第1章·有理数·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第1章·有理数·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习） 2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能准确判断与化简 · 掌握用数轴表示有理数，会求两点距离并解决动点问题 · 熟练进行有理数加减乘除及乘方混合运算，正确运用运算律 · 能用有理数运算解决程序框图、实际应用与规律探索问题 · 掌握绝对值非负性等常用结论，提升综合解题与推理能力 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的基本概念 正数和负数表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离；非负性|a|≥0 乘积为1的两个数互为倒数；多重符号由负号个数决定化简结果 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．−a一定是负数　B．绝对值最小的数是0　C．倒数是它本身的数只有1　D．相反数是它本身的数是±1 答案：B 解析：当a为负数时−a是正数，A错；倒数是本身的数还有−1，C错；相反数是本身的数只有0，而不是±1，D错；|a|≥0，绝对值最小为0，故选B ☆ 2.数轴、距离与动点 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，任何有理数都可用数轴上一点表示 数轴上两点A(a)、B(b)的距离为|a−b| 数轴上点向右平移x个单位，表示的数加x；向左平移则减x 互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称 概念辨析例题：数轴上点P表示的数是−5，点P先向右移动3个单位，再向左移动8个单位到达点Q，则点Q表示的数是____ 答案：−10 解析：−5+3−8=−10，故点Q表示的数是−10 ☆ 3.有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的大 正数大于0，0大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 比较字母式或含绝对值式时，可结合数轴或取特殊值判断 概念辨析例题：比较−和−的大小 答案：−>− 解析：=，=，因为<，所以−>− ☆ 4.有理数的四则运算 同号相加取相同的符号，异号相加取绝对值较大的符号，并把绝对值相加减 减去一个数等于加上它的相反数：a−b=a+(−b) 两数相乘：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；除以一个数等于乘以它的倒数 乘法分配律、交换律、结合律可简化计算 概念辨析例题：计算：−1÷(−)×(−) 答案：−1 解析：原式=−×(−)×(−)=−1 ☆ 5.乘方与混合运算 乘方：an表示n个a相乘；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 程序框图题按箭头顺序逐框代入计算 规律探索：从相邻项差、比或与序号的关系归纳通项 概念辨析例题：计算：−22÷(−)2×(−1)3 答案：16 解析：原式=−4÷×(−1)=−4×4×(−1)=16，注意−22=−4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是−a 0的相反数是0；互为相反数的两数和为0 绝对值 数轴上点到原点的距离，|a| |a|≥0；非负式之和为0则各项均为0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数是(a≠0) 0没有倒数；互为倒数的两数积为1 数轴 原点、正方向、单位长度 两点距离=|a−b|；点右移加、左移减 运算顺序 先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 同级运算从左到右 乘方符号 负数的奇次幂为负、偶次幂为正 −an与(−a)n不同 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的基本概念（第1-16题） · 相反数：只变符号，a与−a互为相反数 · 绝对值：非负性|a|≥0，非负式和为0时各非负式均为0 · 多重符号化简：看负号个数，奇数个为负、偶数个为正 · 分类与倒数：0无倒数，倒数是本身的数为±1 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列各对数中，互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）的相反数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则的值为（     ） A．5 B． C．9 D． 4．（24-25七年级上·全国·单元复习）在和它的相反数之间的整数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 6．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．零是最小的非负有理数 B．任何一个数的绝对值是它本身 C．有理数中没有绝对值最小的数 D．任何一个正数大于它的倒数 7．（25-26六年级上·上海·单元复习）下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（24-25七年级上·吉林·期中）化简：____________． 10．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）已知，则的相反数为 ____． 11．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）如图两个圆圈分别表示负数集和分数集，则阴影区域的数可以是___________（填1个满足条件的数即可）． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，且，则______． 13．（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）规律探索： (1)当前面有99个负号时，化简后的结果是________；当前面有100个负号时，化简后的结果是________； (2)通过上面探索，你能总结出什么规律？ 15．（24-25六年级上·上海·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，是最小的素数，求的值． 16．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【考点2】数轴、距离与动点（第17-26题） · 数轴表示：左小右大，互为相反数的点关于原点对称 · 距离公式：|a−b|，数轴上两点距离与方向无关 · 动点问题：起点±平移单位，右移加左移减 · 找原点：利用对称点或已知数定位 17．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 18．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 19．（2024·上海·模拟预测）数轴上到0距离为3的点表示的数为__________ 20．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ____________________． 21．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则___________． 22．（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______． 23．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 24．（上海市六年级下学期期中模拟01（沪教版：有理数、一次方程（组）和一次不等式）-2023-2024学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 25．（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 26．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【考点3】大小比较与加减运算（第27-37题） · 比较大小：正数>0>负数，两负比较绝对值大的反而小 · 加法符号：异号相加取绝对值较大者的符号 · 减法转化：a−b=a+(−b) · 加减混合：统一成加法后按顺序计算 27．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26六年级上·上海·课后作业）为了有效控制酒后驾车，某市交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，公路如图所示，若规定向东为正，向西为负，1个单位代表1千米，从出发点开始所走的路程为：，，，，（单位：千米）．