第3章 位置与坐标 单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第3章 位置与坐标 知识点1：确定位置与有序数对 　　　有序数对：有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作，可用来表示座位、方位等位置。 　　　确定位置的常用方法：有序数对法、方位角+距离法、经纬度法、区域定位法。 　　　注意：有序数对的顺序不能颠倒，与表示的位置不同（当时）。 知识点2：平面直角坐标系 　　　平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系；水平方向的数轴叫轴（横轴），竖直方向的叫轴（纵轴），交点叫原点。 　　　象限划分：坐标平面被两条坐标轴分成四部分，右上为第一象限，其余按逆时针依次为第二、三、四象限。 　点的坐标：平面内点向轴、轴作垂线，垂足对应的实数、分别是点的横坐标、纵坐标；坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 知识点3：各象限与坐标轴上点的坐标特征 位置 坐标特征 第一象限 ， 第二象限 ， 第三象限 ， 第四象限 ， 轴上 纵坐标为0，即 轴上 横坐标为0，即 原点 横、纵坐标都为0，即 　　　到坐标轴的距离：点到轴的距离为，到轴的距离为。 　　　与坐标轴平行的直线：与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同；与轴平行的直线上所有点的横坐标相同。 　　　角平分线上的点：一、三象限角平分线上的点；二、四象限角平分线上的点。 知识点4：用坐标表示平移 　　　点的平移规律：向右（左）平移个单位，横坐标加（减）；向上（下）平移个单位，纵坐标加（减）。即“右加左减、上加下减”。 　　　图形平移：图形各点横坐标都加（减），整体向右（左）平移；各点纵坐标都加（减），整体向上（下）平移。 知识点5：轴对称与坐标变化 对称方式 坐标变化规律 关于轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数： 关于轴对称 纵坐标相同，横坐标互为相反数： 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数： 【基础必考题型】 【题型1】有序数对确定位置 1.核心知识点: 　　有序数对表示位置；座位、方位角+距离、区域定位法。 2.解题方法技巧: 　　①有序数对的顺序不能颠倒，先横后纵或按题目规定顺序。 ②建立坐标或借助参照点，把实际位置转化为有序数对。 【例题1】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）“苏超”联赛赛事期间众多观众涌入现场观看比赛，且需凭票对号入座．表示看台上第2排第1列的球迷座位位置，那么看台上第4排第5列的球迷座位位置可以表示为_______． 【答案】 【分析】已知有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示列数，按规则写出对应位置即可． 【详解】解：∵表示看台上第2排第1列的球迷座位位置， ∴有序数对中第一个数对应排数，第二个数对应列数， ∴第4排第5列的球迷座位位置可以表示为． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·山东济南·期中）在电影院中，如果将“12排8号”用有序数对表示为，那么“7排9号”可以用有序数对表示为________，有序数对表示的含义是____________． 【答案】 “16排28号” 【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：∵“12排8号”用有序数对表示为， ∴“7排9号”应表示为； 表示的含义是“16排28号”． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·湖南郴州·期末）北宋理学鼻祖周敦颐任汝城古桂阳（今汝城）知县时写下诗作《牧童》，下图是该古诗书法方格，若“风”的位置用有序数对表示，则“歌”的位置可以表示为（     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 牧 童 2 东 风 放 牧 出 长 坡 ， 3 谁 识 阿 童 乐 趣 多 。 4 归 路 转 鞭 牛 背 上 ， 5 笛 声 吹 老 太 平 歌 。 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“风”的表示方法确定有序数对的表示规则，然后确定汉字“歌”的位置，写出对应的有序数对． 【详解】解：“风”的位置为，且“风”在从上往下第2行、从左往右第3列，可知有序数对第一个数表示从上往下的行号，第二个数表示从左往右的列号； 观察“歌”的位置，对应从上往下第5行、从左往右第8列，故位置为． 【变式题1-3】.（26-27六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，本届奥运会的口号是“奥运更开放”．如图中字母的位置用数对表示是，字母的位置用数对表示是( )，字母l的位置用数对表示是( )． 【答案】 【分析】根据题意，可知数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，字母的位置用数对表示是， 则字母的位置用数对表示是，字母l的位置用数对表示是． 【题型2】由坐标判断点所在象限 1.核心知识点: 　　各象限点的坐标符号特征；含参数坐标的象限判断。 2.解题方法技巧: 　　①先看横、纵坐标正负，对照象限符号特征判断。 ②含参数时分析参数范围确定坐标符号，排除坐标轴上的点。 【例题2】.（25-26八年级下·湖南株洲·期末）若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，在第三象限． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵ ，． ∴ ． ∴ 点在第一象限． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）平面直角坐标系中，点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵点的横、纵坐标均为负数． ∴该点在第三象限． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点落在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点在第二象限． 【题型3】由象限判断坐标符号或参数范围 1.核心知识点: 　　由象限反推坐标正负；由位置求参数取值范围。 2.解题方法技巧: 　　①点在某象限，据该象限符号特征列不等式组求参数。 ②点在坐标轴上，令横坐标或纵坐标为0，求参数并检验。 【例题3】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点A的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴点A的坐标为． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先求出，，再根据点在第四象限，得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵点在第四象限， ∴，， ∴． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）若点在第三象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，得到b的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 选项中只有满足． 【题型4】点到坐标轴的距离 1.核心知识点: 　　点到轴距离为，到轴距离为；由距离求坐标要分类讨论。 2.解题方法技巧: 　　①由距离列出、的等式，结合象限符号确定坐标。 ②已知到两轴距离求坐标，因象限不同可能有多个解。 【例题4】.（26-27八年级上·广东清远·期中）点到x轴的距离是_________． 【答案】6 【分析】根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律求解，点到轴的距离仅由点的纵坐标决定，为纵坐标的绝对值． 【详解】解：平面直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∵点的坐标为，其纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若点在轴上，且距离原点个单位长度，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标是， 又∵点距离原点个单位长度， ∴点的纵坐标的绝对值为， ∴点的纵坐标为或， ∴点的坐标为或． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·广东清远·期中）若点在第四象限，点到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到坐标轴的距离确定横纵坐标的绝对值，结合第四象限内点的坐标符号特征求解． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限， ∴，， ∴点的坐标为． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）在直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，则的坐标为________． 【答案】 【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点，结合点到坐标轴的距离等于对应横纵坐标的绝对值，即可求出点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标和纵坐标均为负数， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 【题型5】平行于坐标轴的直线上的点 1.核心知识点: 　　与轴平行纵坐标相同；与轴平行横坐标相同；求线段长。 2.解题方法技巧: 　　①与轴平行令纵坐标相等，与轴平行令横坐标相等求参数。 ②平行于坐标轴的线段长等于横坐标或纵坐标之差的绝对值。 【例题5】.（24-25七年级下·吉林白山·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，连接A、B两点所成的线段与______轴平行． 【答案】y 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点A和点B的横坐标相同，纵坐标不同，即可得到直线与y轴平行． 【详解】解：∵点、的横坐标相同，纵坐标不同， ∴连接A、B两点所成的线段与轴平行， 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·安徽淮北·期末）点和点，若所在的直线与轴平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与x轴平行的直线上的点的坐标特征． 直线与x轴平行时，其上所有点的纵坐标相等． 【详解】解：∵轴， ∴点A与点B的纵坐标相等， 即． 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，与y轴平行的直线上所有点的横坐标相等，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点与的连线与y轴平行， ∴它们的横坐标相等， 即，解得， 则点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为. 故答案为： 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，写出一个点P的坐标，使直线与x轴平行，则点P的坐标可以是：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，进行作答即可. 【详解】解：由题意，点P的坐标可以是（答案不唯一）. 【培优高频题型】 【题型6】点的平移 1.核心知识点: 　　点平移坐标变化规律“右加左减、上加下减”；逆向平移。 2.解题方法技巧: 　　①向右平移横坐标加，向左减；向上平移纵坐标加，向下减。 ②已知平移后的点求原坐标，用逆运算（加变减、减变加）。 【例题6】.（13-14八年级上·山东淄博·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据平移规律，向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，据此计算即可． 【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点N， ，， 点N的坐标为,即． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，已知单位长度为1的方格中有三角形． (1)三角形中任意一点平移后的对应点为，请画出三角形平移后所得的三角形； (2)若点A的坐标为，请在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析； (3) 【分析】本题平面直角坐标系，平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点平移的规律，进行解答，即可． （1）由平移规律，平移以后得到，可知：向右平移个单位，向上平移个单位；分别将点、、按此规则平移，得到对应点、、，依次连接、、，即得； （2）已知，以点所在竖直线为轴，过作水平直线为轴，建立平面直角坐标系． （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：平面直角坐标系如下： ∴点． （3）解： ． 【变式题6-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 【题型7】点的轴对称与中心对称 1.核心知识点: 　　关于轴、轴、原点对称的坐标变化；由对称关系求参数。 2.解题方法技巧: 　　①关于轴对称纵坐标互为相反数，关于轴对称横坐标互为相反数，关于原点对称两者都相反。 ②由对称点的坐标相等关系列方程组求参数。 【例题7】.（26-27八年级上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是___． 【答案】 【分析】根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，解答即可． 【详解】解：根据题意，得点的坐标是． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）若点与点关于轴对称，则的值为__________________． 【答案】1 【分析】先根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，对角线，交于点，已知，，将长方形沿轴翻折（即关于轴对称），则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，则点的坐标为，即，然后求出关于轴对称的对应点的坐标． 【详解】解：因为在长方形中，，， 所以，，点为中点， 所以点的坐标为，即， 所以点关于轴对称的对应点的坐标为． 【变式题7-3】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）先找出关于轴对称的点，确定对称的点在直角坐标系位置，描点，连线即可． （2）利用关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变成原数的相反数即可求出的坐标． （3）观察图形，准确找出的底和高及对应的长度，利用面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，关于轴对称得到， 坐标关于轴对称，不变横坐标，纵坐标变为原数的相反数， ， ． （3）解：观察图可知，，到的距离为3， ． 【题型8】坐标系中的面积问题 1.核心知识点: 　　由顶点坐标求三角形、四边形面积；割补法。 2.解题方法技巧: 　　①三角形面积用底×高÷2，先找底在坐标轴或平行坐标轴的边。 ②不规则图形用割补法转化为规则图形，或用水平底×铅垂高÷2。 【例题8】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求，由图可知，，，； (2) 【分析】（）根据轴对称的性质画出图形即可； （）利用割补法计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 【变式题8-1】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)以轴为对称轴对称，得到．请你在图中画出； (2)写出，，三点的对应点、、的坐标； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据轴对称的特点作图即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 【变式题8-2】.（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)画出四边形关于直线对称的四边形； (2)求四边形的面积； (3)若点是直线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）直线为，根据轴对称性质求出四个顶点的对称点坐标，依次连接各点画出四边形； （2）根据四边形面积等于； （3）设点的坐标为，根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形的面积为． （3）解：设点的坐标为． ∵， ∴，即． 解得或． 故点的坐标为或． 【变式题8-3】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标________； (2)求的面积________； (3)若点且，求出点P的坐标________． 【答案】(1)关于x轴的对称图形，如图即为所求； 点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）根据题意可知，点到距离为，再根据即可列出关于a的方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：图略， 由图可知，点的坐标为； （2）解：； （3）解：∵ ，， ∴， ∵， ∴ 点到距离为， ∵ ， ∴ ， 解得或， ∴ 点P的坐标为或． 【压轴素养题型】 【题型9】坐标系中的规律探究 1.核心知识点: 　　点运动、图形变换的坐标规律；由特殊到一般归纳通项。 2.解题方法技巧: 　　①观察前几项坐标变化，找横、纵坐标随序号的变化规律。 ②按周期或递推关系写出第个点坐标，再求指定项。 【例题9】.（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第次移动到，则的面积是________． 【答案】 【分析】结合图形总结规律可知，也在某个正方形的右上角，则 ，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，每个正方形右上角的点的序号为（为非负整数），且相邻两个右上角的点之间的距离为， 令， 解得，符合题意， ∴也在某个正方形的右上角， ∴，且， ∵， ∴． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察，，，…，可得（为偶数），由此规律即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，，…， ∵，，，…， ∴观察可得，（为偶数）， ∴点的坐标为，即． 【变式题9-2】.（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，设， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得，点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 此时点与点重合，即每6个点一个循环． ∵， ∴与点重合， 故． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第次移动到，则的面积是______． 【答案】 【分析】观察图形可知：若点在数轴上，则，结合不是的倍数的偶数点为正方形的上方右侧顶点，求得，代入三角形面积公式即可求解． 【详解】根据题意，在数轴上，且， ∴， ∵不是的倍数的偶数点，， ∴为正方形的上方右侧顶点，即， ∴， ∴的面积为． 【题型10】坐标系中新定义探究题 1.核心知识点: 　　阅读理解新定义（等距点、矩面积等）；按定义建立坐标关系。 2.解题方法技巧: 　　①精读题干提取新定义规则，转化为坐标运算关系。 　　②按定义列式，注意分类讨论与多解。 【例题10】.（25-26七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中定义：若点满足，则称点为“等值点”．已知点是“等值点”，则________． 【答案】或 【分析】根据新定义“等值点”的条件，列出关于的绝对值方程，利用绝对值的性质分类讨论求解即可． 【详解】解：点是“等值点”， ∴， ∴或， 当时，解得， 当时，解得， ∴或． 【变式题10-1】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，根据题意计算甲．乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，利用提供的计算方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，画出平面直角坐标系如下： 根据题意，得， ， 即，即， ， 故此“L”形的重心坐标为． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“完美距离”，给出以下定义： 若，则点与的“完美距离”为； 若，则点与的“完美距离”为； 已知点，B为y轴上的一个动点． (1)若点A与点B的“完美距离”为，求满足条件的点B的坐标； (2)求点A与点B的“完美距离”的最大值． 【答案】(1)点B的坐标为或 (2)1 【分析】（1）根据题意设，结合“完美距离”的定义可知此时，据此即可解答； （2）设，根据题意分两种情况讨论点A与点B的“完美距离”，进而得出最值． 【详解】（1）解：∵点，B为y轴上的一个动点， ∴设， ∵点A与点B的“完美距离”为，， ∴点A与点B的“完美距离”为， ∴， ∴满足条件的点B的坐标为或； （2）解：∵点，B为y轴上的一个动点， ∴设， ∴，， ①当时， 则点A与点B的“完美距离”为1； ②当时， 则点A与点B的“完美距离”为，且， ∴点A与点B的“完美距离”的最大值为1． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为． ①点的“长距”是 ； ②在点，，中，为点的“等距点”的是 ； ③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是 ； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ． 【答案】(1)①；②点；③或 (2)或 (3)①；② 【分析】（1）①根据题中定义即可解答； ②根据题中定义判断即可； ③根据，即可解答； （2）分情况讨论，即或，解出答案，再判断是否符合条件； （3）①根据图形即可解答； ②分点的“长距”为，，，三种情况，再找出所有符合条件的点，即可解答． 【详解】（1）解：①根据定义可得点的“长距”是； ②点的“长距”是，为点的“等距点”； 点的“长距”是，不是点的“等距点”； 点的“长距”是，不是点的“等距点”； ③、两点为“等距点”， ， 解得或； （2）解：，两点为“等距点”， <1>当时， 解得或， 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件； 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件； <2>当时， 可得或， 解得或， 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件； 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件； 综上，或； （3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小， “长距”为； ②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”， ∴点的横、纵坐标均为整数， 当点的“长距”为时，没有符合条件的点； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，共个； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，共个； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，，，，，共个， 综上，所有可能满足条件的点的个数是个． 易错点 　　　象限符号记错：第二、三、四象限坐标符号混淆；轴、轴上的点误归入象限。 　　　距离与坐标混淆：点到轴距离误为，实为；忘记加绝对值导致漏解。 　　　平移方向记反：横坐标加减方向写反，把“右加左减”记为“右减左加”。 　　　对称关系记错：关于轴对称误为横坐标相反；关于原点对称漏掉其中一个坐标变化。 　　　平行坐标轴混淆：与轴平行误令横坐标相等，实为纵坐标相等。 重点 　　　有序数对确定位置，平面直角坐标系的建立与象限划分。 　　　各象限、坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离。 　　　用坐标表示平移、轴对称、中心对称的坐标变化规律。 　　　坐标系中求图形的面积，由面积求点的坐标。 难点 　　　坐标系中的规律探究，用含的式子归纳点的坐标。 　　　动点问题与坐标系综合，用时间表示坐标，分类讨论运动位置。 　　　坐标系中新定义题与存在性问题，阅读理解、设元列式、验证推理。 　　　由坐标求面积、由面积求坐标，涉及绝对值与分类讨论，易漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．点在（     ） A．第二象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】D 【详解】解：∵点的横坐标为． ∴点在轴上． 2．点关于x轴的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴的对称点横坐标为，纵坐标为． ∴对称点坐标为． 3．如图，点，点，在第三象限作，使，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形构造全等三角形，将长度转化，进而表示出点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点M， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∵、， ∴、， ∴、， 故点的坐标为． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作轴的对称点，连接，连接，所以，所以，所以当，，三点共线时，有最小值，即的长，然后通过两点的距离公式求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴的对称点，连接，连接， 所以，， 所以， 所以当，，三点共线时，有最小值，即的长， 所以，即的最小值为． 