新中考热点问题8 函数图象与几何动点问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

(1)由运动方式获得图象 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y＝－x＋4与坐标轴的交点，点B的坐标为(－2，0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF.设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究： ①线段EF的长度是否有最小值． ②△BEF能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察－猜想－验证－应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． (1)小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图2).请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别． (2)小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值． (3)小明通过观察、推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值． 解：(1)用描点法画出图象，如图1，由图象可知函数类别为二次函数． (2)如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H， 则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K， ∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD. ∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK(AAS)，∴FG＝DH. ∵直线AC的解析式为y＝－x＋4，∴当x＝0时，y＝4，∴A(0，4). 又∵B(－2，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. 过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的横坐标为m，∴F(－m，－2m＋4)，∴ER＝2m，FR＝－2m＋4. ∵EF2＝FR2＋ER2，∴l＝EF2＝8m2－16m＋16＝8(m－1)2＋8. 令－＋4＝0，得x＝，∴0≤m≤. ∴当m＝1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为2. (3)①∠FBE为定角，不可能为直角． ②当∠BEF＝90°时，点E与点O重合，点D与点A、点F重合，此时m＝0. ③如图3，当∠BFE＝90°时，有BF2＋EF2＝BE2. 由(2)得EF2＝8m2－16m＋16， 又∵BR＝－m＋2，FR＝－2m＋4， ∴BF2＝BR2＋FR2＝(－m＋2)2＋(－2m＋4)2＝5m2－20m＋20. 又∵BE2＝(m＋2)2， ∴(5m2－20m＋20)＋(8m2－16m＋16)＝(m＋2)2，化简得，3m2－10m＋8＝0， 解得m1＝，m2＝2(不合题意，舍去)，∴m＝. 综上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝. 如图1，这是北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝－ax2＋2x＋20(a≠0).某运动员7次试跳的轨迹如图2.在着陆坡CE上设置点K(与DO相距32 m)作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段CE的函数表达式(写出x的取值范围). (2)当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3. ①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标(精确到1 m/s)？(参考数据：≈1.73，≈2.24) 解：(1)由题图2可知，C(8，16)，E(40，0)，设CE：y＝kx＋b(k≠0)， 将C(8，16)，E(40，0)代入得解得 ∴线段CE的函数表达式为y＝－x＋20(8≤x≤40). (2)当a＝时，y＝－x2＋2x＋20，由题意得－x2＋2x＋20＝－x＋20， 解得x1＝0(舍去)，x2＝22.5，∴点P的横坐标为22.5.∵22.5＜32，∴成绩未达标． (3)①猜想a与v2成反比例函数关系． ∴设a＝(m≠0)，将(100，0.250)代入得0.25＝，解得m＝25，∴a＝. 将(150，0.167)代入a＝，验证≈0.167， ∴a＝能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段y＝－x＋20上，得K(32，4)，代入得y＝－ax2＋2x＋20，得a＝. 由a＝得v2＝320. 又∵v＞0，∴v＝8≈18，∴当v≈18 m/s时，运动员的成绩恰能达标． (2)由图象还原运动方式 青岛方特梦幻王国位于美丽的山东省青岛市红岛海滨．火流星是其经典项目之一．如图所示，F→E→G为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中OE＝米，OF＝米(轨道厚度忽略不计). (1)求抛物线F→E→G的函数解析式． (2)在轨道距离x轴5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H(K接口处轨道忽略不计).已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离． (3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM，CM，BN，DN，且要求OA＝AB.已知这种材料的价格是80 000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 解：(1)由图象可设抛物线解析式为y＝a，把F代入，得＝a， 解得a＝，∴抛物线F→E→G的函数解析式为y＝. (2)当y＝5时，5＝，解得x1＝，x2＝， ∴P，G，∴PG＝－＝＝5. ∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同， ∴抛物线K→H→Q由抛物线P→E→G向右平移(PG＋GK)个单位， ∴抛物线K→H→Q为y2＝＝(x－10)2.令y＝0，则x＝10，∴OH＝10. (3)设OA＝AB＝a，A(a，0)，B(2a，0)，yM＝＝a2－5a＋，yN＝＝a2－10a＋. ∴l＝AM＋CM＋BN＋DN＝a2－5a＋＋a＋a2－10a＋＋2a＝4a2－12a＋＝4＋. ∵4＞0，∴开口向上，∴当a＝时，l最短，最短为， 80 000×＝530 000(元)，∴当OA＝AB＝时，造价最低，最低造价为530 000元． 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h(单位：m).如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d(单位：m). (1)若h＝1.5，EF＝0.5 m. ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC. ②求下边缘抛物线与x轴正半轴的交点B的坐标． ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． (2)若EF＝1 m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值． 解：(1)①由题意得A(2，2)是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a(x－2)2＋2. 又∵抛物线过点(0，1.5)，∴1.5＝4a＋2， ∴a＝－， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝－(x－2)2＋2， 当y＝0时，0＝－(x－2)2＋2， 解得x1＝6，x2＝－2(舍去)， ∴喷出水的最大射程OC为6 m. ②∵对称轴为直线x＝2， ∴点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的， ∴点B的坐标为(2，0). ③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝－(x－2)2＋2，解得x＝2±2. ∵x＞0，∴x＝2＋2. 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则x≤2＋2. ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且当x＝0时，y＝1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2＋2. ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2＋2－3＝2－1. 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2. 综上所述，d的取值范围是2≤d≤2－1. (2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上． 设点D， F， 则有－(m＋3－2)2＋h＋0.5－＝1，解得m＝2.5， ∴点D的纵坐标为h－，∴h－＝0， ∴h的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$