中考核心微专题14 几何图形中的折叠问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

中考核心微专题十四 几何图形中的折叠问题 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用． 与折叠有关的计算常用性质 (1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形． (2)折痕可看作垂直平分线(互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分). (3)折痕可看作角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等). 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题． 类型一　折痕为矩形对角线 1．如图，在矩形ABCD中，连结BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为(　B　) A． B．2 C． D．3 【解析】 如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°. ∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE， ∴∠EBD＝∠CBD. ∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF， ∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°. ∵AB＝2， ∴OF＝OA＝AB·tan 30°＝2×＝2. 第1题图 　第2题图 　第3题图 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D′处，CD′与AB交于点F，则S△ACF∶S△BCF的值为(　A　) A． B． C．2 D． 【解析】 由翻折知，∠DCA＝∠D′CA.∵DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAF，∴∠D′CA＝∠CAF，∴FA＝FC. 设FA＝FC＝x，则BF＝16－x. 在Rt△BCF中，BF2＋BC2＝CF2， 解得x＝10， ∴AF＝10，BF＝6，则S△ACF∶S△BCF的值为＝＝. 3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF＝____． 【解析】 ∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， ∴AE＝CD. 在△AEF与△CDF中，∵ ∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF＝DF，AF＝CF. 设AF＝x，则CF＝x，DF＝6－x， 在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，∴x2＝42＋(6－x)2， 解得x＝，∴DF＝6－x＝. 类型二　折痕过矩形的一个顶点 1．2022·兰州如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE＝3 cm，AF＝2EF，则AB＝__3__cm. 第1题图 　第2题图 　第3题图 2．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，若EF＝3，则AB的长为__6__． 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点E在边CD上，连结AE，将四边形ABCE沿直线AE翻折，得到四边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′，C′.当B′C′恰好经过点D时，CE的长为__－2__． 4．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，使点D落在点G处，连结DG并延长交AB于点E.若AE＝5，则GE的长为____． 【解析】 设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD， ∴∠CFD＋∠FCD＝90°＝∠CFD＋∠ADE， ∴∠ADE＝∠FCD. 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF(ASA)，∴AE＝DF＝5. ∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13. ∵cos ∠ADE＝＝，∴＝，∴DO＝＝GO， ∴GE＝13－2×＝. 类型三　折痕不经过矩形顶点 1．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于(　A　) A．128° B．130° C．132° D．136° 第1题图 　　　第2题图 2．如图，在矩形纸片ABCD中，AD∶AB＝∶1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连结AA′并延长交线段CD于点G，则的值为(　A　) A． B． C． D． 【解析】 过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示， 由A与A′对应易知∠AOE＝90°， ∵∠EAO＋∠AEO＝90°，∠EAO＋∠AGD＝90°， ∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD. 又∵∠ADG＝∠FHE＝90°， ∴△ADG∽△FHE，∴＝＝＝＝. 3．2023·湖北如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连结BM. (1)求证：∠AMB＝∠BMP. (2)若DP＝1，求MD的长． 解：(1)证明：点B，M关于线段EF对称，由翻折的性质可知∠MBC＝∠BMP. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠MBC＝∠AMB， ∴∠AMB＝∠BMP. (2)设MD＝x，则AM＝3－x，设AE＝y，则EM＝EB＝3－y. 在Rt△AEM中，AE2＋AM2＝EM2， ∴y2＋(3－x)2＝(3－y)2， ∴y＝－x2＋x.即AE＝－x2＋x. ∵∠ABC＝∠EMN＝90°， ∴∠AME＋∠DMP＝90°， 又∵∠AEM＋∠AME＝90°， ∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D， ∴△AEM∽△DMP. ∴＝，＝， 整理得x2＝2x，∴x＝.∴MD＝. 类型四　多条折痕 1．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE.若AB＝4，BC＝3，则线段B′D′的长是(　D　) A． B．2 C． D．1 第1题图 　　　第2题图 2．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一条直线上．若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是(　A　) A．2 B． C． D．3 【解析】 如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于点N， ∵将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处， ∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°， 在△CPH和△CPN中， ∴△CPH≌△CPN(AAS)，∴NP＝PH，CH＝CN＝4. ∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四边形BCNM是矩形． 又∵CN＝CB＝4，∴四边形BCNM是正方形， ∴MN＝BM＝4，∴EM＝2. ∵EP2＝EM2＋PM2，∴(2＋NP)2＝4＋(4－NP)2， ∴NP＝. ∵tan ∠DCF＝＝，∴＝，∴DF＝2，故选A. 3．2023·嘉兴、舟山如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图1，将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图2； 第二步，再将图2中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图3； 第三步，将图3中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图4.则DH的长为(　D　) A. B． C． D． 【解析】 如图，过点M作MG⊥BD于点G， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4， ∴AB＝CD＝3，∠C＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝＝＝5， 根据折叠的性质可得，BE＝CE＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM， ∴BE＝EH＝2， ∴△BEH为等腰三角形，∠EBH＝∠EHB. ∵∠EBH＋∠HDM＝90°， ∠EHB＋∠DHM＝90°， ∴∠HDM＝∠DHM， ∴△DHM为等腰三角形，DM＝HM， ∴DM＝HM＝CM＝CD＝. ∵MG⊥BD，∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝90°， ∵∠MDG＝∠BDC，∴△MGD∽△BCD， ∴＝，即＝， ∴DG＝，∴DH＝2DG＝.故选D. 4．如图，将矩形纸片ABCD折叠(AD＞AB)，使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连结DE.若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为__4＋2__． 【解析】 由翻折的性质可知，EB＝EB′， ∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°， 在Rt△EBF和Rt△EB′D中， ∴Rt△EBF≌Rt△EB′D(HL)，∴BF＝DB′. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°， ∴四边形ECDB′是矩形，∴DB′＝EC＝2，∴BF＝EC＝2. 由翻折的性质可知，BF＝FG＝2，∠FAG＝45°，∠EGF＝∠B＝∠AGF＝90°， ∴AG＝FG＝2，∴AF＝2，∴AB＝AB′＝2＋2， ∴AD＝AB′＋DB′＝4＋2. 类型五　圆中的折叠 1．2023·台湾图1为一圆形纸片，A，B，C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的AC，而上与AC重叠的点为D，如图2所示，若的度数为35°，则的度数为(　B　) A．105° B．110° C．120° D．145° 第1题图 　　第2题图 2．2022·嘉兴如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为__60°__，折痕CD的长为__4__． 【解析】 如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连结O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H， ∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6. ∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F. ∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°. ∵∠AOB＝120°， ∴∠EO′F＝60°， 则的度数为60°. ∵∠AOB＝120°， ∴∠O′OF＝60°. ∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6， ∴OO′＝＝＝4，∴O′H＝2， ∴CH＝＝＝2， ∴CD＝2CH＝4. 3．2022·十堰如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对应点B′落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为__π＋4－4__． 【解析】 连结AB， ∵∠AOB＝90°，OA＝2， ∴OB＝OA＝2， ∴AB＝＝2. 设OC＝x，则BC＝B′C＝2－x， OB′＝2－2， 则x2＋(2－2)2＝(2－x)2， 解得x＝2－2， ∴阴影部分的面积是－×2＝π＋4－4. 第3题图 　　第4题图 4．2022·杭州右上图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处(不与点A重合)，连结CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.若AD＝ED，则∠B＝__36__度；的值等于____． 【解析】 ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA. ∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE. ∵将该圆形纸片沿直线CO对折， ∴∠ECO＝∠BCO. 又∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B. 设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x， ∴∠BCE＝∠ECO＋∠BCO＝2x， ∴∠CEB＝2x. ∵∠BEC＋∠BCE＋∠B＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°， ∴x＝36°，∴∠B＝36°. ∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB， ∴△CEO∽△BEC， ∴＝，∴CE2＝EO·BE. 设EO＝y，EC＝OC＝OB＝a， ∴a2＝y(y＋a)， 解得y＝a(负值舍去)， ∴OE＝a， ∴AE＝OA－OE＝a－a＝a. ∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE， ∴△BCE∽△DAE， ∴＝， ∴＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$