 题型三十一 多个有理数的乘法运算 31．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 题型三十二 有理数乘法的实际应用 32．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向的公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)行驶过程中离A地最远是_______？ (2)如果汽车每行驶平均耗油a L，那么这天汽车共耗油多少L？（用含a的代数式表示） 题型三十三 有理数乘法运算律 33．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型三十四 有理数的除法运算 34．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 题型三十五 有理数除法的应用 35．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 题型三十六 有理数乘除混合运算 36．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三十七 有理数四则混合运算的实际应用 37．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 题型三十八 有理数幂的概念理解 38．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，底数是 ． 题型三十九 有理数的乘方运算 39．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）在中，负数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四十 有理数乘方逆运算 40．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数x，y满足，，且，求的值． ，________． ，________． 又，________0． 当________时，________； 当________时，________． 题型四十一 乘方运算的符号规律 41．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 题型四十二 乘方的应用 42．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 题型四十三 用科学记数法表示绝对值大于1的数 43．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 题型四十四 程序流程图与有理数计算 44．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 题型四十五 算“24”点 45．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 题型四十六 含乘方的有理数混合运算 46．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$