第13讲 用一元一次方程解决问题（14大核心题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第13讲 用一元一次方程解决问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能用一元一次方程解决简单的实际问题，包括列方程、解方程，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理，提高分析问题和解决问题的能力； 2．经历“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，体会数学的应用价值。 年龄问题 小华今年13岁，爷爷今年60岁，求经过几年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁． 经过3年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 售价问题 一件商品受季节影响准备打折出售，如果按标价的七五折出售，每件将赔30元，如果按标价的九折出售，每件将赚30元，求这件商品的标价是多少元？ 这种商品的标价是400元． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 路程问题 甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时千米，乙车的速度是每小时千米，甲车开出分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？ 小时（或分钟）后乙车追上甲车． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 比例问题 某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 三种型号三种洗衣机分别生产． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 规律问题 如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2) 若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． (1)12，(2)1011 和差倍分问题 “阳光爱心社”积极开展“爱心助教”的公益活动，现准备将6000本笔记本发往A，B两所学校，其中发往A学校比发往B学校笔记本的1.5倍少1000本，则发往A学校的笔记本是多少本？ 3200 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 工程问题 现需加工一批物件，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成．现由乙先做1天，再两人合作，完成后共得报酬500元，如果按每人工作量分配报酬，那么该如何分配？甲与乙各分一半，即每人获得250元报酬． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 考点一：年龄问题 例1．小明今年8岁，他爷爷58岁，经过几年以后，爷爷的年龄是小明的6倍（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-1】今年小明妈妈和小明的年龄之和是36岁，再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4倍还大1岁，则小明的年龄为几岁．若设今年小明的年龄为x岁，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打 折出售． 【变式1-3】已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 考点二：售价问题 例2 ．小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为 元．    【变式2-1】端午将至，某商场推出佳节促销活动，将标价为360元的某品牌空气炸锅打九折销售，经计算发现打折后该空气炸锅的利润率为．则该品牌空气炸锅的成本价是（   ） A．324元 B．388.8元 C．300元 D．280元 【变式2-2】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从B向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到点O的距离相等． 【变式2-3】莹莹水果店销售一种九九草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克28元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如下： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准售价（元） 5 4 5 相对于标准销售数量（千克） 50 80 (1)这个月九九草莓售价最低的是第几周？这一周的售价是每千克多少元？ (2)这个月九九草莓实际的销售数量是多少千克？ (3)若这家水果店本月按实际销售完这些草莓后，获利，则这批草莓的进价是每千克多少元？ 考点三：路程问题 例3.从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程缩短了20千米，车速平均每小时增加了40千米，只需要4小时即可到达，则甲、乙两地之间高速公路的路程是（   ） A．320千米 B．380千米 C．400千米 D．420千米 【变式3-1】“嘉嘉和琪琪从甲地到乙地，嘉嘉以的速度用时30分钟，琪琪以的速度用时x小时．”在这个问题中，求x的值时，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 【变式3-3】甲、乙两站间的路程为，一列慢车从甲站开出，每小时行驶，一列快车从乙站开出，每小时行驶． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？ 考点四：比例问题 例4．三角形三边比是，周长是72，那么，最长边是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 【变式4-1】某校六年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7．若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7 【变式4-2】把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有 个黑色三角形，第 个图中有100个黑色三角形． 【变式4-3】甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 考点五：规律问题 例5 ．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形、拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12．．．．．．若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多15枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（    ） A．75枚 B．77枚 C．70枚 D．74枚 【变式5-1】在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（    ） A． B． C． D．2 【变式5-2】某鲜牛奶加工厂的生产车间原有38人，包装车间原有42人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的2倍还多5人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是 ． 【变式5-3】【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 考点六：和差倍分问题 例6. 在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】修筑一条公路，甲工程队单独承包要90天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路一共需要 天． 【变式6-3】请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，共有多少请算清． 聪明的少年，请你根据诗的内容，列出方程帮忙解决这个问题． 考点七：工程问题 例7．制作一副广告牌，徒弟单独做需20天完成，师傅单独做需12天完成，现由徒弟单独做4天后，师徒二人一起完成余下的任务，则师傅做了（    ） A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 【变式7-1】一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？设还需天完成这项工程，由题意 列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】一机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，那么需要安排 名工人加工大齿轮， 名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套． 【变式7-3】暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 考点八：配套问题 例8 ．某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排天生产桌腿，可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】已知三个连续奇数的和是111，如果设最小的奇数为x，那么可列方程 ． 【变式8-3】一张课桌需要一个桌面和四条桌腿，如果一立方米木材可做60个桌面或360条桌腿（其他材料不计），现有20立方米木材，那么安排多少立方米木材做桌面，多少立方米木材做桌腿刚好配套？ 考点九：数字问题 例9. 甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是（   ） A． B． C． D．23 【变式9-1】观察下列按一定规律排列的个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是180，则等于（    ） A．29 B．30 C．31 D．62 【变式9-2】某商场在“十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： 如果不超过元，则不予优惠； 如果超过元，但不超过元，则按购物总额给予折优惠； 如果超过元，则其中元给予折优惠，超过元的部分给予折优惠． 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款元和元；若合并付款，则她们总共只需付款 元．（请用含的代数式表示） 【变式9-3】一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 考点十：方案问题 例10.某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【变式10-1】大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 【变式10-2】如图甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深 厘米． (单位：厘米) 【变式10-3】我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选： 方案一：全体人员打折； 方案二：打折，有人可以免票． (1)若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱； (2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 考点十一：几何问题 例11. 如图，已知长方形，将三个完全相同的长为、宽的长方形放入其中，其中他们的重叠部分是两个相同的正方形，则阴影部分①周长与阴影部分②的周长之和为（    ）    A． B． C． D．400 【变式11-1】如图，一个正方形先剪去宽为2的长方形，再剪去宽为的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，那么原正方形的边长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式11-2】如图是2024年1月份的月历，用一平行四边形在月历上任意框出四个数，使这四个数的和为86，则这四个数中最后一天为2024年1月 号．    【变式11-3】如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 考点十二：日历问题 例12．如图，这是2024年3月份的月历表，用框数器“” 框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（    ） A．60 B．75 C．90 D．125 【变式12-1】将正整数1至2000按一定规律排列如表：同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．116 B．117 C．128 D．138 【变式12-2】我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．若设该店有客房x间，则可列方程为 ，求出客房数量为 间． 【变式12-3】将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 考点十三：古代问题 例13. 《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．则合伙买金人数共有（    ） A．33人 B．32人 C．30人 D．29人 【变式13-1】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【变式13-3】我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 考点十四：电费与水费问题 例14.某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【变式14-1】为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则 ． 【变式14-3】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 1．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 2．某人骑自行车从地到地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设两地相距千米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．中国古代数学名著《算法统宗》里有这样一道题：“隔壁听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．”意思是：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时一斤等于十六两，故有半斤八两这个成语）．设共有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某种家电的进价为2200元，为促销商场以8折优惠销售这种电器，为保证每台电器有300元的利润，定价是多少元?设定价为元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 5．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 6．今年祖父的年龄是70岁，3个孙子的年龄分别是18岁、18岁、19岁，那么（ ）年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半． A．6 B．7 C．8 D．9 7．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 8．某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 9．父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁． 10．小明所在城市的“阶梯水价”收费标准是：每户用水不超过5吨，每吨水费x 元；用水超过5吨，超过的部分每吨加收2元．小明家今年五月份用水9吨，共交水费44元，则可列方程为 11．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为 ． 12．为配制含盐的盐水，已有含盐的盐水，还需要含盐的盐水 ． 13．甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完．