新中考热点问题17 圆的基本性质的应用-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

6.圆的拓展应用 (1)垂径定理 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB.“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式l＝AB＋.当OA＝4，∠AOB＝60°时，l的值为(　B　) A．11－2 B．11－4 C．8－2 D．8－4 【解析】 连结ON，如图， ∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB， ∴ON⊥AB，∴M，N，O共线． ∵OA＝4，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°， ∴ON＝OA·sin 60°＝2， ∴MN＝OM－ON＝4－2， ∴l＝AB＋＝4＋＝11－4. 1. 在圆O中，A，B，C，E四点在圆上，OC⊥AB，AB＝8，CD＝2，则CE的值为 __4__． 【解析】 连结AC，如图． ∵OC⊥AB，AB＝8，CD＝2，设圆O的半径为r， ∴AD＝BD＝AB＝4，OD＝r－2，AC＝＝＝2， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，则r2＝42＋(r－2)2， ∴4r＝20，解得r＝5. 在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝2r＝10， 则CE＝＝＝4. 2. 如图，AB是⊙O的直径，D，M分别是弦AC，的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是__4__． 【解析】 ∵M是的中点，∴OM⊥AC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°. ∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13， ∴OM＝6.5. ∵D是弦AC的中点， ∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC， ∴OD⊥AC，∴O，D，M三点共线， ∴MD＝OM－OD＝6.5－2.5＝4. (2)圆心角定理、圆周角定理的拓展应用 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则(　D　) A.3α＋β＝180° B．2α＋β＝180° C．3α－β＝90° D．2α－β＝90° 【解析】 ∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α， ∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α. ∵∠AOD＋∠COD＝90°，∴β＋180°－2α＝90°， ∴2α－β＝90°. 1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝(　D　) A．25° B．50° C．60° D．65° 【解析】 连结OB，如图． ∵∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°. ∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝＝65°. 第1题图 　　　　　第2题图 　　　　　第3题图 2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为(　B　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 连结OB，OC，如图． ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴所对的圆心角为90°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BPC＝∠BOC＝45°. 3. 如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为__7__． 【解析】 作OD⊥BC于点D，连结OB，OC，如图． ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°. ∵OD⊥BC， ∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD， ∴BD＝BO·sin ∠BOD＝7×sin 60°＝7×＝， ∴BC＝2BD＝7. 4. 如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD. (1)若∠ACB＝20°，求的长(结果保留π). (2)求证：DA平分∠BDO. 解：(1)连结OA，如图． ∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°， ∴的长为＝. (2)证明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB. ∵∠B＝90°，∴OA∥BC， ∴∠OAD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ODA， ∴DA平分∠BDO. (3)直线与圆的位置关系 如图，A是⊙O上的定点，B是⊙O上的动点(不与A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OA，OB，OC，AC，当△OAC是直角三角形时，其斜边长为10，则⊙O的半径为 ____． 【解析】 ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°. ∵BC＝OA，∴OB＝2BC， ∴OC＝＝BC. 当△OAC是直角三角形时，∠AOC＝90°， ∵OA＝2BC，∴OC2＋OA2＝AC2， ∴5BC2＋4BC2＝100，∴BC＝，∴OB＝. 1. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的半径为6 cm，则图中的长为__2π__ cm(结果保留π). 【解析】 如图，连结OC，OD. ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°. 由四边形内角和为360°可得， ∠COD＝360°－∠OCP－∠ODP－∠CPD ＝360°－90°－90°－120°＝60°. ∴的长＝＝2π. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连结AD. (1)求证：BD＝CD. (2)若⊙O与AC相切，求∠B的度数． (3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E(不写作法，保留作图痕迹). 解：(1)证明：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. (2)∵⊙O与AC相切，AB为直径， ∴BA⊥AC. ∵AB＝AC，∴△BAC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°. (3)如图，作∠ABC的角平分线交于点E，则点E即是劣弧的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$