第16讲 三角形与全等三角形-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

第16讲　三角形与全等三角形 (见学生用书P86) 新课程目标： 1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念． 2．了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质． 3．掌握三角形全等的判定方法，会证明两个三角形全等． 热门基础题 　　　　　　　　　　 1．已知三角形的两边长分别为5 cm和 8 cm，则第三边的长可以是(　C　) A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．13 cm 2．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高线，下列各式中错误的是(　D　) A.BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE 3．教材改编如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是(　B　) A.90° B．80° C．60° D．40° 4．“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的．借助下图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(　D　) A.60° B．65° C．75° D．80° 5．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是(　B　) A. AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12 cm2，则阴影部分△AEF的面积为(　B　) A. 1 cm2 B．1.5 cm2 C．2 cm2 D．3 cm2 7．教材改编如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD＝__70°__． 8．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACE，则这个条件可以是__BD＝CE(答案不唯一)__．(写一个即可) 教考衔接图 　　　　　　　　　　 　　　 　　　 课标要点一　 三角形的三边关系 例1 2023·金华在下列长度的四条线段中，能与长分别为6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是(　C　) A．1 cm B．2 cm C．13 cm D．14 cm 举一反三 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边长a，b，可确定三角形第三边的长c的取值范围为|a－b|<c<a＋b.本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 变式1 某中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是(　A　) A．1 km B．2 km C．3 km D．8 km 课标要点二　 三角形内角与内、外角的关系 例2 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个规律是(　B　) A．∠A＝∠1－∠2 B．2∠A＝∠1－∠2 C．3∠A＝2∠1－∠2 D．3∠A＝2(∠1－∠2) 【解析】 如图，设翻折前点A的对应点为F. 根据折叠的性质知，∠3＝∠4， ∠F＝∠A. 由三角形的外角性质知，∠DEF＝∠5＋∠3＝∠A＋∠2＋∠3. 在△DEF中， ∠DEF＝180°－∠4－∠F， 故180°－∠4－∠F＝∠A＋∠2＋∠3，即 180°－∠4－∠A＝∠A＋∠2＋∠3， 180°－∠4－∠3＝2∠A＋∠2， 即∠1＝2∠A＋∠2，2∠A＝∠1－∠2. 举一反三 求三角形角的度数问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”，三角形内角性质和外角性质作为求角的依据． 变式2 2023·十堰一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝__100°__． 课标要点三　 三角形的中线、高线、角平分线的,性质与计算 例3 (1)如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则(　B　) A．线段CD是△ABC中AC边上的高线 B．线段CD是△ABC中AB边上的高线 C．线段AD是△ABC中BC边上的高线 D．线段AD是△ABC中AC边上的高线 例3(1)题图 　　例3(2)题图 (2)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是__2__． (3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD＝__3__． 举一反三 (1)三角形一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． (2)一般通过作三角形的高线求三角形面积或构造直角三角形，利用勾股定理来解题． (3)遇到角平分线时可利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明线段相等，或构造全等三角形． 变式3 (1)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD等于(　A　) A．75° B．80° C．85° D．90° 变式3(1)题图 　　　　变式3(2)题图 (2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连结BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF的值为__12∶15∶10__． 课标要点四　 三角形的中位线 例4 2022·丽水如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是(　B　) A．28　　　B．14　　　C．10　　　D．7 变式4 2022·台州如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为__10__． 课标要点五　全等三角形的判定与性质 例5 在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上(不与点A、点B重合)，点E在AC边上(不与点A、点C重合)，连结BE，CD，BE与CD相交于点F.若__①AD＝AE(②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC)__，求证：BE＝CD. 证明：选择条件①的证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE＝CD. 选择条件②的证明： ∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴BE＝CD. 选择条件③的证明： ∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. ∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠ABC－∠FBC＝∠ACB－∠FCB，即∠ABE＝∠ACD. 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴BE＝CD. 举一反三 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 变式5[2023营口]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF. (1)求证：△ACE≌△BDF. (2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 解：(1)证明：在△ACE和△BDF中， ∴△ACE≌△BDF(AAS). (2)由(1)知△ACE≌△BDF， ∴BD＝AC＝2， ∵AB＝8， ∴CD＝AB－AC－BD＝4， 故CD的长为4. 课标要点六　 全等三角形的应用 例6 2022·百色校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画出四边形ABCD，如图，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°. (1)求证：△ABC≌△CDA. (2)求草坪造型的面积． 解：(1)证明：在△ABC和△CDA中， ∵ ∴△ABC≌△CDA(SSS). (2)过点A作AE⊥BC于点E(图略)， ∵AB＝2米，∠B＝30°， ∴AE＝1米， ∴S△ABC＝×3×1＝(平方米)， 则S△CDA＝平方米， ∴草坪造型的面积为2×＝3(平方米). 变式6 如图，在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案． (1)画出测量图案． (2)写出测量步骤(测量数据用字母表示). (3)计算A，B间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示). 解：(1)如图． (2)在湖岸上选一点O，连结BO并延长到点C，使BO＝OC，连结AO并延长到点D，使OD＝AO，连结CD，则AB＝CD，DC的长度即为AB的长度． (3)设DC＝m， ∵BO＝CO，∠AOB＝∠COD，AO＝OD， ∴△AOB≌△DOC(SAS)， ∴AB＝CD＝m. 温馨提示请完成高效作业16 学科网（北京）股份有限公司 $$