第12讲 一元一次方程及其解法（4大核心考点）- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第12讲 一元一次方程及其解法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察，归纳一元一次方程的概念； 2．了解与一元一次方程有关的概念，了解方程的基本变形在解方程中的作用。 3.掌握解一元一次方程的方法，能熟练求解数字系数的一元一次方程，了解解一元一次方程的一般步骤。 一元一次方程 1.认识一元一次方程 （1）定义：只含有 ，并且 ，这样的方程叫做一元一次方程. （2）“元”是指 ，“次”是指 ， 一元一次方程满足条件： ① ;② ;③ ;④ ． 2.解简单的一元一次方程 (1) (2) 解一元一次方程——移项 ； 移项：方程中的某些项 后，可以从方程的一边移到 ； 移项的依据： ；移项时一般将含未知数的项向 移，将常数项向 移； 移项的步骤： （1） ； （2） ； （3） 解一元一次方程——去括号 去括号法则： 括号前是“＋”号， ． 括号前是“－”号， ． 去括号方程步骤； （1） ； （2） ； （3） ； （4） 解一元一次方程——去分母 ． 去分母的变形依据是： ；去分母的方法是在方程两边都乘以各分母的 。 注：（1）不能漏乘不含 的项；（2）如果分子是多项式，去分母后，应将它看作一个 ，分子用括号括起来。 去分母步骤： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 。 考点一：一元一次方程的定义 例1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果方程是关于x的一元一次方程，那么n的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．1 【变式1-2】若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ． 【变式1-3】已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 考点二：解一元一次方程——移项 例2 ．已知方程的解是，则k的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】下列变形中属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2-2】方程中，用含x的代数式表示y，则 ． 【变式2-3】解方程： (1)； (2)． 考点三：解一元一次方程——去括号 例3. 将代入，去括号后，可得（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】李乐在做数学作业时，不小心将方程中■处的一个常数污染了，通过询问老师，他得知方程的解是，那么■处的常数是（    ） A．1 B．5 C．7 D．9 【变式3-2】若关于的方程的解为，则 ． 【变式3-3】解下列方程 (1)； (2)． 考点四：解一元一次方程——去分母 例4．下面是某位同学解方程的解题过程，该解题过程最先出现错误的步骤是（    ） 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项、合并同类项，得(第三步) 系数化为1，得（第四步） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式4-1】解方程，去分母，得（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【变式4-3】解方程： (1)． (2)． 1．已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 2．要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（   ） A． B．2 C． D． 3．下列解方程的步骤正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（    ） A．1 B． C． D． 5．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 8．方程的解是（    ） A． B． C． D． 9．若与互为相反数，则x的值为 ． 10．定义新运算“”，规定，若，则 ． 11．定义一种新运算：，若，则 ． 12．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 13．设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为 ． 14．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 15．解方程： (1)； (2)． 16．解方程： (1)； (2) 17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ． (1)求所捂的多项式； (2)若x是的解，求所捂多项式的值； (3)若所捂多项式的值为144，请求写出x的取值． 18．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一元一次方程及其解法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察，归纳一元一次方程的概念； 2．了解与一元一次方程有关的概念，了解方程的基本变形在解方程中的作用。 3.掌握解一元一次方程的方法，能熟练求解数字系数的一元一次方程，了解解一元一次方程的一般步骤。 一元一次方程 1.认识一元一次方程 （1）定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. （2）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数， 一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 2.解简单的一元一次方程 (1) (2) 解一元一次方程——移项 ； 移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边； 移项的依据：等式的基本性质；移项时一般将含未知数的项向左边移，将常数项向右边移； 移项的步骤： （1） 移项； （2） 合并同类项； （3） 系数化“1” 解一元一次方程——去括号 去括号法则： 括号前是“＋”号， 把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变。 ． 括号前是“－”号， 把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都改变 ． 去括号方程步骤； （1） 去括号； （2） 移项； （3） 合并同类项； （4） 系数化“1” 解一元一次方程——去分母 ． 去分母的变形依据是：等式的基本性质；去分母的方法是在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。 注：（1）不能漏乘不含分母的项；（2）如果分子是多项式，去分母后，应将它看作一个整体，分子用括号括起来。 去分母步骤： （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项； （4） 合并同类项； （5） 系数化“1”。 考点一：一元一次方程的定义 例1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，对选项一一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、最高次数是2，不是关于x的一元一次方程，故该选项不符合题意； D、是关于y的一元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如果方程是关于x的一元一次方程，那么n的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且．据此求解可得． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-2】若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程 是一元一次方程 ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义． （1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可； （2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值． 【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，原方程为， 解得． 方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数， 关于的一元一次方程的解为， 将，代入方程中，得， 解得． 考点二：解一元一次方程——移项 例2 ．已知方程的解是，则k的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，熟练运用等式的性质是解题的关键． 把代入到方程中，然后根据等式的性质解方程即可． 【详解】解：将代入得，， ， 解得，， 故选：A． 