第06讲 有理数的除法-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第06讲 有理数的除法 【苏科版】 ·模块一 有理数的除法法则 ·模块二 有理数的加减乘除混合运算 ·模块三 课后作业 模块一 有理数的除法法则 有理数的除法法则: （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不等于0 的数，都得0. 【考点1 有理数的除法法则】 【例1.1】（2023·山西临汾·一模）计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．12 【例1.2】（2023七年级·河南开封·期中）两个有理数的商为负数，则这两个有理数（    ） A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数 【例1.3】（2023七年级·陕西安康·期中）两个非零有理数的商是，则他们的和为 ． 【变式1.1】（2023七年级·江苏南京·期中）把算式写成的依据是 ． 【变式1.2】（2023七年级·湖北鄂州·期末）如果，那么“□”内应填的数是 ． 【变式1.3】（2023七年级·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2 有理数除法的应用】 【例2.1】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）把一根米的钢材锯成相等的若干段，一共锯了次，每段长 米． 【例2.2】（2023七年级·全国·课后作业）化简：（1） ； （2） ； （3） ． 【例2.3】（2023七年级·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 【变式2.1】（2023七年级·广东广州·开学考试）一根绳长0.75米，平均分成6段，则每段长 米． 【变式2.2】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）商店一周共亏损840元，平均每天的利润是 元.（记盈利额为正数，亏损额为负数．） 【变式2.3】（2023七年级·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）．    A． B． C． D． 【考点3 有理数乘除混合运算及其应用】 【例3.1】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【例3.2】（2023七年级·黑龙江大庆·期末）15米的与（    ）米的一样长． A．6 B．30 C．15 D．25 【例3.3】（2023七年级·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【变式3.1】（2023七年级·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【变式3.2】（2023七年级·江西南昌·开学考试）在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗 面，黄旗 面． 【变式3.3】（2023七年级·广东揭阳·开学考试）一种牛奶每100克约含3克蛋白质，按这样计算，小明每天喝400克牛奶，所含蛋白质是 克． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·江苏南京·期中）我国神舟飞船的降落伞面积约为平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【题型2】（2023七年级·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【题型3】（2023七年级·安徽安庆·阶段练习）已知长为300米的秋游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在队尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾．若甲的往返速度均为4米/秒，则甲往返共用的时间为 秒． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·黑龙江大庆·开学考试）用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼）（   ）个． A．11个 B．8个 C．10个 D．13个 【题型2】（2023七年级·广东广州·开学考试）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 【题型3】（2023七年级·全国·专题练习）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 模块二 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序： ①先乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 【考点1 有理数的加减乘除混合运算】 【例1.1】（2023七年级·全国·假期作业）计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 【例1.2】（2023七年级·浙江杭州·期末）计算下列各式，值最小的是（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023七年级·广西桂林·阶段练习）若，请推算□内的符号应是 ； 【变式1.1】（2023七年级·全国·假期作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定，则 ． 【变式1.3】（2023七年级·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【考点2 利用计算器进行有理数的加减乘除混合运算】 【例2.1】（2023七年级·全国·课后作业）使用计算器计算时，下列按键顺序正确的是(　　) A．5×(－8)： B．(－8)×5： C．3＋4.9÷7： D．26×(－0.3)： 【例2.2】（2023七年级·全国·课后作业）在计算器上依次按键 后，显示的结果为 ． 【例2.3】（2023七年级·全国·课后作业）某同学在用计算器计算若干个有理数加减运算时，得到的运算结果为365.5，但发现把错误输入为，那么正确的结果应为 ． 【变式2.1】（2023·山东潍坊·七年级期末）在计算器上，按照下面如图的程序进行操作：如表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键分别是 、 ． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 y ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 【变式2.2】（2023七年级·全国·课后作业）用计算器计算（结果保留两位小数）： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2.3】（2023七年级·全国·课后作业）用计算器计算： (1) =____； (2) =____； (3)=____． 因此可以猜想出哪些类似的等式？请写出来．(答案不唯一，写出一个即可) 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·陕西延安·阶段练习）下列式子计算结果和相等的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）计算，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【题型3】（2023七年级·江苏南通·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·山东淄博·期末）使式子：的运算结果为正整数，“□”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【题型3】（2023七年级·山东济宁·期中）定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时，则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46，那么数28经过2024次“H运算”得到的结果是 ． 模块三 课后作业 1．（2023·湖南常德·三模）下列各式的值最大的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·上海杨浦·三模）下列分数中，能化为有限小数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023七年级·海南海口·开学考试）有8支足球队进行足球比赛．如果用淘汰赛（每赛一场，淘汰一个队）来决出冠军，一共要赛 （    ）场． A．4 B．7 C．8 D．16 4．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）小明家原来平均每天用电5千瓦时，改用节能灯以后，平均每天用电3.5千瓦时，那么原来7天的用电量现在可以用（   ）天 A．8 B．10 C．15 D．20 5．（2023七年级·贵州铜仁·阶段练习）如果一对有理数a，b使等式：成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”记，根据上述定义，下列四对有理数中，不是“共生有理数对”的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023七年级·广东江门·期中）计算的结果是 ． 7．（2023七年级·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 8．（2023七年级·江苏南通·阶段练习）计算： ． 9．（2023七年级·全国·假期作业）计算： ． 10．（2023七年级全国·假期作业）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ． 11．（2023七年级·江苏·专题练习）计算：． 12．（2023七年级·甘肃庆阳·期末）计算：． 13．（2023七年级·青海海东·阶段练习）下面是小胡同学做过的一道题目，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式① ．② (1)上述解题过程中，从第______步开始出错（填序号），错因是______； (2)写出本题的正确解答过程． 14．（2023七年级·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) 15．（2023七年级·上海静安·期末）计算：． 16．（2023七年级·上海·期末）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的除法 【苏科版】 ·模块一 有理数的除法法则 ·模块二 有理数的加减乘除混合运算 ·模块三 课后作业 模块一 有理数的除法法则 有理数的除法法则: （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不等于0 的数，都得0. 【考点1 有理数的除法法则】 【例1.1】（2023·山西临汾·一模）计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数的除法，先确定符号，再计算除法即可． 【详解】． 故选：C． 【例1.2】（2023七年级·河南开封·期中）两个有理数的商为负数，则这两个有理数（    ） A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数 【答案】B 【分析】两数相除，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解． 【详解】解：两个有理数的商是负数，这两个数一定异号． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算符号法则，比较简单，熟记“同号得正，异号得负”是解题的关键． 【例1.3】（2023七年级·陕西安康·期中）两个非零有理数的商是，则他们的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，除法运算，由得出互为相反数是解本题的关键． 【详解】解：设这两个有理数分别为a，b， ∵两个非零有理数的商是， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式1.1】（2023七年级·江苏南京·期中）把算式写成的依据是 ． 【答案】除以一个数等于乘以这个数的倒数 【分析】根据有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，进行作答即可． 【详解】解：把算式写成的依据是除以一个数等于乘以这个数的倒数， 故答案为：除以一个数等于乘以这个数的倒数． 【变式1.2】（2023七年级·湖北鄂州·期末）如果，那么“□”内应填的数是 ． 【答案】 【详解】解：“□”内应填的数是， 故答案为：． 【变式1.3】（2023七年级·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 【考点2 有理数除法的应用】 【例2.1】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）把一根米的钢材锯成相等的若干段，一共锯了次，每段长 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法的应用，解题的关键是理解题意．根据锯了次，可得到段，即可求出每段的长度． 【详解】解：锯了次，共有段， 每段长：（米）， 故答案为：． 【例2.2】（2023七年级·全国·课后作业）化简：（1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 24 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）， 故答案为：，24，． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 【例2.3】（2023七年级·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 【答案】万平方米 【分析】用北园面积除以对应的百分比即可得到公园总占地面积． 【详解】解：由题意可得，， 答：公园总占地面积是万平方米． 【点睛】此题考查了有理数除法的应用，准确计算是解题的关键． 【变式2.1】（2023七年级·广东广州·开学考试）一根绳长0.75米，平均分成6段，则每段长 米． 【答案】0.125/ 【分析】本题考查了有理数除法的应用，用绳子的总长除以段数即可． 【详解】解：（米）， 故答案为：0.125． 【变式2.2】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）商店一周共亏损840元，平均每天的利润是 元.（记盈利额为正数，亏损额为负数．） 【答案】 【分析】本题考查了正数与负数、有理数除法运算的实际应用，理解题意，列出算式是解题的关键．把盈利额记为正数，亏损额记为负数，根据题意列式计算求解即可． 【详解】解：商店一周共亏损840元，平均每天的利润是： （元）． 故答案为：． 【变式2.3】（2023七年级·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的除法的应用，由题意可得第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积， ∴水的体积占瓶子容积的， 答：瓶中水的体积占瓶子容积的． 