“中档题·活页小卷” 13 矩形、菱形的性质与判定-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

　矩形、菱形的性质与判定 [建议时间：40分钟] 命题角度一　矩形的性质与判定 1．下列关于矩形的说法中正确的是(　B　) A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点E.若∠OAE＝15°，则∠CBD的度数为(　A　) A．30° B．45° C．60° D．75° 第2题图 第3题图 第4题图 3．2023·天津如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是(　B　) A．1 B． C．2 D． 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连结EF.若AC＝10，则EF＝____． 5．如图，▱ABCD的两条对角线交于点O，△AOB是等边三角形． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若OE⊥BD交BC于点E，CE＝2，则AD＝__6__． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD. ∵△ABO是等边三角形，∴AO＝BO＝AB， ∴AO＝OC＝BO＝OD，∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 6．如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连结AE，BD，∠BDC＝90°. (1)求证：四边形ABDE是矩形． (2)连结OC，若AB＝2，BD＝2，求OC的长． 解：(1)证明：∵O为AD的中点，∴AO＝DO. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE， ∴∠BAO＝∠EDO. 又∵∠AOB＝∠DOE，∴△AOB≌△DOE(ASA)， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． ∵∠BDC＝90°，∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形． (2)如图，过点O作OF⊥DE于点F. ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝2，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，∴OD＝OE. ∵OF⊥DE，∴DF＝EF＝DE＝1， ∴OF为△BDE的中位线，∴OF＝BD＝. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2， ∴CF＝CD＋DF＝3， 在Rt△OCF中，由勾股定理得，OC＝＝＝， 即OC的长为. 命题角度二　菱形的性质与判定 7．下列命题中正确的是(　D　) A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连结AC，BD，则 的值为(　D　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，点F为CD的中点，连结OF.若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为__2__． 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连结CE. (1)求证：四边形AECD为菱形． (2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 解：(1)证明：∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2BE. ∵AB＝2CD，∴CD＝AE. 又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形． ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC. ∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形． (2)∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°， ∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC， ∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°， ∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形， ∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2 ， ∴S△ABC＝AC·BC＝×2×2 ＝2 . 11．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.若OA＝OB＝OC＝OD，则该四边形(　B　) A．可能不是平行四边形 B．一定是矩形 C．一定是菱形 D．一定是正方形 12．菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　C　) A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补 13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F.若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为__3__． 第13题图 　　　第14题图 14．2023·黄冈如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB的中点，F为AD的中点，连结EF，则EF的长为____． 15．(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形AGCH的形状，并说明理由． ②求四边形AGCH的面积． (2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积． 解：(1)①四边形AGCH是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形， ∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE， ∴四边形AGCH是平行四边形． ∵S平行四边形AGCH＝GC·AB＝AG·CF，AB＝CF， ∴GC＝AG，∴平行四边形AGCH是菱形． ②由①可知，GC＝AG，设GC＝AG＝x，则BG＝8－x， 在Rt△ABG中，AB＝4，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，∴GC＝5， ∴S菱形AGCH＝GC·AB＝5×4＝20. (2)设GC＝a，则BG＝7－a， ∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形， ∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE， ∴四边形AGCH是平行四边形． ∵∠AGB＝∠CGF，∠B＝∠F， ∴△ABG∽△CFG， ∴＝，即＝，解得AG＝2a. 在Rt△ABG中，由勾股定理得(2)2＋(7－a)2＝(2a)2， 解得a＝3或a＝－(不合题意，舍去)， ∴CG＝3，∴S平行四边形AGCH＝CG·AB＝3×2＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $$