新中考热点问题32 图形与几何的综合与实践问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2. 【操作探究】 如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD，A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°≤α≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连结BC. (1)当α＝60°时，BC＝__2__；当BC＝2时，α＝__30°或210°__． (2)当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积． (3)如图2，取BC的中点F，将△A′D′C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为__2π__． 解：(1)如图1. ∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝ ∠A′CD′＝30°， ∴∠BAD＝∠D′AC＝60°， ∴当α＝60°时，A，D′，B共线，A，D，C共线． ∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝2； 当BC＝2时，过A作AH⊥BC于H，如图2. ∵AB＝AC， ∴BH＝CH＝BC＝， ∴sin ∠BAH＝＝， ∴∠BAH＝45°， ∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，∴α＝120°－90°＝30°. 如图3， 同理可得∠BAC＝90°， ∴α＝60°＋90°＋60°＝210°， ∴当BC＝2时，α＝30°或210°. 故答案为2，30°或210°. (2)如图4. ∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2， ∴AD＝1. ∵α＝90°，∴∠BAC＝60°＋60°－90°＝30°， ∴∠QAD＝∠BAD－∠BAC＝30°， ∴DQ＝＝， ∴S△ADQ＝×1×＝. ∵∠D′＝∠D′AD＝∠D＝90°，AD＝AD′， ∴四边形ADPD′是正方形， ∴DP＝AD＝1，∴S△APD＝×1×1＝， ∴S△APQ＝－，同理S△APR＝－， ∴两块三角板重叠部分图形的面积为1－. 　　　　 (3)连结AF，如图5. ∵AB＝AC，F为BC的中点， ∴∠AFB＝90°， ∴点F的运动轨迹是以AB为直径的圆， ∴点F的运动路径长为2π×＝2π. 故答案为2π. 1. 综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1～图3是其作图过程． (1)作BD的垂直平分线交BD于点O； (2)连结AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； (3)连结DC，BC，则四边形ABCD即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　C　) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【解析】 由作图，得DO＝BO，AO＝CO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 2. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连结PM，BM，延长PM交CD于点Q，连结BQ. (1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝__30__度． (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． 解：(1)由折叠可得AE＝BE＝AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM， ∴BE＝BM，∴∠EMB＝30°. 故答案为30. (2)∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°， ∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°. ∵BQ＝BQ，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)， ∴∠MBQ＝∠CBQ. 3. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形． (2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上. (3)如图3，在(1)的条件下，取EF的中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠DBA＝90°， ∴∠FAB与∠EBA互余， ∴四边形ABEF是邻余四边形． (2)如图所示．(答案不唯一) (3)∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD. ∵DE＝2BE， ∴BD＝CD＝3BE， ∴CE＝CD＋DE＝5BE. ∵∠EDF＝90°，M为EF的中点， ∴DM＝ME， ∴∠MDE＝∠MED. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△DBQ∽△ECN. ∵＝＝， QB＝3，∴NC＝5. ∵AN＝CN， ∴AC＝2CN＝10， ∴AB＝AC＝10. 学科网（北京）股份有限公司 $$