精品解析：广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

雷州二中2023—2024学年高一第二学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 2. 已知向量．若，则实数的值为（ ） A. －8 B. －6 C. －1 D. 6 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 4. 如图，在中，，，若，则 A B. C. 3 D. 5. 在中，则解此三角形可得（ ） A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 解得个数不确定 6. 在中，现以所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ） A. 24π B. 21π C. 33π D. 39π 7. 在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 非等边三角形 8. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积为 A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 已知，复数，且为纯虚数，复数共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 复数的虚部为 10. 设的内角的对边分别为若，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最小 B. 当最小时， C. 当时，与的夹角最小 D. 当与的夹角最小时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 13. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n． 14. 我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量，的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为，，则向量，的夹角的余弦值为______.  四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 16. 已知，，与的夹角为 （1）求． （2）求． （3）若向量与相互垂直，求实数k的值． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，点D是边上的一点，且______，求线段的长． ①是的中线；②是的角平分线；③． 18. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，，则正四棱锥的侧面积是多少？ （3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当时，求的值域； （3）已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雷州二中2023—2024学年高一第二学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 2. 已知向量．若，则实数的值为（ ） A. －8 B. －6 C. －1 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求得的坐标，利用共线向量的坐标运算可求的值. 【详解】由题意得，因为，所以． 故选：B． 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，，，轴，且， 所以. 故选：D 4. 如图，在中，，，若，则 A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， ， 据此可知. 本题选择A选项. 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 5. 在中，则解此三角形可得（ ） A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 解得个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 先由正弦定理得到，再判断出角不存在，此三角形无解. 【详解】解：由正弦定理得：， 所以角不存在，所以此三角形无解. 故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的解的个数，是基础题. 6. 在中，现以所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ） A. 24π B. 21π C. 33π D. 39π 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是以为直角的直角三角形，可得以所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，据此计算可求几何体的表面积． 【详解】因为在中，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 故以所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥， 所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为， 侧面积为，所以几何体的表面积为． 故选：A． 7. 在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 非等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再用内角和为，化，再通过三角恒等变形，即可得证. 【详解】由正弦定理知 (R为三角形外接圆的半径)， 故， 所以，即， 因为，所以, 所以，即．故为等腰三角形． 故选：B 8. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由球的半径求出其直径，再根据公式即可求出球的体积． 详解】由题意，得，所以，解得． 【点睛】本题主要考查古代中国数学中有关球的体积公式的理解和应用，属于基础题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 已知，复数，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 复数的虚部为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，根据为纯虚数，求得m值，根据求模公式、共轭复数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题可知， 对于A：因为为纯虚数，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：复数的虚部为，故D错误. 故选：. 10. 设的内角的对边分别为若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦定理求边，再利用等腰三角形求角，即可判断. 【详解】由，得， 由，得．又，，所以． 故选:AD． 11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最小 B. 当最小时， C. 当时，与的夹角最小 D. 当与的夹角最小时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出的坐标，再由向量模的坐标表示得到，结合二次函数的性质求出，即可判断A、B，设向量与的夹角为，表示出，由，可得，求出的值，即可判断C、D. 【详解】由，，， 所以， 所以 当时，取得最小值，故A正确； 当最小时，，所以，所以，故B正确； 设向量与的夹角为，则， 要使向量与的夹角最小，则最大，由于， 所以的最大值为1，此时，则，解得， 此时，所以当时，与的夹角最小，此时，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 【答案】11 【解析】 【详解】设a与b的夹角为θ.因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|·cos θ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 【考查意图】考查两个向量的数量积的定义． 13. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求的长度即可. 【详解】由题设， n且， 正弦定理有，则，可得 n. 故答案为： 14. 我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量，的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为，，则向量，的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】依题意，，， 所以， ， ， 所以，即向量，的夹角的余弦值为. 故答案为：  四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 由题意，复数， 所以， 则， 因为为纯虚数，所以，解得； 小问2详解】 复数， 因为复数在复平面对应的点在第一象限， 所以，解得 16. 已知，，与的夹角为 （1）求． （2）求． （3）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）； （2）-22； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面数列数量积的定义可得，计算即可求解； （2）由（1），根据平面向量的数量积的运算律计算即可求解； （3）根据平面垂直向量可得其数量积为0，计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则； 【小问3详解】 因为， 所以， 即，得，解得， 即实数k的值为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，点D是边上的一点，且______，求线段的长． ①是的中线；②是的角平分线；③． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得； （2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得. 【小问1详解】 由，得， 即， 因为，所以． 【小问2详解】 选①，由，， 则 所以． 选②，因为，， 所以， 即， 解得． 选③，依题意，得， 由，， 则 . 故 18. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，，则正四棱锥的侧面积是多少？ （3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3），最大面积是 【解析】 【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解； （2）连接，取中点，连接，求得，可求，进而可求侧面积； （3）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值. 【小问1详解】 由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库的容积. 【小问2详解】 连接，取的中点，连接， 由正四棱锥，可得，所以， 因为，所以，所以， 进而可求得， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为(. 【小问3详解】 设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当时，求的值域； （3）已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式将函数化为，可得相伴特征向量； （2）根据相伴特征向量可得函数，然后根据正弦函数性质可解； （3）根据相伴特征向量结合已知先求得，然后结合图象取特殊点验证可得. 【小问1详解】 由题意可的，，所以的伴随特征向量. 【小问2详解】 向量的伴随函数为， 所以， ， ，即， 的值域为. 【小问3详解】 由为的伴随特征向量知：， 所以. 设， ， 当时，，满足. 在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$