第11讲 等式与方程（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第11讲 等式与方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1． 学会用等量关系列出等式，掌握等式的基本性质； 2．通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型。 等式 （1）等式的概念： 叫做等式. （2）等式的性质： 等式的性质1： .即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 等式的性质2： .即：如果，那么；如果，那么. 注：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立; （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 方程 1. 方程 （1）定义： 叫做方程. （2）方程的解： ，叫做方程的解. （3）解方程： 叫做解方程. （4）方程的两个特征：1. ；2. . 2.用方程表示下面实际问题的等量关系 （1）已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为_________． （2）语句“x的3倍比y大7”用方程表示为：_____________． （3）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列出方程来______． 考点一：等式与方程的概念辨析 例1．下面说法正确的是（ ）． A． 方程的解是5 B．是方程 B． C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【变式1-1】等式和方程的关系可以用如图表示，下面（ ）的关系也可以用这样的图来表示． A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形 【变式1-2】已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【变式1-3】利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 考点二：等式的基本性质 例2 ．把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 【变式2-1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】如果，根据等式的性质填空． 【变式2-3】小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 考点三：判断方程 例3.下列各式中，不属于方程的是（ ）． A． B． C． 【变式3-1】下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【变式3-3】判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点四：列方程 例4．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【变式4-2】根据条件“比的一半大3的数等于的7倍”中的数量关系列出方程为 ． 【变式4-3】只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 考点五：方程的解 例5 ．是下列（ ）方程的解． A． B． C． D． 【变式5-1】已知关于的方程的解为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【变式5-3】已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 1．下面的式子中，是方程的是（ ）． A． B． C． D． 2．根据如图，＝（ ）克． A． B． C． 3．若，则下列选项中错误的是（ ）． A． B． C． D． 4．若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 5．若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 7．有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 8．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 9．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 10．如果关于x的方程是一元一次方程，那么k的值为 ． 11．若，则的值是 ． 12．如果，，那么， ． 13．如图是一个数值转换机的示意图．若输出的值为，则输入的数为 ． 14．已知，则 ． 15．已知与是同类项，判断是否是方程的解． 16．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 17．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 18．有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示（），将它们拼成较大的长方形，共有如图2的三种不同的方式． (1)用含a，b的式子表示： 方式一拼成的大长方形的周长：______； 方式二拼成的大长方形的周长：______； 方式三拼成的大长方形的周长：______． (2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大． (3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a和b之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等式与方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1． 学会用等量关系列出等式，掌握等式的基本性质； 2．通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型。 等式 （1）等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. （2）等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么. 注：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立; （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 方程 1. 方程 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程. （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. （3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程. （4）方程的两个特征：1.方程是等式；2.方程中必须含有字母（或未知数）. 2.用方程表示下面实际问题的等量关系 （1）已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为_________． （2）语句“x的3倍比y大7”用方程表示为：_____________． （3）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列出方程来______． 考点一：等式与方程的概念辨析 例1．下面说法正确的是（ ）． A． 方程的解是5 B．是方程 B． C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】等式和方程的关系可以用如图表示，下面（ ）的关系也可以用这样的图来表示． A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫方程，等式包含方程，根据质数与合数，奇数与偶数，三角形与四边形，长方形与正方形的定义逐一判断即可． 【详解】等式和方程的关系是包含与被包含的关系： A．质数和合数是并列关系，不是包含与被包含的关系； B．奇数和偶数是并列关系，不是包含与被包含的关系； C．三角形和四边形都是多边形，是并列关系，不是包含与被包含的关系； D．正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，是包含与被包含的关系 故选：D． 【点睛】本题考查了等式与方程的包含关系，质数与合数，奇数与偶数，三角形与四边形，长方形与正方形之间的关系，熟练掌握相关的定义是解题的关键． 【变式1-2】已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤ 【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程， ①是等式； ②是多项式，既不是等式也不是方程； ③既是等式也是方程； ④既是等式也是方程； ⑤既是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤． 【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【变式1-3】利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案； （2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案； （3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， 解得； （2）解：， ，即， ， 解得； （3）解：， ，， ， 解得． 【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 考点二：等式的基本性质 例2 ．把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，等式基本性质1：等式两边同时加上/减去同一个数，等式不变；等式基本性质2：等式两边同时乘以/除以（不为0的数）同一个数，等式不变，结合题意，将方程变形为需要等式两边同时乘以3，从而得到答案，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为， 的依据是把方程变形为的依据是等式的基本性质2， 故选：C． 【变式2-1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立． 【详解】A、若，则或，故该选项错误； B、若，则，故该选项正确； C、若，当时，则，故该选项错误； D、若，当时，则，故该选项错误； 故选：B． 【变式2-2】如果，根据等式的性质填空． 【答案】 5 m 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键； 根据等式的性质直接填空：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．即可得到答案． 【详解】； ； ； ． 故答案为：5，m，，． 【变式2-3】小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 考点三：判断方程 例3.下列各式中，不属于方程的是（ ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查方程，明确方程的定义是解题的关键．含有未知数的等式就是方程，据此判断即可． 【详解】A．含有未知数且是等式，所以是方程，不符合题意； B．含有未知数且是等式，所以是方程，不符合题意； C．是等式，但不含未知数，所以不是方程，符合题意． 故选：C 【变式3-1】下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的概念，熟练掌握方程的定义是解题的关键；根据方程的概念求解即可； 【详解】解：、是方程，故本选项符合题意； 、不是等式所以不是方程，故本选项不符合题意； 、不含有未知数，不是方程，故本选项不符合题意； 、不是等式所以不是方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式3-2】在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 【变式3-3】判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 考点四：列方程 例4．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 【变式4-1】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 【变式4-2】根据条件“比的一半大3的数等于的7倍”中的数量关系列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【变式4-3】只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 考点五：方程的解 例5 ．是下列（ ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，根据方程的解的定义，把代入方程进行检验即可． 【详解】A．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项错误； B．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项正确； C．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项错误； D．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项错误， 故答案为：B． 【变式5-1】已知关于的方程的解为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的解的定义可知即可解答．本题考查了一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-2】若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：是方程的解， ， 即， ． 故答案为：． 【变式5-3】已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解． （1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可； （2）把代入方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且 ∴； （2）由（1）得，该一元一次方程为， ∵是该方程的解， ∴， ∴． 1．下面的式子中，是方程的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程解答即可． 【详解】A．，含有未知数，但不是等式，不是方程； B．，含有未知数，但不是等式，不是方程； C．，含有未知数，是等式，是方程； D．，是等式，但不含有未知数，不是方程； 故答案为：C． 2．根据如图，＝（ ）克． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了式与方程，解题的关键是数形结合，先由图1可以得到一个较大圆是克，再由图2可知，一个小圆为克，由图3可求出最大圆的克数． 【详解】图1可以得到一个较大圆是24克 由图2可知，一个小圆是（克） 由图3可知，最大圆是（克）， 故选：C． 3．若，则下列选项中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据根据等式的性质：1、在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立；2、在等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立，据此判断即可． 【详解】A．因为，根据等式的性质1，在等式两边同时加上3，等式仍然成立，所以，原题干说法正确，不符合题意； B．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘5，所以，再根据等式的性质1，在等式的两边同时加上4，则，原题干说法错误，符合题意； C．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以，原题干说法正确，不符合题意； D．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以，再根据等式的性质1，在等式的两边同时减去5，则，原题干说法正确，不符合题意， 故答案为：B． 4．若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入中，即可求出a的值． 本题主要考查了一元一次方程的解的定义：能够使方程左右两边成立的未知数的值叫做方程的解．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】把代入中， 得， 解得， 故选：C． 5．若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 6．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【详解】解：， 解得：， 由表可知：当时，， 故选：C． 7．有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 8．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【答案】A 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． ． 9．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于x的一元一次方程得含有的等式，然后把所求含有的等式，整体代入所求代数式进行计算即可，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】把代入关于x的一元一次方程得： ， ∴ ， 故答案为：6． 10．如果关于x的方程是一元一次方程，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元）且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程是解题的关键． 先移项得到一元一次方程的一般式，再根据一元一次方程的定义列出关于k的不等式，求出k的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 11．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．把等号两边同时除以4得出，等号两边再同时减去即可得答案． 【详解】解：， 等号两边同时除以4得：， 所以， 所以的值是． 12．如果，，那么， ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，利用代换的方式把其中一个数用另一个数表示，两个未知数就成了一个未知数，进一步解决问题即可，熟练掌握等式的性质是解题关键．首先利用第二个式子减去第一个式子得出和的关系，用其中一个表示另一个，再代入任何一个式子求出一个，进一步求出另一个，计算加法即可解决问题． 【详解】① ② 所以②－①得：， ，③ 把③代入①得：， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 13．如图是一个数值转换机的示意图．若输出的值为，则输入的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，由运算程序和结果列出方程式并求解，准确理解并应用该流程列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 解得： 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等式的性质，理解等式的性质是解题关键． 根据等式的性质等式左右两边同时乘以，等式左右两边同时乘以，分析求解． 【详解】解： 等式左右两边同时乘以可得： 等式变形，可得 等式左右两边同时乘以可得： ∴， 故答案为：． 15．已知与是同类项，判断是否是方程的解． 【答案】是方程的解 【分析】本题主要查了同类项，一元一次方程的解。根据同类项的定义可得，再把代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 当时， 左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解． 16．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 17．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 18．有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示（），将它们拼成较大的长方形，共有如图2的三种不同的方式． (1)用含a，b的式子表示： 方式一拼成的大长方形的周长：______； 方式二拼成的大长方形的周长：______； 方式三拼成的大长方形的周长：______． (2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大． (3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a和b之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，等式的性质，掌握等式的加减法法则和等式的性质是解答本题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式即可； （2）用作差法比较大小即可； （3）由（2）可知只能是方式二和方式三的周长相等，据此列式求解即可． 【详解】（1）方式一拼成的大长方形的周长：； 方式二拼成的大长方形的周长：； 方式三拼成的大长方形的周长： 故答案为：；；； （2） ， ， 所以，，即最大． （3）由（2），得，即， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$