1.1 集合的概念（分层作业，12大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.1集合的概念 题型1 判断元素能否构成集合 1．下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 题型2 判断是否为同一集合 1．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 2．下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型3 判断元素与集合的关系 1．用“”或“”填空： （1）若，则1 A，-1 A； （2）若，则1 B，1.5 B； （3）若，则0.2 C，3 C． 2．用符号“”或“”填空 （1） ，    ，    （2） Q （3） 3．用“”“”“”“”填空： Q， . 题型4 用不同的方法表示集合 1．若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 2．已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 3．集合用列举法表示为 . 4．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    题型5 利用元素的互异性求参数 1．已知集合，若，则 ． 2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝ ． 3．若a，，集合． 求：(1);         (2)． 题型6 根据元素与集合的关系求参数 1．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）当且时，求实数的取值范围. 3．已知, ,求实数的值. 题型7 根据两个集合相等求参数 1．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 3．已知集合，其中，则实数 . 题型8 根据集合中元素的个数求参数 1．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 3．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 题型9 利用集合中元素的性质求集合元素个数 1．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 题型10集合元素互异性的应用 1．“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 3．设，，已知，，求的值． 题型11常用数集或数集关系应用 1．给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 2．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型12集合的分类 1．下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 2．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 3．下列四个命题中正确的是（    ） A． B． C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 1．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 3．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念 题型1 判断元素能否构成集合 1．下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 2．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 3．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 题型2 判断是否为同一集合 1．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 2．下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 3．集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案. 【详解】， 选项A，不符合； 选项B，，符合； 选项C，符合； 选项D，，符合， 故选：BCD. 题型3 判断元素与集合的关系 1．用“”或“”填空： （1）若，则1 A，-1 A； （2）若，则1 B，1.5 B； （3）若，则0.2 C，3 C． 【答案】 【分析】根据集合可得答案. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 故答案为：，，，，，. 2．用符号“”或“”填空 （1） ，    ，    （2） Q （3） 【答案】 【分析】（1）是自然数，不是自然数，是自然数，分别可得元素与集合的关系； （2）是有理数，不是有理数，分别可得元素与集合的关系； （3）可化简为的形式，可得元素与集合的关系． 【详解】（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则； （2）是有理数，则；不是有理数，则； （3） 故答案为：（1），，；（2），；（3）． 3．用“”“”“”“”填空： Q， . 【答案】 【分析】根据不是有理数，且是的子集，选择合适的符号即可. 【详解】Q是有理数集，不是有理数，所以， 易知是的子集，所以. 故答案为:(1);(2). 【点睛】本题考查元素与集合以及集合与集合的关系,属于基础题. 题型4 用不同的方法表示集合 1．若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解. 【详解】由题意， . 故选：C 2．已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 3．集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 4．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 题型5 利用元素的互异性求参数 1．已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝ ． 【答案】3 【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍. 【详解】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2， 解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证， 当m＝0或m＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m＝3时，满足题意， 故m＝3. 答案：3 3．若a，，集合． 求：(1);         (2)． 【答案】(1) 0;  (2) 2; 【解析】(1)根据可得出, (2)由(1)得，即,根据元素的互异性可得, ,代入计算即可. 【详解】(1)根据元素的互异性，得或，若，则无意义，故; (2) 由(1)得，即，据元素的互异性可得：，， ∴. 【点睛】本题考查集合中元素的互异性，属于基础题. 题型6 根据元素与集合的关系求参数 1．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可. 【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立； 若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况； 若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立； 若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况， 综上符合条件的所有有序数组的个数是6个， 故选：B 2．已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）当且时，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）利用穿根法，即可得到的解集； （2）由，得，又由，得，解不等式组即可得到本题答案. 【详解】（1）当时，， 所以或； （2）因为，所以，得或， 又因为，所以不成立， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围. 【点睛】本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围. 3．已知, ,求实数的值. 【答案】 【分析】由,有或，显然，解方程求出实数的值，但要注意集合元素的互异性. 【详解】因为，所以有或，显然， 当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去； 当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故. 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想. 题型7 根据两个集合相等求参数 1．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 2．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【答案】1 【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解. 【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为， 所以，，即， 则，即或， 当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾， 故，， . 故答案为：1． 3．已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 题型8 根据集合中元素的个数求参数 1．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 2．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】. 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 3．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可知在数轴上集合A的端点关于点1对称，则A中的三个整数为，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 题型9 利用集合中元素的性质求集合元素个数 1．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 2．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解. 【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 题型10集合元素互异性的应用 1．“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的互异性分析求解. 【详解】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e， 其构成的集合为，有7个元素. 故选：C. 2．已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】根据元素互异性得到答案. 【详解】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 故选：D 3．设，，已知，，求的值． 【答案】且且且 【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值. 【详解】由知，，即， 解得且 又集合元素具有互异性，知，即 解得且 综上所述，a的取值为且且且 题型11常用数集或数集关系应用 1．给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 【答案】AD 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答. 【详解】对于A，由，得或或，而， 因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确； 对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合， 所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确. 故选：AD 2．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据常见数集及元素与集合关系即可作出判断. 【详解】根据常见数集的表示可知，，，，. 故选：AD 题型12集合的分类 1．下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 【答案】ABD 【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断. 【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误； 对于B：当时，，则，故B错误； 对于C：只有一个元素，故C正确； 对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误. 故选：ABD. 2．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D. 【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确， 故选：BCD 3．下列四个命题中正确的是（    ） A． B． C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】CD 【分析】根据集合的概念以及表示，判定命题的真假. 【详解】根据的定义知，A、B均不正确； 只有一个元素，C正确； 中只有两个元素，D正确. 故选：CD. 1．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类： 第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集； 在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射 设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为 故选：B 2．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 3．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个. 【解析】（1）当集合中只有一个元素，则，得出集合即可；有两个元素时，只需两个元素之和为即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为，另外一个元素为； （2）只需选对和为的正整数即可； （3）集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，先计算出当集合的元素个数为偶数时的个数，同理可得中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的的总个数. 【详解】解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则； 若集合中有两个元素，则符合条件； 若集合中有三个元素，则符合条件. （2）存在，一共有四个： 或或或. （3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个， 当集合中元素的个数为偶数时： 含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个； 含有个元素时，则共有个， 所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个， 同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个； 由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个， 综上所述，符合条件的共有个. 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$