则下列说法错误的是（　　） A．单次巡逻过程中的最远距离为8千米 B．第三次的终点距离出发点的距离最近 C．最终交警停在出发点的西边 D．最终交警还需要行驶5千米才能回到出发点 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 31．（24-25七年级上·浙江·期中）一个粮库10月31日有存粮112吨，从11月1日至11月5日，粮食进出情况如下表：（记进库为正），则至11月5日运粮结束时，仓库内存粮是___________吨． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 数量（吨） 0 32．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 33．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 34．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 35．（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）计算：；             （2）计算：． 36．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算“”时，甲同学的做法如下： 解：原式① ② ③ ．④ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）．这一步依据的运算法则应当是同号两数相加，________． (2)请写出正确的计算过程． 【考点4】乘除运算与运算律（第38-43题） · 乘除符号：同号得正、异号得负 · 除以一个数等于乘以它的倒数 · 乘法运算律：交换、结合、分配律 · 乘除混合：统一成乘法再约分 38．（24-25七年级上·青海西宁·阶段检测）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 39．（24-25六年级上·上海金山·期中）若、、、为四个不为零的有理数，且，则______． 40．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_____． 41．（24-25六年级上·上海·期中）已知，为有理数，且，，，四个数中恰好有三个数相等，则的值是______． 42．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 43．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 (1)填空：计算：________； (2)填空：计算：________； (3)请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【考点5】乘方混合与规律应用（第44-52题） · 乘方：负数的奇次幂为负、偶次幂为正 · 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减 · 程序框图：按箭头逐框代入计算 · 规律探索：归纳通项并验证前几项 44．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末） ____________． 46．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 47．（24-25六年级上·上海·期中）计算： ____ 48．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 49．（25-26七年级上·四川泸州·期末）计算： 50．（24-25八年级下·四川广安·阶段检测）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 51．（24-25六年级上·上海虹口·期中）某网络平台商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店星期_____销售量最多，是_____辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售了_____辆； (3)该店这一周平均每天销售多少辆？ 52．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 💯 课后巩固 复习建议 · 回归概念：默写相反数、绝对值、倒数定义，注意0的特殊性 · 数轴是工具：比较与距离问题先画数轴辅助分析 · 运算规范：混合运算严格按顺序，先定符号再算绝对值 · 易错点：−an与(−a)n、绝对值非负性、0无倒数 · 每日限时练习10道混合运算，巩固运算律与正确率 【作业1】．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列四个数中，最小的是（　　） A． B． C．0 D． 【作业2】．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 【作业3】．（24-25九年级下·上海·阶段检测）绝对值小于3的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【作业4】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【作业5】．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【作业6】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是____． 【作业7】．（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【作业8】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知，且，则__________． 【作业9】．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）已知，则______． 【作业10】．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）________的平方等于，立方得的数是________． 【作业11】．（24-25六年级上·上海·期末）在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数____．    【作业12】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 【作业13】．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 【作业14】．（25-26八年级上·上海·课后作业）把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数． ，，，，，． 【作业15】．（24-25七年级上·甘肃平凉·阶段检测）简便计算 (1) (2) 【作业16】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【作业17】．（24-25六年级上·上海青浦·期末）计算：． 【作业18】．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）赣州享有“世界橙乡”的美誉，中华名果赣南脐橙热销世界各地．刚大学毕业的小明把自家的脐橙产品放到了网上售卖，他原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位： )． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出 ． (2)若脐橙按1.2元的利润计算，则小明本周一共赚了多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·有理数·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习） 2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能准确判断与化简 · 掌握用数轴表示有理数，会求两点距离并解决动点问题 · 熟练进行有理数加减乘除及乘方混合运算，正确运用运算律 · 能用有理数运算解决程序框图、实际应用与规律探索问题 · 掌握绝对值非负性等常用结论，提升综合解题与推理能力 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的基本概念 正数和负数表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离；非负性|a|≥0 乘积为1的两个数互为倒数；多重符号由负号个数决定化简结果 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．−a一定是负数　B．绝对值最小的数是0　C．