第3讲 因式分解-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

第3讲　因式分解 (见学生用书P9) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 新课程目标： 1．了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解． 2．理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式． 热门基础题 　　　　　　　　　　　 1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是(　C　) A．x2－x－1＝x(x－1)－1 B．x2－1＝(x－1)2 C．x2－x－6＝(x－3)(x＋2) D．x(x－1)＝x2－x 2．教材改编下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　A　) A．－x2＋1 B．x2＋1 C．－x2－1 D．x2－2x＋1 3．教材改编多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别是(　D　) A．10，－2 B．－10，2 C．10，2 D．－10，－2 4．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：__x2－1(答案不唯一)__． 5．教材改编已知y2－my＋1是完全平方式，则m的值是__±2__． 6．2023·宜昌分解因式：a(a－2)＋1＝__(a－1)2__． 7．已知m，n同时满足2m＋n＝3与2m－n＝1，则4m2－n2 的值是__3__． 8．分解因式：(1)3x3－12xy2.　(2)a3－6a2＋9a. 解：(1)原式＝3x(x2－4y2)＝3x(x＋2y)(x－2y). (2)原式＝a(a2－6a＋9)＝a(a－3)2. 9．分解因式：(1)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. (2)a4－3a2－4. 解：(1)原式＝(m＋n)2－2(m＋n)3＋32＝(m＋n－3)2. (2)原式＝(a2＋1)(a2－4)＝(a2＋1)(a＋2)(a－2) . 教考衔接图 　　　　　　　　　　 　　　 　　　 课标要点一　 因式分解的意义 例1 (1)下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(　D　) A．m2＋3＝m B．x2－4y2＋3z＝(x＋2y)(x－2y)＋3z C．(x＋4)(x－4)＝x2－16 D．2ab＋2a＋b＋1＝(2a＋1)(b＋1) (2)把多项式x2＋mx＋5分解因式得(x＋5)·(x＋n)，则m＝__6__，n＝__1__． 举一反三 (1)判断式子变形是否为因式分解的依据为是否将一个多项式分解为几个整式的积的形式．(2)判断因式分解是否正确可以将式子右边进行乘法运算，将结果与左边对比． 变式1 2023·济宁下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是(　C　) A.(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) 课标要点二　 用提取公因式法分解因式 例2 (1)下列用提公因式法分解因式正确的是(　C　) A．12abc－9a2b2＝3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y) C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c) D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x) (2)分解因式：(a－b)2－(b－a)＝__(b－a)(b－a－1)__． 举一反三 (1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉．(2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正．(3)公因式也可以是多项式． 变式2 (1)2023·温州分解因式：2a2－2a＝__2a(a－1)__． (2)分解因式：m(x－y)＋n(x－y)＝__(x－y)(m＋n)__． 课标要点三　 运用公式法分解因式 例3 (1)把4y2＋4y＋1分解因式，结果正确的是(　A　) A．(2y＋1)2 B．(2y－1)2 C．(4y＋1)2 D．(4y－1)2 (2)下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是(　C　) A．－16x2＋y2 B．b2－a2 C．－m2－n2 D．4a2－49n2 举一反三 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2 的形式，要善于观察所给的多项式，并进行适当变形，使之符合平方差公式的特点．公式中的a，b也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项．(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征：有三项，其中两项是平方式a2，b2，另一项是2ab. 变式3 (1)下列多项式能直接用完全平方公式分解因式的是(　B　) A．x2＋2x－1 B．x2－x＋ C．x2＋xy＋y2 D．9＋x2－3x (2)分解因式：①x2－9＝__(x＋3)(x－3)__． ②x2－2x＋1＝__(x－1)2__． ③(2a＋1)2－a2＝__(3a＋1)(a＋1)__． 课标要点四　 综合法分解因式 例4 分解因式： (1)x3－9xy2＝__x(x＋3y)(x－3y)__． (2)2023·东营3ma2－6mab＋3mb2＝__3m(a－b)2__． 举一反三 因式分解时的顺序建议如下：①先提取公因式；②看有几项再考虑用公式法；③分解要彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上顺序进行思考，试探分解的可能性，直至不可能再分解为止． 变式4 分解因式： (1)x2－x4＝__x2(1＋x)(1－x)__． (2)8(a2＋1)－16a＝__8(a－1)2__． 课标要点五　 分解因式的应用 例5 (1)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__36__． (2)设a＝192×918，b＝8882－302，c＝1 0532－7472，则将a，b，c按从小到大的顺序排列的结果是__a<c<b__． (3)若x2＋2(3－m)x＋25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__－2或8__． 举一反三 (1)利用因式分解，可将多项式分解之后整体代入求值．(2)若一个问题有两个未知数，只有一个条件，且已知式右边等于0，考虑将左边转化成两个完全平方式的和．又因为完全平方式都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．(3)逆向思维：推出多项式分解后的几个因式，采用系数相等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质． 变式5 (1)利用因式分解进行简便计算：2 0232－4 046×2 021＋2 0212. (2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值． (3)如果多项式2x3＋x2－26x＋k有一个因式是2x＋1，求k的值． (4)当x为何值时，多项式－2x2－4x＋3有最大值？并求出这个最大值． (5)已知a2－a－1＝0，求a3－a2－a＋2 023 的值． 解：(1)原式＝2 0232－2×2 023×2 021＋2 0212＝(2 023－2 021)2＝22＝4. (2)∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0， ∴(a2＋6a＋9)＋(b2－10b＋25)＝0， ∴(a＋3)2＋(b－5)2＝0.∵(a＋3)2≥0，(b－5)2≥0， ∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5， ∴a＋b＝－3＋5＝2. (3)∵2x＋1是2x3＋x2－26x＋k的因式， ∴可设2x3＋x2－26x＋k＝(2x＋1)·R. 令2x＋1＝0，则x＝－， 得2×＋－26×＋k＝0， 即－＋＋13＋k＝0，解得k＝－13. (4)∵－2x2－4x＋3＝－2(x＋1)2＋5， ∴当x＝－1时，多项式－2x2－4x＋3有最大值，这个最大值是5. (5)由已知a2－a－1＝0得， a3－a2－a＋2 023＝a(a2－a－1)＋2 023＝2 023. 温馨提示 请完成高效作业3 学科网（北京）股份有限公司 $$