开始排水 小时后，甲池的水量是乙池的8倍． 14．将9个不重复的数字填入如图6的九个格子中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，则这9个数的和为 （用含a的整式表示）． 15．随着毕业季的到来，众多学校开始定制班服．某制衣厂接到一批班服的生产任务，学校要求6天内完成．若工厂安排12台机器开工，则6天后还有800件衣服未完成；若安排16台机器开工，则恰好提前一天完成任务，假设每台机器的工作效率相同，求每台机器每天可以生产多少件衣服． 16．某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 17．一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：； 第三行第3个数：． (1)求x的值； (2)若一个数位于第n行的第2个数． ①用含n的代数式表示这个数：__________； ②若这个数等于，求出该数所在的行数n． 18．如图①，点O为数轴原点，，正方形的边长为6，点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，请回答下列问题． (1)点A表示的数为______，点D表示的数为______． (2)的面积为6时，求t的值． (3)如图②，当点P运动至D点时，立即以原速返回，到O点后停止．在点P运动过程中，作线段，点E在数轴上点P右侧，以为边向上作正方形，当与面积和为16时，直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 用一元一次方程解决问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能用一元一次方程解决简单的实际问题，包括列方程、解方程，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理，提高分析问题和解决问题的能力； 2．经历“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，体会数学的应用价值。 年龄问题 小华今年13岁，爷爷今年60岁，求经过几年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁． 经过3年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 售价问题 一件商品受季节影响准备打折出售，如果按标价的七五折出售，每件将赔30元，如果按标价的九折出售，每件将赚30元，求这件商品的标价是多少元？ 这种商品的标价是400元． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 路程问题 甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时千米，乙车的速度是每小时千米，甲车开出分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？ 小时（或分钟）后乙车追上甲车． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 比例问题 某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 三种型号三种洗衣机分别生产． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 规律问题 如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2) 若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． (1)12，(2)1011 和差倍分问题 “阳光爱心社”积极开展“爱心助教”的公益活动，现准备将6000本笔记本发往A，B两所学校，其中发往A学校比发往B学校笔记本的1.5倍少1000本，则发往A学校的笔记本是多少本？ 3200 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 工程问题 现需加工一批物件，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成．现由乙先做1天，再两人合作，完成后共得报酬500元，如果按每人工作量分配报酬，那么该如何分配？甲与乙各分一半，即每人获得250元报酬． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 考点一：年龄问题 例1．小明今年8岁，他爷爷58岁，经过几年以后，爷爷的年龄是小明的6倍（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程应用，此题关键是联系实际，小明长爷爷也长，才能列对方程．设经过x年后，爷爷的年龄是小明的6倍，则x年后小明为岁，爷爷为，根据题意列方程式求解． 【详解】解：设经过x年后，爷爷的年龄是小明的6倍， 根据题意 得， 解得． 故选：A． 【变式1-1】今年小明妈妈和小明的年龄之和是36岁，再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4倍还大1岁，则小明的年龄为几岁．若设今年小明的年龄为x岁，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分别确定5年后妈妈的年龄和小明的年龄，即可求解． 【详解】解：再过5年，妈妈的年龄是：； 小明的年龄是：； ∵再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4倍还大1岁， ∴可列方程 故选：A 【变式1-2】某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打 折出售． 【答案】8 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设打折，用含的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出方程求解即可． 【详解】解：设打折，根据题意得 解得 即打8折出售． 故答案为：８． 【变式1-3】已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 【答案】(1)红红的年龄为岁；元元的年龄为岁；这三人的年龄和为岁； (2)明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁 【分析】（1）根据题意分别列出红红、元元的年龄，再合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和； （2）根据题意可得关于m的方程，解方程求出m的值，再分别求出各自的年龄即可． 本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用等，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）∵明明的年龄是m岁，根据题意得， 红红的年龄为岁， 元元的年龄为岁；； 这三人的年龄和为岁； （2）根据题意得 解得 此时，， 答：明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁． 考点二：售价问题 例2 ．小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为 元．    【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，找出等量关系，列出相应的方程是解题的关键， 根据题意可知：标价（折数10）成本利润，可以列出相应方程，然后求解即可； 【详解】设每本《几何原本》的进价为x元，根据题意得： ， 解得：； 故答案为：22元． 【变式2-1】端午将至，某商场推出佳节促销活动，将标价为360元的某品牌空气炸锅打九折销售，经计算发现打折后该空气炸锅的利润率为．则该品牌空气炸锅的成本价是（   ） A．324元 B．388.8元 C．300元 D．280元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“打折后该空气炸锅的利润率为”列方程求解． 【详解】解：设该品牌空气炸锅的成本价是x元， 则， 解得：， 即：该商品的成本价是300元． 故选：C． 【变式2-2】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从B向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到点O的距离相等． 【答案】40 【分析】此题考查解一元一次方程、设经过秒点、到原点的距离相等，列方程求出的值即可． 