倒数是它本身的数只有1　D．相反数是它本身的数是±1 答案：B 解析：当a为负数时−a是正数，A错；倒数是本身的数还有−1，C错；相反数是本身的数只有0，而不是±1，D错；|a|≥0，绝对值最小为0，故选B ☆ 2.数轴、距离与动点 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，任何有理数都可用数轴上一点表示 数轴上两点A(a)、B(b)的距离为|a−b| 数轴上点向右平移x个单位，表示的数加x；向左平移则减x 互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称 概念辨析例题：数轴上点P表示的数是−5，点P先向右移动3个单位，再向左移动8个单位到达点Q，则点Q表示的数是____ 答案：−10 解析：−5+3−8=−10，故点Q表示的数是−10 ☆ 3.有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的大 正数大于0，0大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 比较字母式或含绝对值式时，可结合数轴或取特殊值判断 概念辨析例题：比较−和−的大小 答案：−>− 解析：=，=，因为<，所以−>− ☆ 4.有理数的四则运算 同号相加取相同的符号，异号相加取绝对值较大的符号，并把绝对值相加减 减去一个数等于加上它的相反数：a−b=a+(−b) 两数相乘：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；除以一个数等于乘以它的倒数 乘法分配律、交换律、结合律可简化计算 概念辨析例题：计算：−1÷(−)×(−) 答案：−1 解析：原式=−×(−)×(−)=−1 ☆ 5.乘方与混合运算 乘方：an表示n个a相乘；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 程序框图题按箭头顺序逐框代入计算 规律探索：从相邻项差、比或与序号的关系归纳通项 概念辨析例题：计算：−22÷(−)2×(−1)3 答案：16 解析：原式=−4÷×(−1)=−4×4×(−1)=16，注意−22=−4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是−a 0的相反数是0；互为相反数的两数和为0 绝对值 数轴上点到原点的距离，|a| |a|≥0；非负式之和为0则各项均为0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数是(a≠0) 0没有倒数；互为倒数的两数积为1 数轴 原点、正方向、单位长度 两点距离=|a−b|；点右移加、左移减 运算顺序 先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 同级运算从左到右 乘方符号 负数的奇次幂为负、偶次幂为正 −an与(−a)n不同 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的基本概念（第1-16题） · 相反数：只变符号，a与−a互为相反数 · 绝对值：非负性|a|≥0，非负式和为0时各非负式均为0 · 多重符号化简：看负号个数，奇数个为负、偶数个为正 · 分类与倒数：0无倒数，倒数是本身的数为±1 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列各对数中，互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查相反数的定义，有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解:A．∵，， ∴与互为相反数，符合题意； B．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意； C．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意； D．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意． 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）的相反数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则的值为（     ） A．5 B． C．9 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值与偶数次方的非负性质：即两个非负数的和为零，则它们都为零，乘方的计算，关键是由非负性质求得与的值． 根据绝对值与偶数次方的非负性可求得与的值，从而可求得结果． 【详解】解：∵， ，， 即，， 得：，， ． 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·单元复习）在和它的相反数之间的整数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】相反数的定义、有理数大小比较 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的大小比较法则的应用，解题的关键是掌握只有符号不同的两数互为相反数． 写出的相反数，然后找到与它的相反数之间的整数即可得到答案． 【详解】解：的相反数为， 与之间的整数为，共7个， 故选：C． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数、有理数的分类、有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类及相关的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、一个有理数，除了0外，不是正数就是负数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、不是任何有理数都有倒数，0是有理数，0就没有倒数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、任何有理数的平方都是正数或零，原说法错误，故此选项不符合题意； D、正数的相反数一定小于它本身，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．零是最小的非负有理数 B．任何一个数的绝对值是它本身 C．有理数中没有绝对值最小的数 D．任何一个正数大于它的倒数 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、求一个数的绝对值 【分析】此题主要考查了有理数的特征和分类，有理数大小比较的方法，绝对值以及倒数，根据有理数的特征和分类，有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及倒数的含义和求法，逐项判断即可． 【详解】解：A、零是最小的非负有理数，正确，本选项符合题意； B、负数的绝对值是它的相反数，例如的绝对值是2，不是它本身，故原说法错误，本选项不符合题意； C、有理数中绝对值最小的数是0，故原说法错误，本选项不符合题意； D、任何一个正数不一定大于它的倒数，例如小于它的倒数（的倒数是2），故原说法错误，本选项不符合题意． 故选：A． 7．（25-26六年级上·上海·单元复习）下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、相反数的定义 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 8．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 9．（24-25七年级上·吉林·期中）化简：____________． 【答案】2 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的概念，解决本题的关键是熟练掌握相反数的概念． 先计算内层括号，再计算外层负号由此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 10．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）已知，则的相反数为 ____． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）如图两个圆圈分别表示负数集和分数集，则阴影区域的数可以是___________（填1个满足条件的数即可）． 【答案】 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据负数和分数的定义判断填空即可． 【详解】解：阴影区域的数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，且，则______． 【答案】 【知识点】绝对值方程、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，由题意可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 【答案】6 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）规律探索： (1)当前面有99个负号时，化简后的结果是________；当前面有100个负号时，化简后的结果是________； (2)通过上面探索，你能总结出什么规律？ 【答案】(1)，； (2)若一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果等于它的相反数；若有偶数个负号，则化简后的结果等于它本身． 【知识点】化简多重符号 【分析】（1）依次添加符号得出规律求解即可． （2）根据（1）得出规律即可． 【详解】（1）解：当前面有1个负号时，则， 当前面有2个负号时，则， 当前面有3个负号时，则结果为 当前面有4个负号时，则结果为5， …… 若一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果等于它的相反数；若有偶数个负号，则化简后的结果等于它本身． 则当前面有99个负号时，化简后的结果是， 当前面有1个负号时，则， 当前面有2个负号时，则， 当前面有3个负号时，则结果为5 当前面有4个负号时，则结果为， …… 若一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果等于它的相反数；若有偶数个负号，则化简后的结果等于它本身． 则当前面有100个负号时，化简后的结果是， （2）解：略； 15．（24-25六年级上·上海·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，是最小的素数，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数 【分析】根据相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值的意义，负数的意义计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，是最小的素数， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相反数，素数，倒数，代数式的值，有理数的乘法，熟练掌握相反数，倒数的性质是解题的关键． 16．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、判断是否是一元一次方程、倒数 【分析】由一元一次方程的定义可得，即得方程为，解方程得到，再由相反数和倒数的定义可得，，，最后代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴方程为， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，，， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义及解，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点2】数轴、距离与动点（第17-26题） · 数轴表示：左小右大，互为相反数的点关于原点对称 · 距离公式：|a−b|，数轴上两点距离与方向无关 · 动点问题：起点±平移单位，右移加左移减 · 找原点：利用对称点或已知数定位 17．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的应用、数轴上找原点 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 18．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 19．（2024·上海·模拟预测）数轴上到0距离为3的点表示的数为__________ 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上到点距离的问题．根据数轴上两点间的距离公式，即可求解． 【详解】解：数轴上到0距离为3的点表示的数为． 故答案为： 20．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ____________________． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴和有理数，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的概念．利用数轴知识和有理数的概念解答． 【详解】解：在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是或． 故答案为：或． 21．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则___________． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再根据题意得出，，，即可得出，，，然后将值代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧， ，，， ，，， ． 故答案为：． 22．（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..；由此可知每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： 第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：；第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..； ∴每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度， ∵， ∴第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为； 故答案为． 23．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 24．（上海市六年级下学期期中模拟01（沪教版：有理数、一次方程（组）和一次不等式）-2023-2024学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【答案】 （1）数轴表示如下： ． ∴． （2）负有理数 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的点表示数是解题的关键． （1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可； （2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数． 【详解】解：（1）略 （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数． 故答案为：负有理数． 25．（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 26．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【答案】(1) 数轴上表示各数如下： ； (2)①，②，③ 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较、绝对值，相反数，数轴，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）先化简各数，在数轴上表示出各个数，再比较即可； （2）先根据相反数和绝对值的定义化简各数，再根据有理数比较大小的方法比较大小即可． 【详解】（1）解： ，， （2）① ， ， 故答案为：； ② ，，且， ， 故答案为：； ③ ， ， 故答案为：． 【考点3】大小比较与加减运算（第27-37题） · 比较大小：正数>0>负数，两负比较绝对值大的反而小 · 加法符号：异号相加取绝对值较大者的符号 · 减法转化：a−b=a+(−b) · 加减混合：统一成加法后按顺序计算 27．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，绝对值意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则，乘法法则和绝对值意义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，或，， 当，时，则， ∴； 当，时，∵， ∴， 综上分析可知：． 故选：D． 28．（25-26六年级上·上海·课后作业）为了有效控制酒后驾车，某市交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，公路如图所示，若规定向东为正，向西为负，1个单位代表1千米，从出发点开始所走的路程为：，，，，（单位：千米）．则下列说法错误的是（　　） A．单次巡逻过程中的最远距离为8千米 B．第三次的终点距离出发点的距离最近 C．最终交警停在出发点的西边 D．