第27讲 圆的基本性质-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

第六单元　圆 第27讲　圆的基本性质(见学生用书P142) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 新课程目标： 1．了解圆的概念、点与圆的位置关系，理解与圆有关的概念． 2．理解垂径定理、圆心角定理、圆周角定理以及圆内接四边形的有关性质． 热门基础题 　　　　　　　　　　　 1．如图，在6×6的正方形网格中(小正方形的边长为1)，有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的点是(　C　) A. M B．N C．P D．Q 2．教材改编下列命题正确的是(　B　) A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦 3．教材改编如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连结BC，DB，则下列结论中错误的是(　C　) A. B．AF＝BF C．OF＝CF D．∠DBC＝90° 第3题图 　　　　　　第4题图 4．往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如右上，若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为(　B　) A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 5．2023·吉林如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连结CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是(　D　) A．70° B．105° C．125° D．155° 第5题图 　　　　　　第6题图 6．2023·凉山州如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝(　B　) A．1 B．2 C．2 D．4 7．2023·赤峰如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连结OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是(　A　) A．25° B．30° C．35° D．40° 第7题图 　　　　第8题图 8．如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B，C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为__28__． 教考衔接图 　　　　　　　　　　 　　　 　　　 课标要点一　 确定圆的条件 例1 2023·江西如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　D　) A.3 B．4 C．5 D．6 变式1 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　B　) A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜ 举一反三 通过数量关系判断点与圆的位置关系，即将点到圆心的距离与圆的半径进行比较． 课标要点二　 垂径定理及其推论 例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD＝α，则下列结论中一定成立的是(　B　) A.OE＝m·tan α B．CD＝2m·sin α C．AE＝m·cos α D．S△COD＝m2·sin α 举一反三 在有关弦长、弦心距的问题中，常作垂直于弦的线段或连结半径，构造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想来解． 变式2 (1)2023·宜昌如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　B　) A.5 B．4 C．3 D．2 (2)2023·广西赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱的半径R约为(　B　) A.20 m B．28 m C．35 m D．40 m 课标要点三　 三角形的外接圆与外心 例3 [2023·内蒙古]如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.垂足分别为D，E，F，连结DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为(　B　) A．8 B．4 C．3.5 D．3 变式3 如图，在5×7的网格中，各小正方形的边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，除△ABC外，把你认为外心也是O的三角形都写出来__△ABD，△ACD，△BCD__． 【解析】 由图可知， OA＝＝，OB＝＝，OC＝＝，OD＝＝， OE＝＝，∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE， ∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O， 故答案为△ABD，△ACD，△BCD. 课标要点四　 圆心角、弧、弦之间的关系 例4 如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E. 求证：(1)AD∥BC. (2)四边形BCDE为菱形． 证明：(1)如图，连结BD， ∵，∴∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥BC. (2)连结CD，由(1)知∠EDF＝∠CBF. ∵，∴BC＝CD，BF＝DF. 又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF， ∴DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形． 又BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形． 举一反三 在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦、弦心距中只要有一对量相等，则对应的其他各对量也分别相等．利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的． 变式4 如图，∠AOB＝∠COD，下列结论中不一定成立的是(　D　) A. AB＝CD B． C．△AOB≌△COD D．△AOB，△COD都是等边三角形 课标要点五　 圆周角定理及其推论 例5 2023·牡丹江如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是(　C　) A．20° B．18° C．15° D．12° 变式5 2023·自贡如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是(　C　) A.41° B．45° C．49° D．59° 课标要点六　 圆的内接四边形 例6 2023·宁夏如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝__70__°. 变式6 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为(　C　) A.2 －2 B．3－ C．4－ D．2 课标要点七　 圆的基本知识综合 例7 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ(θ是锐角)，则△ABC的面积的最大值为(　D　) A．cos θ(1＋cos θ) B．cos θ(1＋sin θ) C．sin θ(1＋sin θ) D．sin θ(1＋cos θ) 【解析】 当△ABC的高AD经过圆的圆心时，△ABC的面积最大，如图所示． ∵A′D⊥BC，∴BC＝2BD， ∠BOD＝∠BA′C＝θ. 在Rt△BOD中，sin θ＝＝，cos θ＝＝， ∴BD＝sin θ，OD＝cos θ， ∴BC＝2BD＝2sin θ，A′D＝A′O＋OD＝1＋cos θ， ∴S△ABC＝A′D·BC＝·2sin θ(1＋cos θ) ＝sin θ(1＋cos θ). 变式7 2023·温州如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为(　C　) A. 10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 【解析】 ∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB， ∴， ∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA. ∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°， ∴∠CAD＝∠BDA＝45°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°. ∵∠AOD＝120°， ∴∠BOC＝360°－90°－90°－120°＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB. ∵OA＝OD，∠AOD＝120°， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1， ∴∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝45°－30°＝15°.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$