第12讲 二次函数的图象与性质(一)-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

第12讲　二次函数的图象与性质(一) (见学生用书P56) 新课程目标： 1．理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，能熟练地应用待定系数法求二次函数的表达式． 2．会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质． 热门基础题 　　　　　　　　　　　 1．教材改编二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(　A　) A．(1，3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(－1，－3) 2．教材改编将二次函数y＝x2－2x－1化成y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是(　B　) A．y＝(x－2)2＋2 B．y＝(x－1)2－2 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋4 3．2023·广西将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是(　A　) A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4 C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x＋3)2－4 4．教材改编关于二次函数y＝x2－4x＋5，下列结论中正确的是(　A　) A．图象的对称轴过点(2，0) B．当x＞－2时，y随x的增大而增大 C．图象与x轴有两个公共点 D．函数的最小值为5 5．2023·绍兴改编已知点M(－4，a＋2)，N(－2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　D　) 6．二次函数y＝ax2＋bx的图象如下，则一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　D　) 7．教材改编已知抛物线y＝x2＋(m－2)x－2m，当m＝__2__时，顶点在y轴上；当m＝__－2__时，顶点在x轴上；当m＝__0__时，抛物线经过原点． 8．已知二次函数y＝x2－2x－3，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是__0，－4__． 9．根据二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象，回答下列问题． (1)当__x≤1__时，y随x的增大而增大． (2)当__－1<x<3__时，抛物线在x轴的上方． (3)当0≤x≤2时，函数y的取值范围为__3≤y≤4__． (4)当0＜y＜3时，自变量x的取值范围为__－1<x<0或2<x<3__． 教考衔接图 　　　　　　　　　　 　　　 　　　 课标要点一　选用合适的方法求二次函数的解析式 例1 (1)求经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式． (2)二次函数在x＝时，有最小值－，且函数的图象经过点(0，2)，求此函数的解析式． 解：(1)由题意设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)， 把C(0，3)代入得－8a＝3，即a＝－， 则抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋3. (2)∵二次函数在x＝时，有最小值－， ∴抛物线的顶点是， ∴设此函数的解析式为y＝a－(a>0)， ∵函数的图象经过点(0，2)， ∴2＝a－，解得a＝1， ∴此函数的解析式为y＝－，即y＝x2－3x＋2. 举一反三 根据不同条件，选择不同方法求二次函数的解析式．(1)若已知图象上的三个点，则设所求二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值．(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程、函数最值，则设所求二次函数的解析式为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数．(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，求出a的值． 变式1 已知二次函数图象的顶点是(－1，2)，且过点. (1)求二次函数的表达式． (2)判断该二次函数的图象是否经过点(－2，4)，并解释你的判断． 解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点代入，得a(0＋1)2＋2＝，∴a＝－， ∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋. (2)二次函数的图象不经过点(－2，4)，理由如下： ∵当x＝－2时，y＝－(－2＋1)2＋2＝≠4， ∴图象不经过点(－2，4). 变式2 已知直线x＝1是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴．抛物线的顶点在x轴上，且过点(0，1)，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－＝1， ∴b＝－2a. ∵抛物线的顶点在x轴上，∴顶点坐标为(1，0)， ∴a＋b＋c＝0. ∵抛物线过点(0，1)，∴c＝1，解得a＝1，b＝－2， ∴抛物线的函数解析式为y＝x2－2x＋1. 课标要点二　 二次函数的图象与性质 角度1　利用二次函数图象判断系数 例2 2023·贵州已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下，则点P(a，b)所在的象限是(　D　) A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式3 2023·株洲如图所示，直线l为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是(　C　) A.b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 角度2　利用二次函数表达式判断其性质 例3 (1)2023·兰州已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　C　) A．对称轴为直线x＝－2 B．顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 (2)点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为(　B　) A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2 (3)2023·陕西在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　D　) A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 变式4 (1)下列关于二次函数y＝3(x＋1)(2－x)的图象和性质的叙述中，正确的是(　D　) A．点(0，2)在函数图象上 B．开口向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 (2)已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3 对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3 三者之间的大小关系是(　D　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 (3)已知二次函数y＝x2－2x＋m2－3(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－3，则m的值为(　D　) A．1 B．0或－1 C．0或1 D．－1或1 角度3　二次函数的图象与性质的相关推理 例4 2023·扬州已知二次函数y＝ax2－2x＋(a为常数，且a＞0)，下列结论： ①函数图象一定经过第一、二、四象限； ②函数图象一定不经过第三象限； ③当x＜0时，y随x的增大而减小； ④当x＞0时，y随x的增大而增大． 其中所有正确结论的序号是(　B　) A．①② B．②③ C．② D．③④ 变式5 2023·邵阳已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋4ax＋3(a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴是直线x＝－2； ②点(0，3)在抛物线上； ③若x1＞x2＞－2，则y1＞y2； ④若y1＝y2，则x1＋x2＝－2. 其中，正确结论的个数为(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 课标要点三　 二次函数图象与其他函数图象结合 例5 2023·台州抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ax＋k一定经过(　D　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【解析】 ∵抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴kx＝ax2－a， ∴ax2－kx－a＝0，∴x1＋x2＝，∴<0. 当a＞0，k＜0时，直线y＝ax＋k经过第一、三、四象限； 当a＜0，k＞0时，直线y＝ax＋k经过第一、二、四象限， 综上，直线y＝ax＋k一定经过第一、四象限． 变式6 2023·河南二次函数y＝ax2＋bx的图象如下，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　D　) A. 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 课标要点四　 二次函数的图象变换 例6 已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4(a≠0)经过点A(1，0). (1)求抛物线L1 的函数表达式． (2)将抛物线L1 向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L2.若抛物线L2 的顶点关于坐标原点O对称的点在抛物线L1 上，求m的值． (3)把抛物线L1 向右平移n(n＞0)个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3 上，且y1＞y2，求n的取值范围． 解：(1)∵y＝a(x＋1)2－4(a≠0)经过点A(1，0)， ∴4a－4＝0，∴a＝1， ∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2＋2x－3. (2)∵y＝(x＋1)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，－4)， 将抛物线L1向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为(－1，－4＋m). 而(－1，－4＋m)关于原点对称的点为(1，4－m)， 把(1，4－m)代入y＝x2＋2x－3得，1＋2－3＝4－m， ∴m＝4. (3)抛物线L1向右平移n(n＞0)个单位得到抛物线L3，L3的解析式为y＝(x－n＋1)2－4， ∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上， ∴y1＝(2－n)2－4，y2＝(4－n)2－4， ∵y1＞y2，∴(2－n)2－4＞(4－n)2－4，解得n＞3， ∴n的取值范围为n＞3. 举一反三 求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 变式7 (1)2023·徐州在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为(　B　) A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4 (2)下列函数图象不可能由函数y＝3x2＋2的图象通过平移、轴对称变换得到的函数是(　D　) A．y＝3(x＋1)2＋3 B．y＝3x2－1 C．y＝－3x2－2 D．y＝x2＋2 (3)2022·黔东南州在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是__(1，－3)__． 温馨提示请完成高效作业12 学科网（北京）股份有限公司 $$