故选：B． 【考点3 有理数乘除混合运算及其应用】 【例3.1】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）除法转化为乘法，再约分即可； （2）利用乘法分配律展开，再计算即可； （3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可； （4）先计算括号内减法，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例3.2】（2023七年级·黑龙江大庆·期末）15米的与（    ）米的一样长． A．6 B．30 C．15 D．25 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式求解即可． 【详解】解：根据题意列式为：（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的运算解决实际问题，读懂题意，准确列式是解决问题的关键． 【例3.3】（2023七年级·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 【变式3.1】（2023七年级·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可； 本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1） （2） 【变式3.2】（2023七年级·江西南昌·开学考试）在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗 面，黄旗 面． 【答案】 50 150 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的实际应用，先求出红旗的间隔数，进而求出红旗的数量，再根据相邻红旗之间可以插3面黄旗即可求出黄旗的数量． 【详解】解：∵在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗， ∴一共可以插面红旗， ∵在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗， ∴相邻两面红旗之间可以插3面黄旗， ∴一共可以插面黄旗， 故答案为：50；150． 【变式3.3】（2023七年级·广东揭阳·开学考试）一种牛奶每100克约含3克蛋白质，按这样计算，小明每天喝400克牛奶，所含蛋白质是 克． 【答案】12 【分析】由，即可求解． 【详解】解：∵每100克牛奶约含3克蛋白质 且 ∴400克牛奶约含克蛋白质 故答案为：12 【点睛】本题考查了有理数的计算．注意计算的准确性． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·江苏南京·期中）我国神舟飞船的降落伞面积约为平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的除法，先估算苏科版数学教材封面面积约为480平方厘米，再换算单位，最后用除法计算即可，解题的关键是估算苏科版数学教材封面面积． 【详解】解：苏科版数学教材封面面积约为平方厘米，我国神舟飞船的降落伞面积约为平方米平方厘米， ∴， 故选：C． 【题型2】（2023七年级·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【答案】 【分析】利用题中的新定义列式，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型3】（2023七年级·安徽安庆·阶段练习）已知长为300米的秋游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在队尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾．若甲的往返速度均为4米/秒，则甲往返共用的时间为 秒． 【答案】200 【分析】本题考查有理数除法的实际应用．分成两次从队尾到队头是追击问题，用路程除以速度差求出时间，从队头到队尾为相遇问题，用路程除以速度和求出时间，即可． 【详解】解：由题意，得：甲从队尾到队头所用时间为：秒； 再从队头到队尾所需时间为：秒； ∴共有时间为：秒； 故答案为：200． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·黑龙江大庆·开学考试）用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼）（   ）个． A．11个 B．8个 C．10个 D．13个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数乘除法的实际应用，长12米、宽6米的长方形里剪出半径为1.5米的圆，就相当于要剪边长是3米的正方形．分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正方形，就可以求出至多能做多少个圆了． 【详解】解： ， （个） 故用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆8个， 故选：B． 【题型2】（2023七年级·广东广州·开学考试）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 【答案】60 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及正方形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：正方形的面积边长边长． 首先根据正方形的面积边长边长，求出边长3分米的方砖的面积，然后用它乘240，求出这间房间的底面积，最后用这间房间的底面积除以边长6分米的方砖的面积，求出需要边长6分米的方砖多少块即可． 【详解】解： （块）． 答：若选用边长6分米的方砖，需60块． 故答案为：60． 【题型3】（2023七年级·全国·专题练习）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【分析】首先根据题意可得两人相遇时，乙比甲多走了360 米，然后根据路程÷速度=时间，用两人相遇时走的路程之差除以速度之差，求出两人相遇用的时间是多少，最后用它乘以两人的速度之和，求出两地之间的距离的2倍是多少，再用它除以2，求出A、B两地相距多少米即可． 【详解】解： ， ， （米）， 答：A、B两地相距900米， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系： 速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人相遇用的时间是多少． 模块二 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序： ①先乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 【考点1 有理数的加减乘除混合运算】 【例1.1】（2023七年级·全国·假期作业）计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【详解】解： ． 故选：A． 【例1.2】（2023七年级·浙江杭州·期末）计算下列各式，值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别计算出每个代数式的值，再比较大小，从而得到答案. 【详解】A. ， B. ， C. ， D. ， 因为： 所以最小的数是： 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键. 