最终交警还需要行驶5千米才能回到出发点 【答案】D 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的实际应用及有理数加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．因为“”代表向东走，“”代表向西走，所以把每次巡逻后到了哪个点算出来逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意得：“代表向东走，“”代表向西走， A．“”表示单次巡逻最远距离是第二次，向西走了，故选项A正确，不符合题意； B．因为第一次到达，第二次到达，第三次到达，第四次到达，第五次到达， 综上，第三次在出发点向东处，距离出发点最近，故选项B正确，不符合题意； C．由B解答过程可得：最终停在处，即在出发点西边，故选项C正确，不符合题意； D．从到原点，需要行驶3千米，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 30．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 31．（24-25七年级上·浙江·期中）一个粮库10月31日有存粮112吨，从11月1日至11月5日，粮食进出情况如下表：（记进库为正），则至11月5日运粮结束时，仓库内存粮是___________吨． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 数量（吨） 0 【答案】96 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正负数的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据有理数的加减法，可得答案． 【详解】解：（吨）， 故答案为：96． 32．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 【答案】 102 +2 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的混合运算应用，解决此题的关键是正确的计算；先算出总成绩，即可算出平均数；根据正负数的意义得到第二空的答案即可； 【详解】解：（下）， （下）， 答：平均每个小朋友跳102下． ， 如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作． 故答案为：102；． 33．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 34．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 【答案】3 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则． 根据新定义，即可求出的值． 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 35．（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）计算：；             （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加即可． 【详解】解：（1 ）原式； （2 ）原式． 36．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 【答案】(1)①；②6 (2) 解：答案不唯一， 如：第一种：抽，，2，， 第二种：抽，，，， ． 【知识点】有理数加法运算、算“24”点、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）①选取两个最小的数，相加即可；②选取绝对值的最大数和绝对值的最小数相除即可； （2）任意取出4张卡片，得出结果即可． 【详解】（1）解：①取出2张卡片为 和的最小值为 故答案为：； ②取出2张卡片为 商的最大值为 故答案为：6； （2）略 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算“”时，甲同学的做法如下： 解：原式① ② ③ ．④ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）．这一步依据的运算法则应当是同号两数相加，________． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)②；取与加数相同的符号，并把绝对值相加 (2) 原式 ． 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则，逐步计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． ∴开始出错的步骤是②，这一步依据的运算法则应当是同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加 （2）略 【考点4】乘除运算与运算律（第38-43题） · 乘除符号：同号得正、异号得负 · 除以一个数等于乘以它的倒数 · 乘法运算律：交换、结合、分配律 · 乘除混合：统一成乘法再约分 38．（24-25七年级上·青海西宁·阶段检测）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：． 根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案． 【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选：A． 39．（24-25六年级上·上海金山·期中）若、、、为四个不为零的有理数，且，则______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的应用，根据题意得出、、、四个数三个为正，一个为负，即可求解． 【详解】解：∵、、、为四个不为零的有理数，且， ∴、、、四个数三个为正，一个为负， ∴ 故答案为：． 40．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_____． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【详解】解： ． 41．（24-25六年级上·上海·期中）已知，为有理数，且，，，四个数中恰好有三个数相等，则的值是______． 【答案】1006或 【知识点】两个有理数的乘法运算、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，首先根据推出，得到，再根据已知，，，中恰有三个数相等，得出，进而对到，或，然后分类讨论，进而确定、的值，代入求出结果即可． 【详解】解：根据题意，，为有理数， ∵， ∴， ， 又，，，中恰有三个数相等， ， ，或， 若，则， 或，解得，矛盾， 若，则， 或，解得，矛盾， 当，则， 或，解得或成立， 综上所述，，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：1006或． 42．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 43．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 (1)填空：计算：________； (2)填空：计算：________； (3)请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练通过材料进行方法归纳是解题的关键． （1）直接利用材料方法进行计算即可； （2）直接利用材料方法进行计算即可； （3）直接利用材料方法进行计算即可，注意个数为． 【详解】（1）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （3）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故计算结果为． 【考点5】乘方混合与规律应用（第44-52题） · 乘方：负数的奇次幂为负、偶次幂为正 · 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减 · 程序框图：按箭头逐框代入计算 · 规律探索：归纳通项并验证前几项 44．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 45．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末） ____________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】解：． 46．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 【答案】12 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了整数除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍可将5个保温瓶换成20个茶杯，据此即可求出每个茶杯的价格，然后乘以4即可得每个保温瓶的价格． 