【详解】解：设经过秒点、到原点的距离相等， 则， 解得； 经过40秒，点、到原点的距离相等， 故答案为：40． 【变式2-3】莹莹水果店销售一种九九草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克28元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如下： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准售价（元） 5 4 5 相对于标准销售数量（千克） 50 80 (1)这个月九九草莓售价最低的是第几周？这一周的售价是每千克多少元？ (2)这个月九九草莓实际的销售数量是多少千克？ (3)若这家水果店本月按实际销售完这些草莓后，获利，则这批草莓的进价是每千克多少元？ 【答案】(1)这个月九九草莓售价最低的是第三周，这一周的售价是每千克元； (2)这个月九九草莓实际的销售数量是900千克． (3)这批草莓的进价是每千克20元． 【分析】（1）比较每周相对于标准销售数量，即可得出九九草莓售价最低的时间，将标准售价加上该周相对于标准售价的比较值即可求解； （2）用四周的标准数量加上四周相对于标准销售数量的和值，即可求解； （3）设进价为每千克元，利用销售额等于销售单价乘以数量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这个月九九草莓售价最低的是第三周，这一周的售价是每千克（元）， （2）解：（千克）， 答：这个月九九草莓实际的销售数量是900千克． （3）设进价为每千克元，则 ， 解得：， 答：这批草莓的进价是每千克20元． 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的运算式与方程是解本题的关键． 考点三：路程问题 例3.从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程缩短了20千米，车速平均每小时增加了40千米，只需要4小时即可到达，则甲、乙两地之间高速公路的路程是（   ） A．320千米 B．380千米 C．400千米 D．420千米 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先设甲、乙两地之间高速公路的路程是千米，然后根据从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程缩短了20千米，车速平均每小时增加了40千米，只需要4小时即可到达，即可列出相应的方程，求解即可，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】解：设甲、乙两地之间高速公路的路程是千米， 由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两地之间高速公路的路程是400千米， 故选：C． 【变式3-1】“嘉嘉和琪琪从甲地到乙地，嘉嘉以的速度用时30分钟，琪琪以的速度用时x小时．”在这个问题中，求x的值时，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，从题意中抽象出方程是解题关键，根据两人所走的路程相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 【变式3-2】甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 【答案】1380 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设原来甲有元，原来乙有元，根据题意列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设原来甲有元，原来乙有元， ， ， ， ∴， 故答案为：1380． 【变式3-3】甲、乙两站间的路程为，一列慢车从甲站开出，每小时行驶，一列快车从乙站开出，每小时行驶． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？ 【答案】(1)两车同时开出，相向而行，相遇． (2)两车同时开出，同向而行，快车才能追上慢车 【分析】本题考查了一元一次方程的行程应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据速度乘时间等于路程进行列式，解方程，即可作答． （2）根据速度乘时间等于路程，再结合路程差的关系进行列式，解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设两车同时开出，相向而行，经过x小时相遇， 依题意，得，解得， 答：两车同时开出，相向而行，相遇． （2）解：设快车经过才能追上慢车， 依题意，得，解得， 答：两车同时开出，同向而行，快车才能追上慢车． 考点四：比例问题 例4．三角形三边比是，周长是72，那么，最长边是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】A 【分析】设最长边是x，按比例分配列比例式，故． 【详解】设最长边是x， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形，一元一次方程的简单应用，解决问题的关键是按比例分配列比例式． 【变式4-1】某校六年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7．若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7 【答案】A 【详解】考点：三元一次方程组的应用． 分析：由于甲、乙、丙三队的人数比为4：5：7，故设三队人数分别为4x，5x，7x，求得x的值后代入，即可求得题中要求的人数比． 解答：解：设甲、乙、丙三队，其人数分别为4x，5x，7x， 由题意得4x+5x+7x=64， 解得x=4， 故乙队有4×5=20人，丙队有4×7=28人． 由外校转入1人加入乙队后乙与丙的人数比为：21：28，即3：4． 故选A． 点评：此题比较容易，解答此题的关键是根据题意列出方程组再解答． 【变式4-2】把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有 个黑色三角形，第 个图中有100个黑色三角形． 【答案】 19 33 【分析】本题考查了图形的规律探索，一元一次方程的应用，根据图形可以发现第一个图有4个黑色三角形，之后每幅图都在上一幅图的基础上增加3个黑色三角形，可以推测第n个图黑色三角形的个数为，将代入式子中，求出第一空，n未知，将整个式子等于100，列出方程解出n，求出第二空即可． 【详解】解：根据图形可以发现第一个图有4个黑色三角形， 第二个图有个黑色三角形， 第三个图有个黑色三角形， ， 第n个图有个黑色三角形， 当时，， 当时，解得：， 所以，第6个图中有19个黑色三角形，第33个图中有100个黑色三角形， 故答案为：19，33 ． 【变式4-3】甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 【答案】甲绳原来长为10米，乙绳原来长为12米． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据比例关系列出方程是解题关键．设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米，根据题意可求出甲绳截去后长为米，进而由比例关系可列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米， 甲绳截去后长为米， 所以， 解得：， 所以甲绳原来长为10米，乙绳原来长为米． 考点五：规律问题 例5 ．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形、拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12．．．．．．若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多15枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（    ） A．75枚 B．77枚 C．70枚 D．74枚 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意分别求出前三个图形所用正方形卡片、等边三角形卡片的数量，由此发现规律，再根据拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多15枚，列出方程，即可求解． 