5．若点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】点在第四象限，可得横坐标为正，纵坐标为负；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，据此可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标大于，纵坐标小于， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 结合横纵坐标的符号可得，点的坐标为． 6．平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为______________． 【答案】1 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，得到和的值，再计算． 【详解】解：点与点关于轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 ， ． 三、解答题 7．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3，求点P的坐标． (2)点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据纵坐标比横坐标大3的数量关系列方程求m，代入坐标表达式得结果； （2）利用平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质列方程求m，代入坐标表达式得结果． 【详解】（1）解：∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴， 解得， ∴，， ∴点P的坐标为； （2）解：∵过点且与x轴平行的直线上的点纵坐标均为， ∴，解得． ∴， ∴点P的坐标为． 8．已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P到两坐标轴距离相等； (3)点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此建立方程求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点到两坐标轴距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴，或， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点在过点，且与x轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 9．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上． (1)请写出A，B，C三点的坐标． (2)已知点，，画出； (3)的面积为 ． 【答案】(1)，， (2) (3)10 【分析】（1）根据直角坐标系直接写出A，B，C三点的坐标即可； （2）根据点A，点D，点E的坐标画出即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据直角坐标系可知：，，． （2）略 （3）解：． 10．定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，且，点C在x轴的正半轴上，且． (1)点A的坐标为________，点C的坐标为________； (2)若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． (3)若点P是直线和y轴的“等距点”，且点P在x轴上，则点P的坐标为________________． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据点B的坐标求出的长，得到点A的坐标，利用勾股定理求出的长，得到点C的坐标； （2）根据三角形的面积公式得到，据此求出的长即可得到答案； （3）设点P的坐标为，则点P到y轴的距离为，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点A在y轴正半轴上， ∴点A的坐标为； ∵，， ∴， 又∵点C在x轴的正半轴上， ∴点C的坐标为； （2），解：∵点P在x轴上，的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵点B的坐标为， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为，则点P到y轴的距离为， ∵点P是直线和y轴的“等距点”， ∴点P到直线的距离为， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 位置与坐标 知识点1：确定位置与有序数对 　　　有序数对：有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作，可用来表示座位、方位等位置。 　　　确定位置的常用方法：有序数对法、方位角+距离法、经纬度法、区域定位法。 　　　注意：有序数对的顺序不能颠倒，与表示的位置不同（当时）。 知识点2：平面直角坐标系 　　　平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系；水平方向的数轴叫轴（横轴），竖直方向的叫轴（纵轴），交点叫原点。 　　　象限划分：坐标平面被两条坐标轴分成四部分，右上为第一象限，其余按逆时针依次为第二、三、四象限。 　点的坐标：平面内点向轴、轴作垂线，垂足对应的实数、分别是点的横坐标、纵坐标；坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 知识点3：各象限与坐标轴上点的坐标特征 位置 坐标特征 第一象限 ， 第二象限 ， 第三象限 ， 第四象限 ， 轴上 纵坐标为0，即 轴上 横坐标为0，即 原点 横、纵坐标都为0，即 　　　到坐标轴的距离：点到轴的距离为，到轴的距离为。 　　　与坐标轴平行的直线：与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同；与轴平行的直线上所有点的横坐标相同。 　　　角平分线上的点：一、三象限角平分线上的点；二、四象限角平分线上的点。 知识点4：用坐标表示平移 　　　点的平移规律：向右（左）平移个单位，横坐标加（减）；向上（下）平移个单位，纵坐标加（减）。即“右加左减、上加下减”。 　　　图形平移：图形各点横坐标都加（减），整体向右（左）平移；各点纵坐标都加（减），整体向上（下）平移。 知识点5：轴对称与坐标变化 对称方式 坐标变化规律 关于轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数： 关于轴对称 纵坐标相同，横坐标互为相反数： 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数： 【基础必考题型】 【题型1】有序数对确定位置 1.