【详解】解：每个茶杯的价格是（元）， 所以每个保温瓶的价格是（元）， 故答案为：12． 47．（24-25六年级上·上海·期中）计算： ____ 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能找出分子及分母的公因数是解题的关键． 将分子和分母分别提取和，再进行计算即可． 【详解】解：由题知，原式 ． 故答案为：． 48．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 49．（25-26七年级上·四川泸州·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和绝对值，再算小括号，最后计算加法即可． 【详解】解：原式 ． 50．（24-25八年级下·四川广安·阶段检测）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2) 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)米，下降了，下降了0.8米 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，； （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 51．（24-25六年级上·上海虹口·期中）某网络平台商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店星期_____销售量最多，是_____辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售了_____辆； (3)该店这一周平均每天销售多少辆？ 【答案】(1)六，121 (2)29 (3)103辆 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． （1）利用正数和负数的意义解答； （2）用最多的一天减去最少的一天即可； （3）利用有理数的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：， （辆）， 根据记录的数据可知该店星期 六销售量最多，是 121辆； 故答案为：六，121； （2）解：（辆）， 故答案为：29； （3）解：， （辆）， 答：该店这一周平均每天销售103辆． 52．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3） ，然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 💯 课后巩固 复习建议 · 回归概念：默写相反数、绝对值、倒数定义，注意0的特殊性 · 数轴是工具：比较与距离问题先画数轴辅助分析 · 运算规范：混合运算严格按顺序，先定符号再算绝对值 · 易错点：−an与(−a)n、绝对值非负性、0无倒数 · 每日限时练习10道混合运算，巩固运算律与正确率 【作业1】．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列四个数中，最小的是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在这四个数中，， ∴最小的是， 故选：B． 【作业2】．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】解：数轴上点M表示的数可能是1.5． 【作业3】．（24-25九年级下·上海·阶段检测）绝对值小于3的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的大小比较，根据绝对值的意义求出符合条件的整数，然后即可得解． 【详解】解：绝对值小于3的整数有， ∴有5个， 故选：B． 【作业4】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【作业5】．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是____． 【答案】 【知识点】相反数的定义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握数轴的性质以及相反数的定义是解题关键．根据点A和点B表示的数互为相反数，确定原点的位置，即可得出点C表示的数． 【详解】解：点A和点B表示的数互为相反数， 的中点为原点， 表示如下： 点C表示的数是， 故答案为：． 【作业7】．（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 【作业8】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知，且，则__________． 【答案】或 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 【作业9】．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题主要考查代数式的值及绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可进行求解即可，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）________的平方等于，立方得的数是________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、有理数的乘方运算、立方根概念理解 【详解】解：的平方等于， 立方得的数是． 【作业11】．（24-25六年级上·上海·期末）在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数____．    【答案】2023或2024 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算、代数式求值等知识点，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得或， 则输入的数或2024． 故答案为：2023或2024． 【作业12】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 【作业13】．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 【答案】0 【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 【作业14】．（25-26八年级上·上海·课后作业）把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数． ，，，，，． 【答案】 ； ； ； ； ； ． 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了分数和小数的互化，掌握分数与除法的关系是解题关键． 直接利用有理数的除法运算法则计算的，进而得出答案． 【详解】略 【作业15】．（24-25七年级上·甘肃平凉·阶段检测）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业16】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 【作业17】．（24-25六年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键；根据法则有乘方先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号可先算括号里面的，按法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 【作业18】．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）赣州享有“世界橙乡”的美誉，中华名果赣南脐橙热销世界各地．刚大学毕业的小明把自家的脐橙产品放到了网上售卖，他原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位： )． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出 ． (2)若脐橙按1.2元的利润计算，则小明本周一共赚了多少元？ 【答案】(1)296 (2)860.4元 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正数和负数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用前三天计划销售总量加上三天与计划量的差值总和即可得出结果； （2）先计算实际销售总量，再乘以每千克的利润即可得出结果． 【详解】（1）解：根据记录的数据可知前三天共卖出： ； （2）解： ， （元）， 故小明本周一共赚了元． 学科网（北京）股份有限公司 $