3.3 利用导数研究函数的极值与最值（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

3.3 利用导数研究函数的极值与最值 考点一 求已知函数的极值（点） 【例1-1】（2024湖北孝感）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023春·湖南）已知函数的图象与轴相切于点，则的（    ） A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0 C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值0 【例1-3】（2024四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【一隅三反】 1．（2024甘肃定西）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 2（2023·北京）已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（    ） A．-3 B．3 C．0 D．4 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ） A．或 B．或 C． D． 考点二 已知极值（点）求参数 【例2-1】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【例2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2-4】（2024北京顺义·期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．（2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（    ） A． B． C．4 D．5 3．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024湖南长沙·阶段练习）（多选）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是 . 考点三 已知函数求最值 【例3-1】（2024上海市虹口区）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【例3-2】（2023春·云南）函数在区间上的最小值是（    ） A．4 B．5 C．3 D．1 【一隅三反】 1．（2024广西河池·阶段练习）函数在上的最大值为 . 2．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________． 3．（2024·重庆永川）设 (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 考点四 已知函数的最值求参数 【例4-1】（2024湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【例4-2】（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（2024湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【一隅三反】 1．（2023春·安徽）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________． 2．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 3．（2024江苏淮安·阶段练习）已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 考点五 导函数图像与函数极值最值的关系 【例5-1】（2023·四川·一模）已知函数的导函数为，为奇函数且图象如图所示，则的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 【例5-2】（2024四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【一隅三反】 1．（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2024山东青岛·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A．2为的极大值点 B．在区间上单调递增 C．为的极小值点 D．在区间上单调递增 3．（2024江苏连云港·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．为函数的极大值点 C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（    ） A．在上是增函数 B．当时，取得最小值 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 考点六 极值与最值的综合运用 【例6-1】（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．是上的增函数 B．函数有且仅有一个零点 C．函数的最小值为 D．存在唯一个极值点 【一隅三反】 1．（2024·广西贵港·模拟预测）若直线是函数的图象的切线，则的最小值为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则 3.（2023春·吉林）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 1． 单选题 1．（2023·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ） A． B．． C． D． 4．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数的极值点为，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 2． 多选题 9．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 10．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 11．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 3． 填空题 12．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 . 13．（2024福建福州·期中）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上无极值点，则的取值范围为 . 4． 解答题 15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线过点． (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值． 16．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 17．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)求函数单调区间； (2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围. 18．（2023春·吉林长春）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 19．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 利用导数研究函数的极值与最值 考点一 求已知函数的极值（点） 【例1-1】（2024湖北孝感）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 【例1-2】（2023春·湖南）已知函数的图象与轴相切于点，则的（    ） A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0 C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值0 【答案】C 【解析】由函数，可得， 因为函数的图形与轴相切与点，可得， 解得，即且， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当，函数取得极大值，极大值为， 当，函数取得极小值，极小值为. 故选：C. 【例1-3】（2024四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)6 (2)的极大值为；极小值为 【解析】（1），所以，即切线斜率为2， 又，所以切点坐标为 在处的切线方程为：， 代入点，得； （2）由（1）得， ， 令，得或 当变化时，变化情况如下表： 2 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，时，有极大值，极大值为； 时，有极小值，极小值为. 【一隅三反】 1．（2024甘肃定西）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【解析】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 2（2023·北京）已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（    ） A．