精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

黄梅县育才高级中学2024年春季期中考试高二 数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 24 C. 32 D. 56 4. 随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（ ） A. B. C. D. 5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知，若，则___________. 13. 为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有______种． 14. 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中各项系数之和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 16. 已知函数（）. （1）求在上的最大值； （2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球． （1）求第一次取出的球为红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 18. 如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面． （1）证明：； （2）点M满足，若二面角的余弦值为，求． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅县育才高级中学2024年春季期中考试高二 数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】求导函数， 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为：， 即. 故选：A. 2. 若函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2 f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案． 【详解】f′（x）＝2 f′（1）+2x， 令x＝1得f′（1）＝2 f′（1）+2， ∴f′（1）＝﹣2， ∴f′（x）＝2x-4， ∴f′（-1）＝-6,又， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键． 3. 展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 24 C. 32 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】 先将式子化成，再分别求两项各自的的系数，再相加，即可得答案. 【详解】∵， ∴展开式中含的项为， 展开式中含的项， 故的系数为. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4. 随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项及分布列的性质即可求解. 【详解】因为a，b，c成等差数列，所以， 由随机变量X分布列的性质知，， 联立，解得， 所以. 故选：D. 5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 6. 端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意，，，所以. 故选：B. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得在上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用当时，，得到在上单调递增，根据函数是定义在上的偶函数，得到函数的图象关于直线对称，之后利用函数单调性和对称性之间的关系进行比较即可得到结果. 【详解】当时，， 所以在上单调递增. 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图象关于直线对称. 所以在上单调递减. 因为，，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决该题的关键. 二、多选题:本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可. 【详解】解： ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解. 【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确； 对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有： 全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误； 对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确； 对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确； 故选：ACD. 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用，判断；依题意，是平面的法向量，由，则，判断；分别求出平面的一个法向量，平面的法向量，再求出，，即可判断. 【详解】解：以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则， 所以， 所以不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面， 所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 即，令，可得， 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 所以，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知，若，则___________. 【答案】1 【解析】 【详解】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和. 展开式的通项为，令，则，即， 故，令，得. 故答案为：1 13. 为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有______种． 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意有和两种情况，共有种情况，再根据员工甲去三个小区的可能性相同，得到答案. 【详解】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人， 则有和两种情况，共有种情况， 员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况. 故答案为：100 14. 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由在上存在零点，可转化为方程在上有解，求出在上的范围即可得. 【详解】由，在存在零点， 即在上有解， 令，，则恒成立， 故在上单调递增，故， 即， 令，，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，当时，， 即有，故，即实数a的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将题意转化为方程在上有解后，构造出函数，及，，从而求出的最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中各项系数之和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由展开式中各项系数之和为32，可得，从而可求出n的值； （2）展开式中的常数项等于的展开式的系数与的系数的差即可得答案 【详解】解：（1）由题意，令得， 解得． （2）因为二项式的通项为 ， 所以展开式中的常数项为 ． 16. 已知函数（）. （1）求在上的最大值； （2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数明确函数的单调性，求出极值和端点值，可得答案； （2）根据函数的单调性，求得其极大值和极小值，结合零点存在性定理，可得答案. 【小问1详解】 ， 可知时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增， 由，，，， 则. 【小问2详解】 由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 所以，， 因为有三个零点，所以，即， 解得，故的取值范围为. 17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球． （1）求第一次取出的球为红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解； （2）结合第一问的求解，设出事件，用全概率公式和条件概率公式进行求解. 【小问1详解】 设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得：. 【小问2详解】 设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得： ， 所以. 18. 如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面． （1）证明：； （2）点M满足，若二面角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过D作，根据面面垂直证明线面垂直，从而可得，再证明平面，由此可证明； （2）建立合适空间直角坐标系，利用向量法表示出二面角的余弦值，由此可求的值. 【小问1详解】 过D作，垂足为N， 因为平面平面PBC，平面平面，平面， 所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为，，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 由（1）可知平面，又， 以B为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面BCM的一个法向量， 由得，令得， 平面BDM的一个法向量可取， 因为二面角的余弦值为， 所，解得， 所以． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，，求实数a的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，分别令，，即可得到递增递减区间； （2）将，转化为，然后分、和三种情况讨论求的最大值，根据列不等式求解即可. 【小问1详解】 易知函数的定义域为． 当时，，∴ 令，得；令，得 ∴函数的单调递增区间为， 的单调递减区间为． 【小问2详解】 ， ①当时，恒成立，在上单调递增， ∴此时 ， ②当，令，得；令，得 ， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴． ∵，，， ∴此时 ③当，恒成立，在上单调递减． ∴此时，令，得. 要使，，只需在的最大值点 综上，实数a的取值范围为 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $