新中考热点问题28 综合背景下的共顶点旋转相似-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

 

 

 

已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.

(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形．

(2)如图2，将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC)，BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明．

(3)如图3，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC)，若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．

解：(1)证明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC.

∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四边形ABDC为平行四边形．

∵AB＝AC，∴平行四边形ABDC为菱形．

(2)∠ACE＋∠EFC＝180°.理由如下：

∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC.

∵∠ACB＋∠ACF＝∠DEC＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF.

∵∠CEF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACE＋∠EFC＝180°.

(3)如图，在AD上取点M，使AM＝BC，连结BM.

在△AMB和△CBD中，

∴△AMB≌△CBD(SAS)，∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，∴∠BMD＝∠BDM.

∵∠BMD＝∠BAD＋∠MBA，∴∠ADB＝∠BCD＋∠BDC.

设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α＋β，

∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝α＋2β，∴∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝2β，

∴∠ACB＝×(180°－2β)＝90°－β，∴∠ACD＝90°－β＋α.

∵∠ACD＋∠CAD＋∠CDA＝180°，∴90°－β＋α＋α＋2β＋α＋2β＝180°，∴α＋β＝30°，即∠ADB＝30°.

1. 如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连结BE，CE.

(1)直接写出CE与AB的位置关系．

(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D(点B′，E′分别与点B，E对应)，连结CE′，AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与(1)中CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由．

(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD，AB′分别交于点G，

F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．

解：(1)如图1，延长CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

∠ABC＝∠DAB＝45°.

∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，

∴∠BHC＝∠BAD＋∠AEH＝90°，∴CE⊥AB.

(2)在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与(1)中CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：

如图2，延长CE′交AB′于H，

由旋转，得CD＝DE′，B′D＝AD.

∵∠ADC＝∠ADB＝90°，