精品解析：上海市奉贤区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

2023学年上海第一学期高二数学 学科期末试卷2024.1 （完卷时间120分钟，满分150分） 一、填空（1-6题各4分，7-12题各5分，共54分） 1. 椭圆的短轴长为______. 2. 抛物线的准线方程为______. 3. 双曲线的渐近线方程为_________. 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 5. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 6. 如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________ . 7. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 8. “共享单车，绿色出行”是近年来火爆广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是__________.①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32. 9 已知事件A与事件B相互独立，如果，，则______. 10. 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________． 11. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为______. 12. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左､右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是__________. 二、选择题（13-14题各4分，15-16题各5分，共18分） 13. 直线的法向量可以为（ ） A. B. C D. 14. 直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ） A. B. C. D. 16. 已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 三、简答题 17. 如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点. （1）求该圆锥的体积； （2）求直线CD与平面PAB所成角的大小. 18. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中m值； （2）估计该组测试成绩的平均值； （3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，抽取5人. ①根据此次分层随机抽样，成绩位于区间和的居民各抽取多少？ ②若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求. 19. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 20. 已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点. （1）若点M坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围； （3）若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值. 21. 我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示． （1）求“异型”曲线的方程； （2）若直线与“异型”曲线有两个公共点，求的取值范围； （3）若，为“异型”曲线上的点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年上海第一学期高二数学 学科期末试卷2024.1 （完卷时间120分钟，满分150分） 一、填空（1-6题各4分，7-12题各5分，共54分） 1. 椭圆的短轴长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以椭圆的短轴长为. 故答案为：. 2. 抛物线的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 3. 双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设球的半径为r，则表面积， 解得， 所以体积， 故答案为： 【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题. 5. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值. 【详解】因为，且与垂直， 所以，解得， 故答案为：4 6. 如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________ . 【答案】 【解析】 【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM与此平面垂直. 【详解】如图,取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,FB1,EA1, 易得,∴BM⊥B1F, 又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1, ∵BM⊂平面BCC1B1,∴EF⊥BM, 又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE, 又∵OP⊂平面A1B1FE, ∴BM⊥OP, ∴BM与OP所成的角为90°, 故答案为：90°. 7. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 【答案】4π 【解析】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2×2＝4． 故答案4． 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求解，圆柱侧面积的求解关键是确定半径和母线长，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 8. “共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是__________.①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32. 【答案】③ 【解析】 【分析】通过茎叶图可直接得到最大值，最小值和出现次数较多的数据，即得极差和众数，对于百分位数，则必须把数据按从小到大排列，再判断第50百分位数是哪个数据还是哪两个数据的均值，此题中因是整数，故应是第五个和第六个数据的平均数，而平均数只需运用公式计算即得. 【详解】由数据的茎叶图可知，最大为53，最小为17，,则极差为53-17=36，故①正确； 其中仅有数据34出现了两次，其余数据都只有1次，故众数为34，②正确； 把数据按从小到大的顺序排列，第五个和第六个数据分别为27和32，该组数据共有10个，由是整数， 故第50百分位数应该是第五个和第六个数据的平均数，即，而不是27，故③错误； 运用平均数公式可得平均数为，故④正确. 故答案为：③. 9. 已知事件A与事件B相互独立，如果，，则______. 【答案】0.56## 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案. 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则. 故答案为：． 10. 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程. 【详解】依题意，所以渐近线为，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为. 所求圆的方程为. 故答案为： 11. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用抛物线焦点弦公式求得，从而得的坐标，由题意得的坐标，再计算直线的斜率，根据渐近线与其垂直，得到，用离心率公式求出即可． 【详解】∵抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5， ∴，p=8，抛物线方程为y2=16x，m=±4. 取,双曲线的左顶点为,直线AM的斜率为， ∵该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直， ∴，且，解得：，则：. 故答案为： 12. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左､右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据中位线性质及椭圆定义，结合点位置，即可求得的取值范围． 【详解】根据题意，画出椭圆及各部分图形如下图所示： 因为是的平分线上一点，且， 所以，即为的中点， 又因为为的中点， 由中位线性质可得 ， 在椭圆方程为， 则 ， 所以 因为 所以 当为短轴的顶点时， 又因为与椭圆的四个顶点不重合 综上所述，. 故答案为： 二、选择题（13-14题各4分，15-16题各5分，共18分） 13. 直线的法向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可. 【详解】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 14. 直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角. 【详解】两直线的斜率，因为直线倾斜角范围为 则， 故两直线夹角， 故选：． 15. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 16. 已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度. 【详解】如图所示： 连接，因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面， 所以平面，所以， 同理可知：， 又因为平面，平面，， 所以平面， 根据题意可知：，所以为正三角形，所以， 所以，设到平面的距离为， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以， 所以，再如下图所示： 在正三角形中，高， 所以内切圆的半径，且， 取的两个三等分点，连接，所以， 所以是以长度为边长正三角形，所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，圆的周长为， 在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为， 故选：B. 【点睛】思路点睛：空间中轨迹问题的解答思路： （1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系； （2）通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状； （3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量. 三、简答题 17. 如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点. （1）求该圆锥的体积； （2）求直线CD与平面PAB所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积. （2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小. 【小问1详解】 依题意可知圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积为. 【小问2详解】 连接，由于是的中点，所以， 由于是弧的中点，所以， 根据圆锥的几何性质可知， 所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角. 在中，，所以. 即直线CD与平面PAB所成角的大小为. 18. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中m的值； （2）估计该组测试成绩的平均值； （3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，抽取5人. ①根据此次分层随机抽样，成绩位于区间和的居民各抽取多少？ ②若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求. 【答案】（1） （2）76.2 （3）①3人，2人；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图性质，长方形面积之和为１，构造方程，求出即可． （2）运用平均值公式求出即可． （3）①概率比值即为人数分层比；②运用古典概型概率公式求解即可． 【小问1详解】 已知，则. 【小问2详解】 测试成绩的平均数. 【小问3详解】 ①根据题意，知道两层和人数的概率之比为，则测试分数位于这两个区间的人数之比为，则间抽取3人，间抽取2人； ②根据题意，. 19. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】（1） （2） （3）4.0米 【解析】 【分析】（1）设该抛物线方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【小问1详解】 如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； 【小问2详解】 ，焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； 【小问3详解】 设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 20. 已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围； （3）若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据点在椭圆上，求出的值，再求的面积. （2）根据点在椭圆上，先明确的关系，再由余弦定理，表示出，由求的范围. （3）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，并用它们表示出，进行化简整理即可. 【小问1详解】 因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 因为，，所以，，， 所以. 【小问2详解】 如图： 因为点M在椭圆上，所以， 由余弦定理得 因为是钝角，所以， 又因为，所以，解得， 的范围为. 【小问3详解】 如图： 设，， 由得， ，，， 又，，所以 ， 即有为定值. 21. 我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示． （1）求“异型”曲线的方程； （2）若直线与“异型”曲线有两个公共点，求的取值范围； （3）若，为“异型”曲线上点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质，及其焦距，可列出式子，求出，从而可求出和的方程，进而可求出曲线的方程； （2）分、和三种情况，分别讨论直线与、的交点情况，可求出时，满足题意的的取值范围，再结合“异型”曲线的图象关于轴对称，可求出时，满足题意的的取值范围； （3）设，分和两种情况，分别求出的表达式，进而求出两种情况的最小值，比较二者大小，可得出答案. 【详解】（1）由题意，可知满足，解得， ∴，， ∴“异型”曲线的方程为. （2）直线与“异型”曲线有公共点. 联立，解得或，即、有公共点、. ①当时，直线，与无公共点，与有唯一公共点，不符合题意； ②当时，可知，易知直线与有两个公共点， 又∵的渐近线为，且中， ∴与无公共点. ∴当时，直线与“异型”曲线有两个公共点，符合题意； ③当时，可知，则直线与只有一个公共点. 联立，得，易知， 若，解得， ∵，∴，此时与相切于第一象限，只有一个公共点； 若，解得， ∵，∴，易知与在第一象限有两个交点. ∴时，直线与“异型”曲线有两个公共点. 根据“异型”曲线的图象关于轴对称，可知当时，也满足直线与“异型”曲线有两个公共点. 综上所述，的取值范围是：. （3）设， 当时，， ∵，，∴当时，； 当时，， 当时，. ∵，∴. 【点睛】关键点点睛：本题考查等轴双曲线，考查直线与圆、双曲线的交点问题，考查定点与动点间距离问题，解题的关键是掌握直线、圆及双曲线的性质，运用两点间的距离公式，考查学生的计算求解能力与逻辑推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$