高效作业17 第17讲 等腰三角形与等边三角形-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

　第17讲　等腰三角形与等边三角形(见学生用书P18) 1．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　D　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　B　) A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a∶b∶c＝2∶3∶4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝(　B　) A．40° B．50° C．60° D．80° 第3题图 　　　第5题图 4．下列关于等边三角形的描述不正确的是(　C　) A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心 C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合 5．2022·宜宾如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是(　B　) A．5 B．10 C．15 D．20 6．如图，点D在等边三角形ABC的边CB的延长线上，点E在线段BC上，连结AD，AE，若DA＝DE，且∠DAB＝20°，那么∠EAC的度数为(　C　) A．20° B．15° C．10° D．5° 第6题图 　　第7题图 7．2023·重庆如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为__4__． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，在AD上取一点E，连结CE，使得AE＝CE，若∠ECD＝20°，则∠B＝__55°__． 9．过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为__36°或45°__． 10．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°. ∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC， ∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°， ∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°， ∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°， ∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形． 11．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为(　B　) A．20° B．15° C．12° D．10° 12．在平面直角坐标系中，已知点A(，)，B(3，3)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 如图，作AB的中垂线交x轴于点C1，则△ABC1 是等腰三角形；以点A为圆心、AB长为半径画圆，交x轴于点C2，C3，则△ABC2，△ABC3 是等腰三角形；以点B为圆心、AB长为半径画圆，与x轴没有交点(因为点B到x轴的距离3 大于4)，∴点C的个数为3. 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E. (1)求∠ADB的度数． (2)求证：△ADE是等腰三角形． 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠BAC)＝72°. ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠ADB＝∠C＋∠DBC＝72°＋36°＝108°. (2)证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°. ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°－72°－36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形． 14．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45°. 思考：(1)如果把以上问题中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由． (2)如果把以上问题中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数． 解：(1)∠DAC的度数不会改变． 理由：∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠AED＝2∠C. ∵∠BAE＝90°，BA＝BD， ∴∠BAD＝ [180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C， ∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C， ∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°. (2)设∠ABC＝m°， 则∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°， ∠AEB＝180°－n°－m°， ∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋m°. ∵EA＝EC， ∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°， ∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE ＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°. 15．2022·黑龙江△ABC和△ADE都是等边三角形． (1)将△ADE绕点A旋转到图1的位置时，连结BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA＋PB＝PC(或PA＋PC＝PB)成立(不需证明). (2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时，连结BD，CE相交于点P，连结PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系？并加以证明． (3)将△ADE绕点A旋转到图3的位置时，连结BD，CE相交于点P，连结PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 解：(2)PB＝PA＋PC，理由如下： 如图1，在BP上截取BF＝PC，连结AF， 图1 ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE， 即∠DAB＝∠EAC， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵AB＝AC，BF＝CP， ∴△BAF≌△CAP(SAS)， ∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP， ∴∠BAC＝∠PAF＝60°， ∴△AFP是等边三角形， ∴PF＝PA， ∴PB＝BF＋PF＝PC＋PA. (3)PC＝PA＋PB，理由如下： 如图2，在PC上截取CM＝PB，连结AM， 图2 易得△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵AB＝AC，PB＝CM， ∴△AMC≌△APB(SAS)， ∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM， ∴∠BAC＝∠PAM＝60°， ∴△AMP是等边三角形， ∴PM＝PA， ∴PC＝PM＋CM＝PA＋PB. 学科网（北京）股份有限公司 $$