-3 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【解析】由函数的导函数的图像可知当时，， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 故为函数的极大值点，即， 故选：C 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 因为在时取得极值， 所以， 解得或， 当，时， ， 所以在上单调递增，不合题意， 当，时， ， 所以时，， 时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得极小值，满足题意， 所以， 又，，同号， 所以. 故选：. 考点二 已知极值（点）求参数 【例2-1】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 故选：A. 【例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】， 因为，所以， 因为是在区间上的两个极值点，不妨设， 则，所以， 所以. 故选：C. 【例2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 【例2-4】（2024北京顺义·期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 由，得， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 所以方程有两个不等的正根， 所以，所以， 所以，即． 故BCD正确，A错误． 故选：A． 【一隅三反】 1．（2024内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 2．（2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【解析】， 所以是方程的两个实数根，则，，， 根据等比数列的性质，，且 所以，即，得. 故选：C 3．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 4．（2024湖南长沙·阶段练习）（多选）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，，令，则， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减． 作出，的大致图象， 当时，有两个根，，且，故A正确； 当时，，故B错误； 又函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减， ，，故CD正确； 故选：ACD． 5．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】，则， 若函数无极值点， 则无变号零点， 令， 则， 当时，，，，则，则， 当时，，，，则，则， 则在上单调递减，上单调递增， 即在上单调递减，上单调递增，在处取得最小值， 若无变号零点，则，解得：， 故答案为：. 考点三 已知函数求最值 【例3-1】（2024上海市虹口区）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），故所求为. （2）因为， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 而， 所以， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 【例3-2】（2023春·云南）函数在区间上的最小值是（    ） A．4 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【解析】, 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上的最小值是.故选：A 【一隅三反】 1．（2024广西河池·阶段练习）函数在上的最大值为 . 【答案】9 【解析】由函数 ，可得， 所以在单调递增，所以. 故答案为：9. 2．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】， 设，， 令，得或， 所以当时，， 即在和上单调递减， 当时，， 即在上，单调递增， 又因为，， 所以的最大值为，故答案为：． 3．（2024·重庆永川）设 (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和；(2). 【解析】（1）， 由得或， 所以的单调递增区间为和； （2）由Ⅰ知函数在处取得极大值， 即，得 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以在上的最小值为． 考点四 已知函数的最值求参数 【例4-1】（2024湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 【例4-2】（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为， 因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减， 此时，函数在上无最小值，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，函数在上的极小值为，且，则， 综上所述，. 故选：A. 【例4-3】（2024湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【一隅三反】 1．（2023春·安徽）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，得. 由题意得， 故． 故答案为：. 2．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024江苏淮安·阶段练习）已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】易知函数的定义域为， 因为，所以， 令，因为在开区间上有最小值， 则在上必有两根，即有， 又在上的两根为，且， 由的图象可知， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又在开区间上有最小值，则必有，且， 令，得到，所以， 整理得到，令， 则，易知在区间上单调递减， 又，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以在上有且只有一根， 由，解得， 故答案为：. 考点五 导函数图像与函数极值最值的关系 【例5-1】（2023·四川·一模）已知函数的导函数为，为奇函数且图象如图所示，则的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为奇函数，可知为偶函数，故可排除B、C； 对于A，当时，，排除A； 对于D，由，有，设，令，即有无数解，即说明有无数的极值点，与题意相符. 故选：D 【例5-2】（2024四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】根据导函数的图象可知， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D， 当时，，所以恒为正，排除选项C， 即只有选项B符合要求. 故选：B． 2．（2024山东青岛·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A．2为的极大值点 B．在区间上单调递增 C．为的极小值点 D．在区间上单调递增 【答案】A 【解析】由导函数图象可得当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且在的左边，在的右边， 所以的极大值点为、，极小值点为. 故选：A 3．（2024江苏连云港·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．为函数的极大值点 C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值 【答案】C 【解析】由的图象可得，当时，，当时，， 当时，，当时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确； 是的零点，但不一定是的零点，所以A错误； 是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误. 故选：C 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（    ） A．在上是增函数 B．当时，取得最小值 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】根据图象知： 当，时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确； 故当时，取得极小值，选项C不正确； 当时，不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 考点六 极值与最值的综合运用 【例6-1】（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．是上的增函数 B．函数有且仅有一个零点 C．函数的最小值为 D．存在唯一个极值点 【答案】BD 【解析】对于选项A：因为，则， 当时，则， 可得， 即，所以不是上的增函数，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，，可知是的零点； 当时，，可知在内无零点； 当时，，则， 可得，可知在内无零点； 综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确； 对于选项C：当时，； 当时，； 当时，则，，可得， 综上所述：，所以不是函数的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，， 所以的符号决定于， 显然是上的增函数， 又因为当时，； 当时，， 所以，使， 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以有唯一极小值点.  故D正确.   故选 ：BD. 【一隅三反】 1．（2024·广西贵港·模拟预测）若直线是函数的图象的切线，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则， 设切点为，则， 则切线方程为，即， 可得，，所以， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得，所以的最小值为． 故答案为：. 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则 【答案】 【解析】因为，令， 则在上单减， 且， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得， 即①， 且当时，，则； 当时，，则； 所以在上单调递增，上单调递减， 由， 而②， 由①②知，， 所以， 从而. 故答案为：. 3.（2023春·吉林）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 【答案】(1)， 【解析】（1）当时定义域为R， 且， 所以当或时，当时， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，； （2）函数定义域为R，则， 令，解得或， ①当时，则当或时，， 当时，， 所以的单调增区间为，，单调减区间为； ②当时，恒成立，所以在R上单调递增； ③当时，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； （3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为， 若，即时在上单调递减， 所以在上的最小值为， 若，即时，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为， 所以. 1． 单选题 1．（2023·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】，所以，解得， 经检验，满足题意，所以.故选：A 2．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值， 则，由等差数列性质，得， 所以. 故选：D 3．（2023·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ） A． B．． C． D． 【答案】D 【解析】， ，， 函数在区间上恰有3个极大值点， 故，解得. 故选：D 4．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数的极值点为，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由得，， 设，则，所以在单调递减， 又，，由零点存在定理知，存在，使得， 所以当时，，，函数单调递增； 当时，，，函数单调递减，， 所以是函数的极大值点，则，即. 所以. 故选：D 5．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 故选：C. 6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 【答案】A 【解析】， 若函数在处有极值8， 则 且，即 ， 解得：或 ， 当时，，此时不是极值点，故舍去， 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故， 故选：A 7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得． 因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 所以，则，即实数的取值范围是. 故选：D． 8．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【答案】B 【解析】， 作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为， 在处的导数都等于， 在上，,单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：B. 2． 多选题 9．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 10．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【解析】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 11．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 3． 填空题 12．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 . 【答案】 【解析】令，则，所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得最小值， 故当，即时，函数的最小值恰好为0， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以的最小值为. 故答案为：. 13．（2024福建福州·期中）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 当或时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即为函数的极小值点； 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故答案为： 14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上无极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 因为在上无极值点， 所以在内单调， 因为当时，， 所以在恒成立， 即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以， 即的取值范围为， 故答案为： 4． 解答题 15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线过点． (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由已知得， 则，又， 所以图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. （2）所以，定义域为, 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为. 16．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 （2）令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 17．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)求函数单调区间； (2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见详解； (2) 【解析】（1）函数定义域为，， 时，恒成立， 时，；， 时，；， 综上可知：时为常函数，无单调区间， 时，单调增区间为，单调减区间为， 时，单调增区间为，单调减区间为， （2）因为，， 因为函数在有两个极值点，则，即  ， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又时 ，，， 所以在上有2个极值点需满足， 即实数的取值范围是. 18．（2023春·吉林长春）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 【答案】(1)， (2)当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； (3) 【解析】（1）当时定义域为R， 且， 所以当或时，当时， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，； （2）函数定义域为R，则， 令，解得或， ①当时，则当或时，， 当时，， 所以的单调增区间为，，单调减区间为； ②当时，恒成立，所以在R上单调递增； ③当时，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； （3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为， 若，即时在上单调递减， 所以在上的最小值为， 若，即时，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为， 所以. 19．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由题， 由柯西中值定理知：对，， 使得，， 又在上单调递增，则， 则，即， 所以， 故在上为增函数； （2）， 取，， 因为，所以由柯西中值定理，， 使得， 由题则有：， 设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$