【详解】解：拼第1个图形所用正方形的卡片的总数为枚，等边三角形的卡片的总数为枚， 拼第2个图形所用正方形的卡片的总数为枚，等边三角形的卡片的总数为枚， 拼第3个图形所用正方形的卡片的总数为枚，等边三角形的卡片的总数为枚， ．．．．．．， 由此发现，拼第n个图形所用正方形的卡片的总数为枚，等边三角形的卡片的总数为枚， ∵拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多15枚， ∴， 解得：， ∴拼第n个图形所用两种卡片的总数为枚． 故选：B 【变式5-1】在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．设，仿照例题进行求解． 【详解】解：设， 则， ， 解得，， 故选：B． 【变式5-2】某鲜牛奶加工厂的生产车间原有38人，包装车间原有42人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的2倍还多5人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意，得到抽调后，生产车间的人数为，包装车间的人数为，再根据包装车间的人数比生产车间的人数的2倍还多5人，列出方程即可． 【详解】解：从生产车间抽调人到包装车间，则：抽调后，生产车间的人数为，包装车间的人数为，由题意，得： ； 故答案为：． 【变式5-3】【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案， 【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键． （1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可； （2）由（1）即可得出结果； （3）令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形； 第2个图案有：个正方形； 第3个图案有：个正方形； ， ∴第n个图案有个正方形， ∴第5个图案有个正方形， 故答案为：12； （2）由（1）可知：第n个图案有个正方形， 故答案为：； （3）可以， 当时，． 考点六：和差倍分问题 例6. 在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，调动后甲处的人数是人，乙处的人数是人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可． 【详解】解：设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人， 根据题意得：． 故选：D． 【变式6-1】甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设应从甲队调x人到乙队，根据“甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的．”进行列式，即可作答． 【详解】解：设应从甲队调x人到乙队， ∵甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的， ∴列出的方程： 故选：C 【变式6-2】修筑一条公路，甲工程队单独承包要90天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路一共需要 天． 【答案】80 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，抓住关键描述语，找到等量关系列出方程．设乙队单独做还需要x天完成，根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可． 【详解】设乙单独做还需要x天完成，由题意，得 解得 （天） ∴修好这条公路一共需要80天． 故答案为：80． 【变式6-3】请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，共有多少请算清． 聪明的少年，请你根据诗的内容，列出方程帮忙解决这个问题． 【答案】鸭子一共有60只 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，设鸭子一共有只，根据总数减去进笼子的鸭子，就是在外面的只数（剩下十五围着我），列出方程解答即可． 【详解】解：设鸭子一共有只，由题意得 ， 解得：， 答：鸭子一共有60只． 考点七：工程问题 例7．制作一副广告牌，徒弟单独做需20天完成，师傅单独做需12天完成，现由徒弟单独做4天后，师徒二人一起完成余下的任务，则师傅做了（    ） A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设师傅做了天，工作总量为单位1，根据“师徒二人一起完成的工作量徒弟单独做4天的工作量工作总量”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设师傅做了天，工作总量为单位1， 根据题意，得， 解得， 答：师傅做了天． 故选：C． 【变式7-1】一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？设还需天完成这项工程，由题意 列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程在工程方面的应用；由题意知甲在这项工程中做了天，根据甲完成的工程加乙完成的工程为1列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意知，甲在这项工程中做了天， 则得方程：； 故选：D． 【变式7-2】一机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，那么需要安排 名工人加工大齿轮， 名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套． 【答案】 25 60 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，设安排x名工人加工大齿轮，根据如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套列得方程求解，正确理解题意列得一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，根据题意得 ， 解得 ∴安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮， 故答案为：25，60． 【变式7-3】暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 【答案】甲、乙两队分别做了12天和10天 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，假设这个工程的总量为“1”．甲队单独做，需要20天，则甲队的工作效率为．乙队单独做，需要25天，则乙队的工作效率为．根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了天，甲队工作的天数×工作效率＋乙队工作的天数×工作效率＝工作总量，据此列方程，并解答即可． 【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了天，则 ； 则乙队：（天） 答：甲、乙两队分别做了12天和10天． 考点八：配套问题 例8 ．某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排天生产桌腿，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设应安排天生产桌腿，则安排天生产桌面，根据“每天能生产720个桌腿或者120张桌面，而每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套”，列出方程即可． 【详解】解：设应安排天生产桌腿，则安排天生产桌面， 根据题意，可列方程为． 故选：D． 【变式8-1】龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设用x千克瓷泥做茶壶，则可制作个茶壶，个茶杯，根据“每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成”即可列出方程． 【详解】解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：． 故选：A 【变式8-2】已知三个连续奇数的和是111，如果设最小的奇数为x，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程：审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．