核心知识点: 　　有序数对表示位置；座位、方位角+距离、区域定位法。 2.解题方法技巧: 　　①有序数对的顺序不能颠倒，先横后纵或按题目规定顺序。 ②建立坐标或借助参照点，把实际位置转化为有序数对。 【例题1】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）“苏超”联赛赛事期间众多观众涌入现场观看比赛，且需凭票对号入座．表示看台上第2排第1列的球迷座位位置，那么看台上第4排第5列的球迷座位位置可以表示为_______． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·山东济南·期中）在电影院中，如果将“12排8号”用有序数对表示为，那么“7排9号”可以用有序数对表示为________，有序数对表示的含义是____________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·湖南郴州·期末）北宋理学鼻祖周敦颐任汝城古桂阳（今汝城）知县时写下诗作《牧童》，下图是该古诗书法方格，若“风”的位置用有序数对表示，则“歌”的位置可以表示为（     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 牧 童 2 东 风 放 牧 出 长 坡 ， 3 谁 识 阿 童 乐 趣 多 。 4 归 路 转 鞭 牛 背 上 ， 5 笛 声 吹 老 太 平 歌 。 6 A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，本届奥运会的口号是“奥运更开放”．如图中字母的位置用数对表示是，字母的位置用数对表示是( )，字母l的位置用数对表示是( )． 【题型2】由坐标判断点所在象限 1.核心知识点: 　　各象限点的坐标符号特征；含参数坐标的象限判断。 2.解题方法技巧: 　　①先看横、纵坐标正负，对照象限符号特征判断。 ②含参数时分析参数范围确定坐标符号，排除坐标轴上的点。 【例题2】.（25-26八年级下·湖南株洲·期末）若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式题2-1】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式题2-2】.（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）平面直角坐标系中，点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式题2-3】.（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点落在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型3】由象限判断坐标符号或参数范围 1.核心知识点: 　　由象限反推坐标正负；由位置求参数取值范围。 2.解题方法技巧: 　　①点在某象限，据该象限符号特征列不等式组求参数。 ②点在坐标轴上，令横坐标或纵坐标为0，求参数并检验。 【例题3】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）点在轴上，则的值为________． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点A的坐标为_______． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，，，则的值为________． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）若点在第三象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【题型4】点到坐标轴的距离 1.核心知识点: 　　点到轴距离为，到轴距离为；由距离求坐标要分类讨论。 2.解题方法技巧: 　　①由距离列出、的等式，结合象限符号确定坐标。 ②已知到两轴距离求坐标，因象限不同可能有多个解。 【例题4】.（26-27八年级上·广东清远·期中）点到x轴的距离是_________． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若点在轴上，且距离原点个单位长度，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式题4-2】.（26-27八年级上·广东清远·期中）若点在第四象限，点到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）在直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，则的坐标为________． 【题型5】平行于坐标轴的直线上的点 1.核心知识点: 　　与轴平行纵坐标相同；与轴平行横坐标相同；求线段长。 2.解题方法技巧: 　　①与轴平行令纵坐标相等，与轴平行令横坐标相等求参数。 ②平行于坐标轴的线段长等于横坐标或纵坐标之差的绝对值。 【例题5】.（24-25七年级下·吉林白山·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，连接A、B两点所成的线段与______轴平行． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·安徽淮北·期末）点和点，若所在的直线与轴平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，写出一个点P的坐标，使直线与x轴平行，则点P的坐标可以是：______． 【培优高频题型】 【题型6】点的平移 1.核心知识点: 　　点平移坐标变化规律“右加左减、上加下减”；逆向平移。 2.解题方法技巧: 　　①向右平移横坐标加，向左减；向上平移纵坐标加，向下减。 ②已知平移后的点求原坐标，用逆运算（加变减、减变加）。 【例题6】.（13-14八年级上·山东淄博·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，已知单位长度为1的方格中有三角形． (1)三角形中任意一点平移后的对应点为，请画出三角形平移后所得的三角形； (2)若点A的坐标为，请在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (3)求三角形的面积． 【变式题6-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【题型7】点的轴对称与中心对称 1.核心知识点: 　　关于轴、轴、原点对称的坐标变化；由对称关系求参数。 2.解题方法技巧: 　　①关于轴对称纵坐标互为相反数，关于轴对称横坐标互为相反数，关于原点对称两者都相反。 ②由对称点的坐标相等关系列方程组求参数。 【例题7】.（26-27八年级上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是___． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）若点与点关于轴对称，则的值为__________________． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，对角线，交于点，已知，，将长方形沿轴翻折（即关于轴对称），则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)直接写出的面积． 【题型8】坐标系中的面积问题 1.核心知识点: 　　由顶点坐标求三角形、四边形面积；割补法。 2.解题方法技巧: 　　①三角形面积用底×高÷2，先找底在坐标轴或平行坐标轴的边。 ②不规则图形用割补法转化为规则图形，或用水平底×铅垂高÷2。 【例题8】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； (2)求的面积． 【变式题8-1】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)以轴为对称轴对称，得到．请你在图中画出； (2)写出，，三点的对应点、、的坐标； (3)直接写出的面积． 【变式题8-2】.（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)画出四边形关于直线对称的四边形； (2)求四边形的面积； (3)若点是直线上一点，当时，求点的坐标． 【变式题8-3】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标________； (2)求的面积________； (3)若点且，求出点P的坐标________． 【压轴素养题型】 【题型9】坐标系中的规律探究 1.核心知识点: 　　点运动、图形变换的坐标规律；由特殊到一般归纳通项。 2.解题方法技巧: 　　①观察前几项坐标变化，找横、纵坐标随序号的变化规律。 ②按周期或递推关系写出第个点坐标，再求指定项。 【例题9】.（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第次移动到，则的面积是________． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第次移动到，则的面积是______． 【题型10】坐标系中新定义探究题 1.核心知识点: 　　阅读理解新定义（等距点、矩面积等）；按定义建立坐标关系。 2.解题方法技巧: 　　①精读题干提取新定义规则，转化为坐标运算关系。 　　②按定义列式，注意分类讨论与多解。 【例题10】.（25-26七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中定义：若点满足，则称点为“等值点”．已知点是“等值点”，则________． 【变式题10-1】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“完美距离”，给出以下定义： 若，则点与的“完美距离”为； 若，则点与的“完美距离”为； 已知点，B为y轴上的一个动点． (1)若点A与点B的“完美距离”为，求满足条件的点B的坐标； (2)求点A与点B的“完美距离”的最大值． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为． ①点的“长距”是 ； ②在点，，中，为点的“等距点”的是 ； ③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是 ； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ． 易错点 　　　象限符号记错：第二、三、四象限坐标符号混淆；轴、轴上的点误归入象限。 　　　距离与坐标混淆：点到轴距离误为，实为；忘记加绝对值导致漏解。 　　　平移方向记反：横坐标加减方向写反，把“右加左减”记为“右减左加”。 　　　对称关系记错：关于轴对称误为横坐标相反；关于原点对称漏掉其中一个坐标变化。 　　　平行坐标轴混淆：与轴平行误令横坐标相等，实为纵坐标相等。 重点 　　　有序数对确定位置，平面直角坐标系的建立与象限划分。 　　　各象限、坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离。 　　　用坐标表示平移、轴对称、中心对称的坐标变化规律。 　　　坐标系中求图形的面积，由面积求点的坐标。 难点 　　　坐标系中的规律探究，用含的式子归纳点的坐标。 　　　动点问题与坐标系综合，用时间表示坐标，分类讨论运动位置。 　　　坐标系中新定义题与存在性问题，阅读理解、设元列式、验证推理。 　　　由坐标求面积、由面积求坐标，涉及绝对值与分类讨论，易漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．点在（     ） A．第二象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 2．点关于x轴的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点，点，在第三象限作，使，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点，连接，，则的最小值为______． 5．若点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为________． 6．平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为______________． 三、解答题 7．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3，求点P的坐标． (2)点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标． 8．已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P到两坐标轴距离相等； (3)点P在过点，且与x轴平行的直线上． 9．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上． (1)请写出A，B，C三点的坐标． (2)已知点，，画出； (3)的面积为 ． 10．定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，且，点C在x轴的正半轴上，且． (1)点A的坐标为________，点C的坐标为________； (2)若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． (3)若点P是直线和y轴的“等距点”，且点P在x轴上，则点P的坐标为________________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $