精品解析：广东省汕头市潮阳黄图盛中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段考试数学试题

潮阳黄图盛中学2023—2024学年度第二学期阶段考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】联立求出交点坐标，从而得到答案. 【详解】联立，即，解得：或， 即， 故的元素个数为3. 故选：C 2. 下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（ ） 3 4 5 9 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望计算即可. 【详解】由题意，得，所以①． 因为，所以②． 由①②解得：，． 故选：A. 3. 白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解圆柱部分与圆台部分的体积，即可得该组合体的体积. 【详解】由题可知圆柱部分的底面半径，高为， 所以圆柱的体积为， 圆台部分上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以圆台部分的体积为， 则该组合体的体积为. 故选：D. 4. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得； 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 故选：C 5. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在区间内单调递增， 所以有在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以由， 因为，所以，于是有， 故选：D 6. 为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有20种选法 B. 课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A错误； 对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C错误； 对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确. 故选：D. 7. 设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，直线斜率不存在，可得倾斜角为；当，由斜率和倾斜角的关系可知，由此可得的取值范围. 【详解】当时，直线，则其倾斜角为； 当时，直线， 则其斜率，即， 又，； 综上所述：直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ） A. 若等可能取，且，则 B. 若的概率分布为，则 C. 若服从两点分布，且，则成功概率 D. 的方差可以用期望表示为. 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，利用古典概率公式，即可求出结果；法二：根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求出结果；选项B，根据条件，利用期望的计算公式，即可求出结果；选项C，根据条件，利用分布列的性质，即可求出结果；选项D，根据期望及方差的定义，变形化简即可求出结果. 【详解】对于选项A，法1，由古典概率公式得，得到，法2，由已知得：的分布列为， 得到，则，所以选项A错误； 对于选项B，因为，所以，所以选项B错误； 对于选项，根据题意可得，又因为，联立即可解得， 所以选项C正确； 对于选项D，设的分布列为 则，， 所以选项D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 B. 若随机变量，则 C. 在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32 D. 已知随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A:利用相关性的定义进行判断；选项B:利用二项分布的方差计算公式可以计算;选项C:利用二项式定理计算即可；选项D:利用正态分布的性质可以计算. 【详解】选项A:由相关系数可知，时，变量与正相关，时，变量与负相关，越大，相关性越强；故选项A正确； 选项B:时，故选项B正确； 选项C:的展开式中,奇数项的二项式系数和为 当随机变量服从正态分布，且， 即 故选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数的图像关于直线对称，则（ ） A. B. 在区间单调递减 C. 在区间恰有一个极大值点 D. 在区间有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性求得的值，从而可确定函数的解析式，根据余弦型函数的取值、单调性、极值、零点逐项判断即可得答案. 【详解】函数关于直线对称， 所以，解得，因为，所以． 所以． 则，故A正确； 当时，则，所以函数在区间上先增后减，故B不正确； 令，则，又，所以可得是函数的极大值点，即在区间恰有一个极大值点，故C正确； 令，则，又，所以可得是函数的零点，即在区间恰有一个零点，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由，求出等比数列的首项和公比，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，即，解得， 所以. 故答案为： 13. 在多项式的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含项，即可求解. 【详解】由多项式，即为， 要得到项，结合组合的运算，可得项为， 所以项的系数为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解. 【详解】当时，则， 所以，即， 当时，则， 所以，即， 则， 当时，则， 所以，即， 画出的图象如下： 由图象可知，当时，方程在区间内有实数解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人. （1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计 （2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率. 参考公式，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表： 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计 60 40 100 能认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论； （2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解. 【小问1详解】 100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为， 运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人， 列联表为 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计 60 40 100 零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【小问2详解】 因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人， 按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人， 则选中的2人中恰有一人是女生的概率为. 16. 已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立. （1）若，，求； （2）若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值. 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】（1）利用求通项公式，再求证是首项、公差均为2的等差数列，进而求； （2）由题设易得，等比数列前n项和公式求，进而可得，裂项相消法化简已知不等式左侧，得恒成立，进而求最小值. 【小问1详解】 由题设，且，而， 显然也满足上式，故， 由，又， 所以是首项、公差均为2的等差数列. 综上，. 【小问2详解】 由，，则， 所以，而，故，即是公比为3的等比数列. 所以，则， ，而， 所以， 所以对都成立， 所以，故，则正整数的最小值为3. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，. （1）求证：平面ADE； （2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得平面，再结合圆的性质得即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解. 【小问1详解】 点E在上且为直径，， 又平面平面，平面平面，且平面， 平面， 平面，， 又平面，故平面. 【小问2详解】 当四棱锥体积最大时，是的中点， 此时，， 取中点，连接， 则，即平面， 又， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，， 设平面的一个法向量为，则 取，可得， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成夹角为，则， 即平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若已知，且的图象与相切，求b的值； （3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可； （3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 当或时，；当时，， 所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得， 设函数与直线相切的切点是， 因为，所以， 所以有， 可得， 又，相减得， 所以，所以， 解得； 【小问3详解】 时，， 的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根， 设函数，则， 时，或；时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 时取极大值，时取极小值， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据椭圆弦长公式，结合线段中点坐标公式、一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【小问1详解】 根据椭圆定义知周长为， 依题意有， 从而， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设：，，， 由， 因为 所以，， 所以 ， 设线段中点坐标为，则，， 即设线段中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，当时，与轴重合，不合题意； 当时，得，即点， 所以， 所以，即存在满足题设. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳黄图盛中学2023—2024学年度第二学期阶段考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（ ） 3 4 5 9 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有20种选法 B. 课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 7. 设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ） A. 若等可能取，且，则 B. 若的概率分布为，则 C. 若服从两点分布，且，则成功概率 D. 的方差可以用期望表示为. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 B. 若随机变量，则 C. 在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32 D. 已知随机变量服从正态分布，且，则 11. 已知函数的图像关于直线对称，则（ ） A. B. 在区间单调递减 C. 在区间恰有一个极大值点 D. 在区间有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，，则__________. 13. 在多项式的展开式中，含项的系数为__________. 14. 已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人. （1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计 （2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率. 参考公式，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立. （1）若，，求； （2）若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，. （1）求证：平面ADE； （2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值. 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若已知，且的图象与相切，求b的值； （3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $