新中考热点问题22 图形的轴对称-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

8．图形变换(平移、轴对称和旋转)的应用 (1)三角形背景下的轴对称 如图，在△ABC中，AB＝AC，tan B＝，点D为BC上一动点，连结AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG∶CG＝3∶1，则＝____． 【解析】 如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，如图． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C. 设CG＝a，则AG＝3a， ∴AB＝AC＝AE＝4a. 在Rt△ABF中，tan B＝＝， ∴BF＝AF，∴＋AF2＝(4a)2， 解得AF＝a或AF＝－a(舍去)， ∴AH＝AF＝a，BF＝EH＝a. 在Rt△AGH中，GH＝＝＝a， ∴EG＝EH－GH＝a－a＝a. ∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG， ∴＝，即＝， ∴DG＝a，∴＝＝， ∴＝＝. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC.点D，E分别在边AB，BC上，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB′E＝30°，CE＝3，则BC的长为__9__． 【解析】 ∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB′E＝30°，CE＝3， ∴B′E＝BE＝2CE＝6，∴BC＝CE＋BE＝3＋6＝9. 第1题图 　　　　　第2题图 2. 如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为__25°或115°__． 【解析】 当点B′在直线BC的下方时，如图1， ∵B′D⊥BC，∴∠BDB′＝90°， ∴∠ADB′＋∠ADB＝360°－90°＝270°. ∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处， ∴∠ADB′＝∠ADB＝×270°＝135°. ∵∠B＝20°， ∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－20°－135°＝25°. 当点B′在直线BC的上方时，如图2， ∵B′D⊥BC，∴∠BDB′＝90°. ∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处， ∴∠ADB′＝∠ADB＝×90°＝45°， ∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－20°－45°＝115°. 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连结BC′，则BC′的最小值为__3－3__． 【解析】 ∵∠C＝90°，CA＝CB＝3， ∴AB＝＝3. 由折叠的性质可知AC＝AC′＝3. ∵BC′≥AB－AC′，∴当A，C′，B三点在同一条直线时，BC′取最小值，最小值为BC′＝AB－AC′＝3－3. 第3题图 　　　　　第4题图 4. 如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝__2__． 【解析】 设CA′交AB于O，如图． ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD. 由翻折的性质可知∠ACD＝∠A′CD， AC＝CA′，∴∠A＝∠ACD＝∠A′CD. ∵A′C⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠A′CD＋∠ACD＋∠A＝90°， ∴∠A＝∠ACD＝∠A′CD＝30°. 在Rt△ABC中，tan A＝，∴tan 30°＝，∴AC＝2，∴CA′＝2. (2)矩形背景下的轴对称 如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为(　A　) A.－2 B．－1 C． D． 【解析】 ∵BC＝CE，∠EDC＝∠CFB＝90°， ∠DEC＝∠BCF， ∴△EDC≌△CFB(AAS)， ∴DE＝CF＝2， ∴CE＝＝＝＝BC＝AD， ∴AE＝AD－DE＝－2. 1. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平； 第二步：将图1中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图2. 根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是(　C　) A．3 B． C．2 D．1 【解析】 ∵四边形ABEF是正方形， ∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°. 如题图2，由折叠得FM＝CM， ∵EM2＋EF2＝FM2，且EM＝8－BM，FM＝CM＝12－BM， ∴(8－BM)2＋82＝(12－BM)2，解得BM＝2. 第1题图 　第2题图 　第3题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5.OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是(　D　) A．(1，2) B．(－1，2) C．(－1，2) D．(1－，2) 【解析】 ∵矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4， ∴OA＝1，OD＝4，BC＝5. ∵AB∥OC1，∴∠ABO＝∠D1OC1. ∵∠BAO＝∠OD1C1＝90°， ∴△AOB∽△D1C1O， ∴＝. ∵将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置， ∴OD1＝OD＝4，D1C1＝DC＝AB， ∴＝，∴AB＝2(负值舍去)， ∴CD＝2. 连结OC，设BC与OC1交于点F， ∴OC＝＝＝2. ∵∠FOA＝∠OAB＝∠ABF＝90°， ∴四边形OABF是矩形， ∴AB＝OF＝2，∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1， ∴CF＝5－1＝4. 由折叠知，OC1＝OC＝2，EC1＝EC＝CF－EF＝4－EF， ∴C1F＝OC1－OF＝2－2. ∵EF2＋C1F2＝EC， ∴EF2＋(2－2)2＝(4－EF)2， 解得EF＝－1， ∴E(1－，2). 3. 右上图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处．若MF＝AB，则∠DAF＝__18__度． 【解析】 连结DM，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°. ∵M是AC的中点， ∴DM＝AM＝CM， ∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD. ∵DC，DF关于DE对称， ∴DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF. ∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC， ∴MF＝FD，∴∠FMD＝∠FDM. ∵∠DFC＝∠FMD＋∠FDM，∴∠DFC＝2∠FMD. ∵∠DMC＝∠FAD＋∠ADM，∴∠DMC＝2∠FAD. 设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°， ∴∠MCD＝∠MDC＝4x°. ∵∠DMC＋∠MCD＋∠MDC＝180°， ∴2x＋4x＋4x＝180. ∴x＝18. 4. 在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为__或__． 【解析】 设BM，EF交于点O， ∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F， ∴OM＝OB，EF⊥BM. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO. 又OM＝OB，∴△OEM≌△OFB(AAS)， ∴OE＝OF. ①当点M在点D的右侧时，如图1. ∵BC＝5，DM＝1， ∴AM＝AD＋DM＝BC＋DM＝6. 在Rt△ABM中，BM＝＝＝3， ∴OM＝BM＝.∵tan M＝＝， ∴＝，∴EO＝， ∴EF＝2EO＝. 当点M在点D的左侧时，如图2. ∵AB＝3，BC＝5，DM＝1， ∴BM＝＝＝5， ∴OM＝BM＝. ∵tan ∠EMO＝＝，∴＝， ∴EO＝，∴EF＝2EO＝. 综上所述，EF的长为或. 5. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为点A′，点D的对称点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__10＋6__． 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC.设AB＝CD＝x， 由翻折可知，PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x. ∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1， 又∵△A′EP∽△D′PH，∴A′P∶D′H＝2. ∵PA′＝x， ∴D′H＝x. ∵·x·x＝1， ∴x＝2(负根已经舍弃)， ∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝， ∴AD＝4＋2＋＋1＝5＋3， ∴矩形ABCD的面积＝2(5＋3)＝10＋6. (3)菱形背景下的轴对称 如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，给出下列结论：①DQ＝EQ；②BQ＝3；③BP＝；④BD∥FQ.其中，正确的是(　A　) A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【解析】 由折叠性质可知，∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5， ∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠QEF， ∴∠QDF＝∠QEF，∴DQ＝EQ＝5，故①正确． ∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB， ∴MQ＝AM＝4. ∵MB＝AB－AM＝5－4＝1， ∴BQ＝MQ－MB＝4－1＝3，故②正确． ∵CD∥AB，∴△CDP∽△BQP，∴＝＝. ∵CP＋BP＝BC＝5，∴BP＝BC＝，故③正确． ∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF， ∴＝＝＝＝，∴＝. ∵＝，∴≠， ∴△EFQ与△EDB不相似， ∴∠EQF≠∠EBD，∴BD与FQ不平行，故④错误． 1. 如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连结DB′.已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠AB′D的度数为(　C　) A.50° B．60° C．80° D．90° 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，∠C＝120°， ∴∠BAD＝∠C＝120°，AB＝AD. ∵将△ABE沿直线AE翻折，点B落在B′处， ∴∠BAE＝∠B′AE＝50°，AB′＝AB， ∴∠BAB′＝100°，AB′＝AD， ∴∠DAB′＝20°， ∴∠AB′D＝∠ADB′＝(180°－20°)÷2＝80°. 2. 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB′C′Q. (1)当∠QPB＝45°时，求四边形BB′C′C的面积． (2)当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB′C′C的面积为S，求S关于x的函数表达式． 解：(1)连结BD，BQ，如图1. ∵四边形ABCD为菱形， ∴CB＝CD＝4，∠A＝∠C＝60°， ∴△BDC为等边三角形． ∵Q为CD的中点， ∴CQ＝2，BQ⊥CD，∴BQ＝2，QB⊥PB. ∵∠QPB＝45°， ∴△PBQ为等腰直角三角形，∴PB＝BQ＝2，PQ＝2. 由翻折的性质可得，∠BPB′＝90°，PB＝PB′， ∴BB′＝2. 同理CQ＝2，∴CC′＝2， ∴S四边形BB′C′C＝2S梯形PBCQ－S△PBB′＋S△CQC′＝2××(2＋2)×2－×(2)2＋×22＝4＋8. (2)如图2，连结BQ，B′Q，延长PQ交CC′于点F. ∵PB＝x，BQ＝2，∠PBQ＝90°， ∴PQ＝. ∵S△PBQ＝PQ×BE＝PB×BQ， ∴BE＝＝， ∴QE＝，∴S△QEB＝××＝. ∵∠BEQ＝∠BQC＝∠QFC＝90°， 则∠EQB＝90°－∠CQF＝∠FCQ， ∴△BEQ∽△QFC，∴＝＝＝， ∴S△QFC＝.∵S△BQC＝×2×2＝2， ∴S＝2(S△QEB＋S△BQC＋S△QFC)＝ 2＝＋4. (4)正方形背景下的轴对称 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点．连结BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长． 解：延长BF交CD于H，连结EH. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°， AD＝CD＝AB＝1， ∴AC＝＝＝. 由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝EF. ∵∠D＝∠EFH＝90°， 在Rt△EHD和Rt△EHF中， ∴Rt△EHD≌Rt△EHF(HL)， ∴∠DEH＝∠FEH. ∵∠DEF＋∠AEF＝180°， ∴2∠DEH＋2∠AEB＝180°， ∴∠DEH＋∠AEB＝90°. ∵∠AEB＋∠ABE＝90°， ∴∠DEH＝∠ABE，∴△EDH∽△BAE， ∴＝＝，∴DH＝，CH＝. ∵CH∥AB，∴＝＝， ∴CG＝AC＝. 1. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM∶MD＝1∶2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连结DN，则DN的长是(　D　) A． B． C．3 D． 【解析】 连结AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H.如图． ∵AB＝6，AM∶MD＝1∶2，∴AM＝2，MD＝4. ∵四边形ABCD是正方形，∴BM＝＝2. 根据折叠性质，AO⊥BM，AO＝ON，AM＝MN＝2， ∴AB·AM＝BM·AO，∴AO＝＝，∴AN＝. ∵NH⊥AD，∴AN2－AH2＝MN2－MH2， ∴－(2＋MH)2＝22－MH2，∴MH＝， ∴HN＝＝＝，∴HD＝AD－AM－MH＝， ∴DN＝＝＝. 第1题图 　　　　　第2题图 　　　　　第3题图 2. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点B′处，则BE的长度为(　D　) A．1 B． C． D．2 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°. ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点B′处， ∴∠BEF＝∠FEB′＝60°，BE＝B′E，∴∠AEB′＝180°－∠BEF－∠FEB′＝60°， ∴B′E＝2AE.设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3－x，∴2(3－x)＝x，解得x＝2. 3. 如图，正方形ABCD的边长为10，G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连结BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连结GF，当GF最小时，AE的长是__5－5__． 【解析】 ∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE， ∴BF＝BA＝10， ∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G，F，B三点共线时，GF最小． 连结EG，设AE＝x，由勾股定理得，BG＝5. ∵S梯形ABGD＝S△EDG＋S△ABE＋S△EBG，∴(5＋10)×10＝×5×(10－x)＋×10x＋×5x， 解得x＝5－5，∴AE＝5－5. (5)圆背景下的轴对称 如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD＝100°，则∠B的度数是(　B　) A.100° B．80° C．60° D．50° 【解析】 如图，翻折△ACD，点A落在点A′处， ∴∠A′＝∠A＝100°. ∵四边形A′CBD是⊙O的内接四边形， ∴∠A′＋∠B＝180°，∴∠B＝80°. 1. 如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好过点O，则∠OCA＝(　C　) A.10° B．25° C．30° D．14° 【解析】 O关于直线AC的对称点是Q，连结OQ，交AC于点M，连结AQ， 则AC垂直平分OQ，即AQ＝AO，OM⊥AC. ∵OQ＝OA，∴OQ＝AQ＝OA，∴△AQO是等边三角形，∴∠AOQ＝60°. ∵OQ⊥AC，OA＝OC，∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，∴∠OCA＝90°－60°＝30°. 2. 有一个著名的希波克拉底月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和，现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把较小的两张半圆纸片的重叠部分的面积记为S1，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为S2，则直角三角形的面积可表示成(　B　) A.S1＋S2 B．S2－S1 C．S2－2S1 D．S1·S2 【解析】 设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆． ∵S小半圆＝π×＝BC2，S中半圆＝AC2，S大半圆＝AB2， ∴S大半圆－S中半圆－S小半圆＝(AB2－AC2－BC2)＝0. ∵S△ABC＋S大半圆－S中半圆－S小半圆＋S1＝S2，∴S△ABC＋S1＝S2， ∴S△ABC＝S2－S1，∴直角三角形的面积可表示成S2－S1. 3. 在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP. (1)如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B. ①求∠APO′的度数． ②求AP的长． (2)如图2，BO′与相交于点D，若D为的中点，且PD∥OB，求的长． 解：(1)①如图1，∵BO′是⊙O的切线， ∴∠OBO′＝90°. 由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，∠OPB＝∠BPO′， ∵∠AOB＝75°，∴∠OPB＝∠BPO′＝180°－75°－45°＝60°， ∴∠OPO′＝120°， ∴∠APO′＝180°－∠OPO′＝180°－120°＝60°. ②如图1，过点B作BH⊥OA于H，在BH上取一点F，使得OF＝FB，连结OF. ∵∠BHO＝90°，∴∠OBH＝90°－∠BOH＝15°. ∵FO＝FB，∴∠FOB＝∠FBO＝15°， ∴∠OFH＝∠FOB＋∠FBO＝30°. 设OH＝m，则HF＝m，OF＝FB＝2m， ∵OB2＝OH2＋BH2，∴62＝m2＋(m＋2m)2， ∴m＝或－(舍)， ∴OH＝，BH＝. 在Rt△PBH中，PH＝＝， ∴PA＝OA－OH－PH＝6－－＝6－2. (2)如图2，连结AD，OD. ∵，∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD， 由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBD. ∵PD∥OB，∴∠DPB＝∠OBP， ∴∠DPB＝∠PBD，∴DP＝DB＝AD， ∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB. ∵AO＝OD＝OB，AD＝DB，∴△AOD≌△BOD， ∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB. 由∠ODB＋∠DOB＋∠OBD＝180°，得5∠DOB＝180°， ∴∠DOB＝36°，∴∠AOB＝72°， ∴的长＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$