本题的关键是相邻奇数的关系．设最小的奇数为，则另外两奇数分别为，然后根据三个连续奇数的和为111列方程即可． 【详解】解：设最小的奇数为， 根据题意得． 故答案为：． 【变式8-3】一张课桌需要一个桌面和四条桌腿，如果一立方米木材可做60个桌面或360条桌腿（其他材料不计），现有20立方米木材，那么安排多少立方米木材做桌面，多少立方米木材做桌腿刚好配套？ 【答案】安排12立方米木材做桌面，8立方米木材做桌腿刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据“4×桌面个数=桌腿个数”可列方程求解． 【详解】解：设安排立方米木材做桌面，则立方米木材做桌腿． 由题意，得， 解得， 所以． 答：安排12立方米木材做桌面，8立方米木材做桌腿刚好配套． 考点九：数字问题 例9. 甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是（   ） A． B． C． D．23 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲数为x，则乙数为，根据乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，即甲数是乙数的10倍列出方程求解即可． 【详解】解：设甲数为x，则乙数为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 【变式9-1】观察下列按一定规律排列的个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是180，则等于（    ） A．29 B．30 C．31 D．62 【答案】C 【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为是解决问题的关键．观察得出第n个数为，根据最后三个数的和为180，列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意，得第n个数为， 那么， 解得：， 故选：C． 【变式9-2】某商场在“十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： 如果不超过元，则不予优惠； 如果超过元，但不超过元，则按购物总额给予折优惠； 如果超过元，则其中元给予折优惠，超过元的部分给予折优惠． 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款元和元；若合并付款，则她们总共只需付款 元．（请用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】根据题意知付款元，其实际标价为元或元，付款元，其实际标价为元，分两种情况分别计算出合并购买总标价元或元的商品应付款即可． 【详解】解：由题意知付款元，实际标价为或元， 付款元，实际标价为， 若合并付款总标价为元，应付款： 元， 若合并付款总标价为元，应付款： 元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是列代数式，寻找题中数量关系是解题关键． 【变式9-3】一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一位数为，则这两位数为，再根据题意列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：设一位数为，则这两位数为 ∵把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360， ∴， 解得， 则， ∴这个两位数是． 考点十：方案问题 例10.某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【答案】D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 【变式10-1】大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 【答案】C 【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价，打八折即原价，分别得出等式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 当购买的书款9折销售时，设原价为x元，根据题意可得： ， 解得：， 当购买的书款8折销售时，设原价为y元，根据题意可得： ， 解得：， 故李明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是理解售书的三种方案． 【变式10-2】如图甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深 厘米． (单位：厘米) 【答案】 【分析】本题考查了圆柱和长方体的体积公式，利用方程解决实际问题，将容器乙中的水全部倒入甲容器后，设此时甲容器的水深为厘米，根据甲容器与乙容器的体积相等列方程即可解答． 【详解】解：∵乙容器的底面边长为厘米，水深厘米， ∴， ∵甲容器的底面半径为厘米， ∴将容器乙中的水全部倒入甲容器后，设此时甲容器的水深为厘米， ∴， ∴， ∵， ∴解得：； 即将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时甲容器水深厘米， 故答案为:． 【变式10-3】我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选： 方案一：全体人员打折； 方案二：打折，有人可以免票． (1)若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱； (2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 【答案】(1)， (2)一班有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出两种方案下的花费情况即可． （2）根据一班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）方案一：由题意可得需付（元）， 方案二：由题意可得需付（元）， 故答案为，． （2）设二班有人，根据题意得方案一和方案二需要付的钱数一样， 故可列方程， 解得， 答：一班有人． 考点十一：几何问题 例11. 如图，已知长方形，将三个完全相同的长为、宽的长方形放入其中，其中他们的重叠部分是两个相同的正方形，则阴影部分①周长与阴影部分②的周长之和为（    ）    A． B． C． D．400 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示的长． 设两个相同的小正方形正方形边长为，由图可得，而，即可得，求出①的周长为，②的周长为，即可得到答案． 【详解】解：设两个相同的小正方形正方形边长为， 由图可知，， ， ， ， ， ， ∴①的周长为， ②的周长为， ∴阴影部分的周长为， 故选：C． 【变式11-1】如图，一个正方形先剪去宽为2的长方形，再剪去宽为的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，那么原正方形的边长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】设原正方形的边长为x,根据题意，第一个长方形的面积为，第二个长方形的面积为，列方程，得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 【详解】设原正方形的边长为x,根据题意，第一个长方形的面积为，第二个长方形的面积为， 列方程，得， 解得． 故选B． 【变式11-2】如图是2024年1月份的月历，用一平行四边形在月历上任意框出四个数，使这四个数的和为86，则这四个数中最后一天为2024年1月 号．    【答案】25 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据日历特点列出方程，设最后一天为x，则其他三天分别为：，，，根据这四个数的和为86，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设最后一天为x，则其他三天分别为：，，，根据题意得： ， 解得：， 即这四个数中最后一天为2024年1月25号． 故答案为：25． 【变式11-3】如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）先分别求出阴影部分的周长与长方形的周长，列出方程可求解． 【详解】（1）解：；； （2）长方形的周长， 阴影部分的周长． 阴影部分的周长与长方形的周长比为， ， 解得， 答：的值为3． 考点十二：日历问题 例12．如图，这是2024年3月份的月历表，用框数器“” 框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（    ） A．60 B．75 C．90 D．125 【答案】D 【分析】本考查了一元一次方程的应用，设这五个数中最小的一个数为，则其余的四个数为，，，，然后根据这五个数的和分别等于四个选项中的数列出方程，求出方程的解，然后再进一步结合表格进行判断即可． 【详解】解：设这五个数中最小的一个数为，则其余的四个数为，，，， 那么，这五个数的和为． A、如果，那么，不符合题意； B、如果，那么，不符合题意； C、如果，那么，不符合题意； D、如果，那么，而右下角没有数，符合题意． 故选D． 【变式12-1】将正整数1至2000按一定规律排列如表：同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．116 B．117 C．128 D．138 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确设未知数是解题关键．设方框中的三个数分别为、、，则这三个数的和为，逐一对选项进行计算，根据为整数且不能位于第一列和最后一列，即可得出答案． 【详解】解：设方框中的三个数分别为、、， 则这三个数的和为， A、，解得：，符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，处于最后一列，不符合题意； D、，解得：，不符合题意； 故选：A． 【变式12-2】我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．若设该店有客房x间，则可列方程为 ，求出客房数量为 间． 【答案】 8 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题． 设该店有客房x间，根据“如果一间客房住7人，那么有7人无房可住”可得客人有位，根据“如果一间客房住9人，那么就空出一间客房” 可得客人有位，据此即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设该店有客房x间．根据题意，得 ， 解得：． ∴该店有客房8间． 故答案为：；8 【变式12-3】将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 考点十三：古代问题 例13. 《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．则合伙买金人数共有（    ） A．33人 B．32人 C．30人 D．29人 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意可知：人数人数，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设合伙买金人数共有人， 由题意可得：， 解得， 答：合伙买金人数共有33人， 故选：A． 【变式13-1】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设箭尺每小时上升，由于刚开始箭尺有一定读数，根据2小时时箭尺的读数-2小时箭尺上升的高度=6小时时箭尺的读数-6小时箭尺上升的高度，即可列出方程． 本题主要考查了列一元一次方程解应用题，据题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】设箭尺每小时上升，则可列方程， 故选：A． 【变式13-2】某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意分情况列一元一次方程是解题的关键． 设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时，由题意知，，解得，，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】解：设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ∴月份的用电量为千瓦⋅时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，月份的用电量为千瓦⋅时； 故答案为：． 【变式13-3】我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 考点十四：电费与水费问题 例14.某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 【变式14-1】为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 【变式14-2】在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第二行第一个数为，根据每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等，可列出关于的一元一次方程（可以消去），解之即可得出的值． 【详解】解：设第二行第一个数为， 根据题意得：， 即， 解得：． 故答案为：6． 【变式14-3】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 1．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可． 【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得： ， 故选：A． 2．某人骑自行车从地到地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设两地相距千米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设两地相距千米，根据时间=路程÷速度结合“若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟”，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设两地相距千米， 依题意，得：． 故选：D． 3．中国古代数学名著《算法统宗》里有这样一道题：“隔壁听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．”意思是：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时一斤等于十六两，故有半斤八两这个成语）．设共有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题考查了由实际问题抽象出一元一次方程、设有x人分银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，结合所分银子数量不变，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设有x人分银子， 根据题意得：， 故选：B． 4．某种家电的进价为2200元，为促销商场以8折优惠销售这种电器，为保证每台电器有300元的利润，定价是多少元?设定价为元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．设定价为x元，根据等量关系：售价×折扣－利润＝进价，即进价＋利润＝售价×折扣，依此列出方程即可． 【详解】解：设定价为元，根据题意得： ， 故选：C． 5．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 6．今年祖父的年龄是70岁，3个孙子的年龄分别是18岁、18岁、19岁，那么（ ）年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半，则年前3个孙子的年龄分别是岁、岁、岁，祖父的年龄是岁，据此列方程为，然后解出方程即可． 【详解】解：设年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半． 8年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半． 故答案为：C． 7．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键． 设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答． 【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了, 由题意得:,解得：,即分针走了, ∵分针每分钟转度, ∴张老师散步的时间 (分钟) ． 故选A． 8．某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别求得三次购物的优惠金额，进而得出第三次购物应付款超过200元，设为元，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：第一次购物付款153元，则优惠了（元）； 第二次购物付款220元，则优惠了（元）； 第三次购物优惠了（元）， 所以第三次购物应付款超过200元， 设为元，则， 解得， 则第三次购物实际付款（元）， 所以三次购物实际付款共（元）． 故选：B． 9．父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁． 【答案】 【分析】本题考查了年龄增长问题，关键是明白年龄差永不变的特点，找到等量关系列出方程．设女儿现在的年龄是岁，利用“父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁”得出年龄差，则可得当父亲岁时女儿的年龄，利用“女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄”得出父亲现在年龄，再利用现在年龄的年龄差列式即可． 【详解】解：设女儿现在的年龄是岁， 由父亲年龄为岁时，女儿刚4岁， 可得父亲和女儿相差岁， 则当父亲岁时，女儿年龄为岁， 利用“当父亲岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄”得父亲现在年龄为岁， 根据现在年龄相差岁，列方程得：， 解得：（岁）， 则父亲现在年龄为（岁）， 故答案为：． 10．小明所在城市的“阶梯水价”收费标准是：每户用水不超过5吨，每吨水费x 元；用水超过5吨，超过的部分每吨加收2元．小明家今年五月份用水9吨，共交水费44元，则可列方程为 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据应交水费不超过5吨时的每吨水费超出5吨的部分超过5吨时的每吨水费，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 即． 故答案为：． 11．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程组的应用，设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；从而可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12．为配制含盐的盐水，已有含盐的盐水，还需要含盐的盐水 ． 【答案】700 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要含盐的盐水x克，根据1000克盐水中的含盐量等于含盐的盐水中的含盐量加上盐的盐水中的含盐量列出方程求解即可． 【详解】解：设还需要含盐的盐水x克， 由题意得，， 解得， ∴还需要含盐的盐水700克， 故答案为：700． 13．甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完．开始排水 小时后，甲池的水量是乙池的8倍． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的英明，申请题意、正确确定等量关系是解答本题的关键． 假设甲、乙两水池的排水速度都为1，设开始排水x小时后，甲池的水量是乙池的8倍，根据等量关系“甲水池现在的水量＝乙水池现在的水量×8”列方程求解即可． 【详解】解：假设甲、乙两水池的排水速度都为1， 设开始排水x小时后，甲池的水量是乙池的8倍． ，解得：， 所以，开始排水小时后，甲池的水量是乙池的8倍． 故答案为：． 14．将9个不重复的数字填入如图6的九个格子中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，则这9个数的和为 （用含a的整式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意，列式计算与列方程进行解得是解本题的关键．根据题意，先分析出第一行第一个数和第三行第三个数，再依次列式求解其余的数，再建立方程求解，即可． 【详解】解：设第三行第三个数为x， 则：第一行的第一个数为， 最中间的数为， 第一行的第二个数为：， 第一行的第三个数为：， ∴， ∴， ∴9个数的和为：； 故答案为：． 15．随着毕业季的到来，众多学校开始定制班服．某制衣厂接到一批班服的生产任务，学校要求6天内完成．若工厂安排12台机器开工，则6天后还有800件衣服未完成；若安排16台机器开工，则恰好提前一天完成任务，假设每台机器的工作效率相同，求每台机器每天可以生产多少件衣服． 【答案】每台机器每天可以生产件衣服 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设每台机器每天可以生产件衣服，根据生产的衣服数量关系列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每台机器每天可以生产件衣服，则 解得： 答：每台机器每天可以生产件衣服． 16．某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案二获利最多，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，先分别求出两种方案的获利多少，然后进行比较即可． 【详解】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为：（元）； 方案二：设生产x天奶片，则生产天酸奶， 根据题意得：， 解得：， 3天生产酸奶，加工的鲜奶（吨）， 则利润为：（元）； ∵， ∴第二种方案获利最多． 17．一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：； 第三行第3个数：． (1)求x的值； (2)若一个数位于第n行的第2个数． ①用含n的代数式表示这个数：__________； ②若这个数等于，求出该数所在的行数n． 【答案】(1) (2)①；②所在的行数为第12行 【分析】本题考查了探索数字规律及一元一次方程的应用，读懂题意，总结规律是解题的关键． （1）根据题意得每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和，据此规律求解即可； （2）根据每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和分析总结规律即可得解；②构建方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和， ∴， ∴． （2）解：①第2行的第2个数为：； 第3行的第2个数为：； 第4行的第2个数为：； 第5行的第2个数为：； ， 第n行的第2个数为：； 故答案为：； ②， 解得． ∴所在的行数为第12行． 18．如图①，点O为数轴原点，，正方形的边长为6，点P从点O出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，请回答下列问题． (1)点A表示的数为______，点D表示的数为______． (2)的面积为6时，求t的值． (3)如图②，当点P运动至D点时，立即以原速返回，到O点后停止．在点P运动过程中，作线段，点E在数轴上点P右侧，以为边向上作正方形，当与面积和为16时，直接写出t的值． 【答案】(1)3，9 (2)t的值为秒或秒 (3)或或或． 【分析】（1）根据线段的长和正方形的边长可以求解． （2）根据点的运动速度与运动时间得出运动路程，对应数数轴得出结论． （3）根据点运动确定正方形的位置再去讨论与面积和为16时的值． 本题考查了数轴与动点的结合，表示出点的运动距离是本题的解题关键． 【详解】（1）解： ，且为数轴原点，在的右侧， 表示的数为3， 正方形的边长为6， ， 表示的数为9． 故答案是3，9； （2）解：∵的面积为6， ∴， 解得， 点从点开始运动且速度为每秒2个单位长度， ， ∵， ∴当点在之间时，则，解得， ∴当点在的延长线上时，则，解得， ∴的面积为6时，t的值为秒或秒； （3）解：①当P点在A点左侧时，， 由题意得：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒， ∴， ∴， ∴， ， ∵与面积和为16， ∴， 解得， 当P点在A点右侧时， 连接，如图所示：    同理得， ， ∵与面积和为16， ∴， 解得， ②点从向运动时，则， 连接，如图所示：    ∴ 此时， ， ∵与面积和为16， ∴， 解得， 当P点在A点左侧时， 由题意得：连接，如图所示：    ∴， 此时， ， ∵与面积和为16， ∴， 解得， 综上：或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$