【变式2-1】下列变形中属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了移项，根据移项的定义，移项是从方程的一边移到方程的另一边，注意改变符号作答即可，熟练掌握移项的方法是解题的关键． 【详解】解：、由，得，是利用合并同类项步骤解方程，不属于移项，不符合题意； 、由，得，等式右边利用加法交换律，不属于移项，不符合题意； 、由，得，属于移项，符合题意； 、由，得，不属于移项，不符合题意； 故选：． 【变式2-2】方程中，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 先移项，再把的系数化为1即可． 【详解】解：， 移项得，， 的系数化为1得，． 故答案为：． 【变式2-3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 考点三：解一元一次方程——去括号 例3. 将代入，去括号后，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代入求值和去括号，把整体代入后去括号即可解答． 【详解】解：将代入得， 去括号得， 故选A． 【变式3-1】李乐在做数学作业时，不小心将方程中■处的一个常数污染了，通过询问老师，他得知方程的解是，那么■处的常数是（    ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，把代入即可得到答案，熟记方程的解的含义是解本题的关键． 【详解】解：把代入，得： ， 解得； 故选：C． 【变式3-2】若关于的方程的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，根据一元一次方程的解的定义将代入得到关于的一元一次方程，求解即可．熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）移项、合并同类项即得解； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1即得解； 【详解】（1）解： 移项得 合并同类项得 （2）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1，得 考点四：解一元一次方程——去分母 例4．下面是某位同学解方程的解题过程，该解题过程最先出现错误的步骤是（    ） 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项、合并同类项，得(第三步) 系数化为1，得（第四步） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．根据去分母解一元一次方程的步骤即可得到答案． 【详解】解：去分母，等式两边同时乘以， 得， 故最开始出现错误的步骤是第一步． 故选：A． 【变式4-1】解方程，去分母，得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程两边同时乘以6，然后去括号即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 故选：B． 【变式4-2】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 【变式4-3】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去分母，得： 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1得：． 1．已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入方程，得出关于m的方程，解之可得答案． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选B． 2．要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项再运算减法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列解方程的步骤正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据移项法则，等式的性质，去分母和去括号法则进行计算，判断即可．本题考查了一元一次方程的解法，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 【详解】解：A、， ，故本选项错误； B、， ，故本选项错误； C、， ，故本选项错误； D、， ，故本选项正确； 故选：D． 4．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，设被墨水遮盖的数为m，则把代入方程中求出m的值即可． 【详解】解：设被墨水遮盖的数为m， 由题意得，方程的解为， ∴， 解得， 故选：C． 5．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的值，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键，利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：A． 6．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，同解方程就是解相同的方程，先求出第一个方程的解是解题的关键． 求出两个方程的解，根据两个方程的解相同，得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∴， 解得：， 故选：D． 7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 8．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解． 【详解】方程变形得： 即， 去分母得：， 解得:x= 故选B. 【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形. 9．若与互为相反数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数及解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据相反数的定义列得一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ 解得：， 故答案为：． 10．定义新运算“”，规定，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程，根据题中的新定义得到一元一次方，计算即可得到结果． 【详解】解：， 根据题中的新定义得：， 解得： 故答案为： 11．定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．将所求方程两边同乘，整理可得，进而可求出． 【详解】解：将所求方程两边同乘， 对照 比较发现， ，而， 所以． 故答案为：． 13．设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 14．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解． 【详解】解： ， ， 又 为奇异方程， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可． （2）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项可得：， 系数化为1得：． 16．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）原方程根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可； （2）原方程根据去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，得，， 合并，得，， 系数化为1，得：； （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：． 17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ． (1)求所捂的多项式； (2)若x是的解，求所捂多项式的值； (3)若所捂多项式的值为144，请求写出x的取值． 【答案】(1) (2)9 (3)13或 【分析】本题考查的是整式的加减、代数式求值，解题的关键是明确整式的加减的方法，运用转化的数学思想求出所求的代数式，会根据具体的的值求代数式的值，能发现题目中所求式子的值的规律，会根据规律解答问题． （1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可； （2）先求出的解，然后代入（1）中求得的所捂的多项式即可； （3）根据题意列出方程并求出的值． 【详解】（1） ， 即所捂的多项式是； （2）∵x是的解， ∴ ∴， ∴， 即若x是的解，所捂多项式的值是9； （3）若所捂多项式的值为144，则有， ∴， ∴x的值是13或． 18．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）∵是“差解方程”， ， ； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$