精品解析：浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 命题：临平中学 朱华峰、林威 审校：临安中学 陈伟军、盛可淳 审核：淳安中学 余建平 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解. 【详解】全集，集合，， 图中阴影部分的集合是. 故选：D. 2. 用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 【详解】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 3. 已知，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算可得，再由共轭复数概念计算可得结果. 【详解】由可得， 所以，则. 故选：C. 4. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以两边平方即可得到关于的一元二次方程，解出即可. 【详解】，，， ，两边平方得：， 化简得到，，则. 故选：B. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 过空间中的任意三点有且只有一个平面 B. 底面是平行四边形的四棱柱各面所在平面将空间分成27部分 C. 空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D. 若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本事实可判断A错误，由四棱柱的空间结构可判断B正确；利用异面直线定义可得C错误；当直线和平面相交时可知D错误. 【详解】对于A，若空间中的三点共线，可以有无数个平面，即A错误； 对于B，如下图所示，四棱柱上下底面所在平面将空间分成了三层， 每一层又被四个侧面分成了9个小部分，所以四棱柱各面所在平面将空间分成27部分,即B正确； 对于C，如选项B中图所示，与异面，与异面，但与在同一平面内，即C错误； 对于D，若直线a在平面外，当直线a在平面相交时，如下图所示： 则平面内不存直线与a平行，即D错误. 故选：B 6. 若平面向量，，均是非零向量，则“”是“向量与共线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分且不必要条件 C. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积运算率和向量共线的条件，对充分性和必要性进行判断. 【详解】若平面向量，，均是非零向量， ①充分性：当时， 若，则，有且，所以向量与共线， 若，则有，有与共线， 充分性成立； ②必要性：当向量与共线时，设向量方向上的单位向量为，， 若向量与方向相同，有，，， 则，， 满足， 若向量与方向相反，有，，， 则，， 满足， 必要性成立； 所以“”是“向量与共线”的充要条件. 故选：A. 7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值. 【详解】由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，. 故选：A 8. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 结合图象可知，令，令， 则可得方程有两个不相等的实数根，不妨设； 所以，解得或； 若函数有6个不同的零点， 根据图象可知当时符合题意，此时无解； 当时，满足函数有6个不同的零点， 根据二次函数根的分布可知此时需满足， 解得，因此实数a的取值可以是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据解析式画出函数图象，结合图象交点个数分类讨论确定零点分布情况，即可求得实数a的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于，有如下说法，其中正确的是（ ） A. 满足条件，，的三角形共有两个 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则不等式恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形可判断A；根据诱导公式化为同名函数即可判断B；利用平方关系化为正弦，再由正弦定理角化边，然后利用余弦定理只能判断角C，可判断C；根据，结合诱导公式可判断D. 【详解】对A，中，，，， 由正弦定理有，则， ，则或，即满足条件的三角形共有两个，A选项正确； 对B，中，，有或， 则是直角三角形或钝角三角形，B选项错误； 对C，中，， 则， 由正弦定理可得，则，即为锐角， 角与角的大小未知，则不一定为锐角三角形，C选项错误； 对D，是锐角三角形，则，，有， 则，即化为恒成立，D选项正确. 故选：AD. 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球的体积是 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项； 【详解】对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：BCD. 11. 关于函数（），如下结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由可得的最小正周期不是；B选项，计算出，B正确；C选项，是的一个正周期，且关于直线对称，分和，求出；D选项，时，，由复合函数单调性可得答案. 【详解】A选项，， 故函数的最小正周期不是，A错误； B选项，， 故函数的图象关于直线对称，B正确； C选项，， 故是的一个正周期， 又的图象关于直线对称， 当时，， 因为，故， 当时，， 因为，故， 故当时，， 结合函数对称性可得，C错误； D选项，时， ， 由于在上单调递减，且， 而在上单调递增， 由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，长方形的边长，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据直观图中线段长度和位置关系，还原出原图形即可求出对应的原图周长. 【详解】由直观图可知，所以可得， 由勾股定理可知，且在原图中， 根据直观图画法步骤还原原图如下： 其中，则， 因此原图形的周长为 故答案为：16 13. 在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____． 【答案】36 【解析】 【分析】由余弦定理得，利用三角形面积关系建立方程关系得，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可. 【详解】由题意，如图所示，在中，由余弦定理得 ， 因为， 所以. 因为为的角平分线， 所以的面积为， 即，故，且， 所以， 当且仅当，即取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 14. 已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【答案】（1）个； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解； （2）利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得. 【小问1详解】 因为，所以， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 所以一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个. 【小问2详解】 易知， 则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为， 底面面积为， 所以一个陀螺的表面积为， 所以， 所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料. 16. 已知复数，是方程的解，复平面内表示的点A在第四象限，O是原点． （1）点A关于虚轴的对称点为点B，求向量对应的复数； （2）将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量，对应的复数为，求的值； 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）解方程得到，，然后根据对称性求对应的复数； （2）根据旋转得到，然后根据复数乘方和除法运算法则计算. 【小问1详解】 对于方程，，所以，方程有两个不等的虚根， 因为复数、是方程的解，复平面内表示的点在第四象限， 所以z1，z2， 所以对应的复数为； 【小问2详解】 ，． 因此，， ，． ． 17. 如图，在△ABC中，已知，，，且． （1）若，求的值 （2）求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件结合向量线性运算法则可得，得到，. （2）法一：由（1）知，平方得,同理得，利用即可得到答案； 法二：以为轴，为原点，建立直角坐标系，写出各点坐标，得出答案. 【小问1详解】 由题意知，，则与的夹角为60°，， 如图，，，， ∴， ，． 【小问2详解】 由（1）同理可得， ， ∴， ， ∴， . 法二： 以为轴，为原点，建立直角坐标系， 则，，， ，． ∴ ． 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，如图． （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）若，，，求的值． 【答案】（1）最小正周期，增区间为，； （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，利用降幂公式和辅助角公式化简解析式，公式法求最小正周期，整体代入法求单调递增区间； （2），得，面积公式求的面积；设，和中利用正弦定理列方程组求出即可. 【小问1详解】 ， ∴最小正周期为， 由，，得，， ∴的单调递增区间为，； 【小问2详解】 （ⅰ），在中，因为，所以． ． （ⅱ）设，则，，． 在中，由，得 在中，由，得． 联立上式，并由，得， 整理得，所以， 因为，所以， 所以，解得，即值为． 19. 若是定义在上的增函数，其中，存在函数，，且函数图像上存在两点，图像上存在两点，其中两点横坐标相等，两点横坐标相等，且，则称在上可以对进行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函数”. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数． （1）求满足的的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数是在上的“型平行追逐函数”，求正数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定的表达式，再解方程得到结果； （2）计算的表达式，然后对分类讨论即可； （3）将命题转化为在上不是单调函数，再通过对换元并分析单调性得到答案. 【小问1详解】 由于是奇函数，故，即恒成立，所以； 由于是偶函数，故，即恒成立，所以. 故，. 现要解方程，而，故命题等价于，即. 这是关于正实数的二次方程，解得，所以. 【小问2详解】 由于， 而单调递增，且对有，故当时，的取值范围是. 从而命题等价于对任意的，有，即. 若，则有，故条件对不成立，不符合要求； 若，则对有，符合要求. 所以的取值范围是. 小问3详解】 我们有，. 根据题目定义，是在上的“型平行追逐函数”，当且仅当存在，满足. 换言之，函数在上不是单调函数. 由于 ， 而在上递增，取值范围为. 故命题等价于在上不是单调函数. 对，我们知道在上递减，在上递增. 所以命题等价于，从而正数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对型函数的单调性的反复运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 命题：临平中学 朱华峰、林威 审校：临安中学 陈伟军、盛可淳 审核：淳安中学 余建平 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 3. 已知，为虚数单位，则（ ） A B. C. D. 4. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 下列说法正确的是（ ） A. 过空间中的任意三点有且只有一个平面 B. 底面是平行四边形的四棱柱各面所在平面将空间分成27部分 C. 空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D. 若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行 6. 若平面向量，，均是非零向量，则“”是“向量与共线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分且不必要条件 C. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A 米 B. 50米 C. 米 D. 米 8. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于，有如下说法，其中正确的是（ ） A. 满足条件，，的三角形共有两个 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则不等式恒成立 10. 已知圆台轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球体积是 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 11. 关于函数（），如下结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递减 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，长方形的边长，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______________． 13. 在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____． 14. 已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 16. 已知复数，是方程的解，复平面内表示的点A在第四象限，O是原点． （1）点A关于虚轴的对称点为点B，求向量对应的复数； （2）将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量，对应的复数为，求的值； 17. 如图，在△ABC中，已知，，，且． （1）若，求的值 （2）求． 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，如图． （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）若，，，求的值． 19. 若是定义在上的增函数，其中，存在函数，，且函数图像上存在两点，图像上存在两点，其中两点横坐标相等，两点横坐标相等，且，则称在上可以对进行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函数”. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数． （1）求满足的的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数是在上的“型平行追逐函数”，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$