【例1.3】（2023七年级·广西桂林·阶段练习）若，请推算□内的符号应是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，计算，进而根据，即可得答案． 【详解】解：∵， ∵ ∴， 故□内的符号应是； 故选： 【变式1.1】（2023七年级·全国·假期作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键． 根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1.2】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式1.3】（2023七年级·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解题的关键，正确掌握混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行，有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （）根据加法运算律计算即可； （）根据加法运算律计算即可； （）根据乘法运算律逆运算计算即可； （）根据乘除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ， ； （4）解： ， ． 【考点2 利用计算器进行有理数的加减乘除混合运算】 【例2.1】（2023七年级·全国·课后作业）使用计算器计算时，下列按键顺序正确的是(　　) A．5×(－8)： B．(－8)×5： C．3＋4.9÷7： D．26×(－0.3)： 【答案】A 【分析】根据计算器书写顺序直接输入得出即可,进而判断得出即可. 【详解】根据计算器计算数据时,直接按照书写顺序得出即可,故A选项正确； 故选A． 【点睛】本题主要考查正确使用科学计算器进行有理数的加减乘除计算,解决本题的关键是要熟练掌握正确使用计算器. 【例2.2】（2023七年级·全国·课后作业）在计算器上依次按键 后，显示的结果为 ． 【答案】 【分析】根首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学记算器进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题要考查了计算器的基础知识，熟悉计算器的各个按键的功能是解题的关键． 【例2.3】（2023七年级·全国·课后作业）某同学在用计算器计算若干个有理数加减运算时，得到的运算结果为365.5，但发现把错误输入为，那么正确的结果应为 ． 【答案】 【分析】根据把错误输入为，可知得出结果比原来结果多24，减去24即可． 【详解】解：由于把错误输入为，所以得到的结果比原结果多24， 所以正确的结果是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题关键是准确理解题意，列出正确算式，准确进行计算． 【变式2.1】（2023·山东潍坊·七年级期末）在计算器上，按照下面如图的程序进行操作：如表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键分别是 、 ． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 y ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 【答案】 ＋， １ 【分析】根据表格中数据求出x、y之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：根据表格中数据分析可得： x、y之间的关系为：y=2x+1， 则按的第三个键和第四个键应是“+”“1”． 故答案为+，1． 【点睛】此题考查了有理数的运算，要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算． 【变式2.2】（2023七年级·全国·课后作业）用计算器计算（结果保留两位小数）： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 1.68 22.11 29.36 【分析】（1）根据有理数的除法法则即可； （2）根据有理数的混合运算法法则即可； （3）根据有理数的乘除法法则即可； （4）根据有理数的混合运算法则即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；1.68；22.11；29.36． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 【变式2.3】（2023七年级·全国·课后作业）用计算器计算： (1) =____； (2) =____； (3)=____． 因此可以猜想出哪些类似的等式？请写出来．(答案不唯一，写出一个即可) 【答案】(1) 121；(2) 12321；(3) 1234321；＝123454321等． 【分析】（1）根据式子进行计算即可； （2）根据式子进行计算即可； （3）根据式子进行计算即可，根据规律写出其它式子即可． 【详解】解：(1) ， 故答案为：121； (2) ， 故答案为： 12321； (3)， 故答案为： 1234321； 猜想：＝123454321． 【点睛】本题考查了有理数的运算，以及运算结果规律的猜想，掌握有理数的运算是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·陕西延安·阶段练习）下列式子计算结果和相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各个式子进行计算，再对计算结果进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴选项式子计算结果和相等的是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型2】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）计算，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，分别把代入算式计算即可判断求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项不合题意； 、，故该选项符合题意； 、，故该选项不合题意； 、，故该选项不合题意； ∴“”表示的运算符号是， 故选：． 【题型3】（2023七年级·江苏南通·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，第3步的运算结果为，当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，；当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，，然后求和即可． 【详解】解：由题意知，第3步的运算结果为， 当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，， 当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，， ∴所有符合条件的数的和是， 故选：D． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟知有理数的四则混合运算法则和运算律并据此逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 【题型2】（2023七年级·山东淄博·期末）使式子：的运算结果为正整数，“□”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． 先计算，然后再根据即可解答． 【详解】解：， A. 由，故该选项不符合题意； B. 由，故该选项符合题意； C.由，则该选项不符合题意； D.由，则该选项不符合题意． 故选：B． 【题型3】（2023七年级·山东济宁·期中）定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时，则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46，那么数28经过2024次“H运算”得到的结果是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了有理数的乘法，从28开始，分别按照偶数和奇数的计算法则依次计算，直到出现循环是解题的关键． 【详解】解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：，等于第5次． 所以从第5次开始，奇数次等于1，偶数次等于16． 因为2024是偶数，所以数28经过2024次“H运算”得到的结果是16． 故答案为：16． 模块三 课后作业 1．（2023·湖南常德·三模）下列各式的值最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法、有理数的减法、有理数的乘法、有理数的除法，根据有理数的加法、有理数的减法、有理数的乘法、有理数的除法的运算法则进行计算，再比较大小即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，，，， ， 下列各式的值最大的是， 故选：B． 2．（2023·上海杨浦·三模）下列分数中，能化为有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数和小数的互化，解题的关键是运用有理数的除法法则分别计算即可判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（2023七年级·海南海口·开学考试）有8支足球队进行足球比赛．如果用淘汰赛（每赛一场，淘汰一个队）来决出冠军，一共要赛 （    ）场． A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据淘汰制分别求出要赛的场次，相加即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，用淘汰赛（每赛一场，淘汰一个队）来决出冠军， 则8进4要赛场， 4进2要赛场， 2进1决赛场要赛场， 所以，一共要赛场， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数除法的应用，正确理解题意是解题关键． 4．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）小明家原来平均每天用电5千瓦时，改用节能灯以后，平均每天用电3.5千瓦时，那么原来7天的用电量现在可以用（   ）天 A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，根据原来7天所用的电量除以改用节能灯后每天所用的电量，列式计算即可． 【详解】解：根据题意得： （天） 故选：B． 5．（2023七年级·贵州铜仁·阶段练习）如果一对有理数a，b使等式：成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”记，根据上述定义，下列四对有理数中，不是“共生有理数对”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中的“共生有理数对”的定义，逐项进行判断即可得到答案．本题主要考查了有理数的混合运算，理解“共生有理数对”的定义，准确进行计算，是解题的关键． 【详解】解：A．，， ， 故是“共生有理数对”，不符合题意； B．，， ，故不是“共生有理数对”，符合题意； C．，， ，故是“共生有理数对”，不符合题意； D．，， ，故是“共生有理数对”，不符合题意； 故选：B． 6．（2023七年级·广东江门·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算．熟练掌握任意数乘以0，得0，是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（2023七年级·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 8．（2023七年级·江苏南通·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】先把带分数化为假分数，然后在化乘为除，进行计算即可. 【详解】解： = = = 【点睛】本题考查了有理数除法，将带分数画出假分数和化乘为除是解答本题的关键. 9．（2023七年级·全国·假期作业）计算： ． 【答案】135 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加． 【详解】解： ． 10．（2023七年级全国·假期作业）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ． 【答案】10或64 【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【详解】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重． 11．（2023七年级·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 12．（2023七年级·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解本题的关键． 先将带分数化成假分数，再把除法化为乘法，利用乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 13．（2023七年级·青海海东·阶段练习）下面是小胡同学做过的一道题目，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式① ．② (1)上述解题过程中，从第______步开始出错（填序号），错因是______； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)①，没有按从左到右的顺序计算 (2) 【分析】（1）检查解题过程发现第①步有误， （2）写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：（1）第①步出错，运算的顺序有误，没有按从左到右的顺序计算； 故答案是：①，没有按从左到右的顺序计算； （2）正解解法为：原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序． 14．（2023七年级·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据运算顺序和法则进行计算即可． （1）先算乘法和除法，再算加法； （2）根据乘法分配律进行简算； （3）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法． 【详解】（1） （2） （3） 15．（2023七年级·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数混合运算，先将括号里边的按照异分母分数相加减计算，再根据有理数除法法则计算即可，熟练掌握异分母分数相加减法则和有理数除法法则是解题的关键． 【详解】 16．（2023七年级·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分数的混合运算，掌握分数混合运算的运算顺序和计算法则，理解乘法分配律是解题关键． 先将小数，百分数统一成分数，然后算小括号里面的，再算乘除，最后在利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$