第6讲 一元二次方程及其应用-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

第6讲　一元二次方程及其应用 (见学生用书P22) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 新课程目标： 1．理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式． 2．掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程． 3．理解一元二次方程根的判别式，会判断方程解的情况；了解一元二次方程的根与系数的关系． 4．会用一元二次方程解决增长率、销售利润、距离、面积等实际生活中常见的问题． 热门基础题 　　　　　　　　　　　　　 1．教材改编若0是关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的解，则m的值是(　B　) A．±2 B．－2 C．2 D．0 2．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　B　) A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 3．2023·新疆用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　D　) A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28 C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1 4．教材改编某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为(　A　) A．20% B．40% C．18% D．36% 5．教材改编已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是x＝2，则此方程的另一个根是__x＝－4__． 6．将一个容积为360 cm3 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：__15x(10－x)＝360__(不必化简). 7．解方程： (1)3x(x－1)＝2(x－1).(2)x2－6x＋6＝0. (3)x2＋4x－5＝0. 解：(1)x1＝1，x2＝ (2)x＝3± 　(3)x1＝－5，x2＝1 8．某商店经销一批季节性家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台． (1)如果每台家电定价增加5元，则商店每天可销售的台数是多少？ (2)商店销售该家电获利 2 210 元，同时让顾客更实惠，那么每台家电定价应为多少元？ 解：(1)180－5×10＝130(台). 答：商店每天可销售130台． (2)设每台家电定价为x元， 根据题意得，(x－40)[180－10(x－52)]＝2 210， 解得x＝53或57(不合题意，舍去)， 答：每台家电定价为53元． 教考衔接图 一、一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 　　　　　　　　　 　　　 　　　 课标要点一　 一元二次方程的解法 例1 解下列方程： (1)x2－5x＋6＝0. (2)x(x＋5)＝24. (3)x2－2x－5＝0. (4)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2. 解：(1)由原方程得(x－2)(x－3)＝0， 解得x1＝2，x2＝3. (2)由原方程得(x＋8)(x－3)＝0，解得x1＝－8，x2＝3. (3)x2－2x－5＝0，x2－2x＝5， x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6， 所以x－1＝±， 解得x1＝1＋，x2＝1－. (4)化简方程得y－3y2＋3－9y＝1＋2y2， ∴5y2＋8y－2＝0，y＝＝， ∴y1＝，y2＝. 举一反三 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法，一般顺序为开平方法→因式分解法→公式法． 变式1 (1)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为(　B　) A． B． C．2 D． (2) 以下是婷婷解方程x(x－3)＝2(x－3)的解答过程： 解：方程两边同除以(x－3)，得x＝2， 所以原方程的解为x＝2. 试问婷婷的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 解：婷婷的解答过程有错误． 正确的解答过程如下： 移项得x(x－3)－2(x－3)＝0， (x－3)(x－2)＝0， x－3＝0或x－2＝0， 解得x1＝3，x2＝2. 课标要点二　 一元二次方程根的判别式 例2 2023·杭州设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＞0，即b2＞4c， ∴②③均可． 选②解方程，则这个方程为x2＋3x＋1＝0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 选③解方程，则这个方程为x2＋3x－1＝0， ∴x1＝，x2＝. 举一反三 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 变式2 (1)2023·广元关于x的一元二次方程2x2－3x＋＝0根的情况，下列说法中正确的是(　C　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 (2)若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤4且k≠2__． 课标要点三　 一元二次方程根与系数的关系 例3 2023·通辽阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1，x2 和系数a，b，c，有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝. 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2 的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝1，mn＝－1. 则 m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题． (1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝__－__． (2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0 的两个实数根为m，n，求m2＋n2 的值． (3)提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0 且s≠t，求－的值． 解：(2)∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根分别为m，n， ∴m＋n＝－，mn＝－， ∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝＋1＝. (3)∵实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t， ∴s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根， ∴s＋t＝－，st＝－. ∵(t－s)2＝(t＋s)2－4st＝－4×＝， ∴t－s＝±， ∴－＝＝＝±. 变式3 (1)2023·天津若x1，x2 是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　A　) A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7 (2)2023·内江已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝__－2__． 课标要点四　 一元二次方程的应用 例4 2023·东营如图，老李想用长为70 m的栅栏，借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m. 根据题意得，x(72－2x)＝640， 化简得 x2－36x＋320＝0，解得 x1＝16 x2＝20， 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40； 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈． (2)答：不能． 理由：由题意得，x(72－2x)＝650， 化简得 x2－36x＋325＝0， Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴该一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 650 m2. 变式4 (1)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？(　B　) A．8 B．10 C．7 D．9 (2)某超市将进价为40元/件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8 000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为(　C　) A．(50－40＋x)(500－x)＝8 000 B．(40＋x)(500－10x)＝8 000 C．(50－40＋x)(500－10x)＝8 000 D．(50－x)(500－10x)＝8 000 (3)2023·牡丹江张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利 5 000 元，5月份盈利达到 7 200 元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是__20%__． 温馨提示请完成高效作业6 学科网（北京）股份有限公司 $$