精品解析：上海市实验学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

上实验2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷 2026.1 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2. 直线的倾斜角大小为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，故， 故答案为： 3. 已知圆，则半径是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，再根据标准方程确定圆的半径. 【详解】由圆，得到， 所以圆的半径为. 故答案为： 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 5. 若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的两渐近线方程，分析可知该双曲线的两渐近线垂直，即可求出的值. 【详解】由题意可知，则该双曲线的两渐近线方程分别为，， 因为该双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则这两渐近线互相垂直， 所以，解得. 6. 已知球的直径，则球体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为球的直径，所以球的半径， 所以球的体积为. 7. 已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 又因为，因此长度的最小值为4. 8. 已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则的最小值是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用正弦定理及抛物线性质求出的表达式，再结合图形确定取最小值条件，并求出最小值. 【详解】依题意，点，，设点P在准线上的射影为点Q，则， 设直线PA与正方向的夹角为，在中，由正弦定理得， 当且仅当最小时，的值最小，因此当直线PA与抛物线C相切时，最大，最小， 当直线AP与抛物线C相切时，设直线PA的方程为， 由消去得，则， 解得，当时，，所以的最小值为. 故答案为： 9. 现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______． 【答案】 【解析】 【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，分别为椭圆的左、右焦点，连接，延长交于点，如图， 与直线对称，则，且为的中点， 又∵为的中点，则， ∴焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，即点在以圆心为原点， 半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为． 10. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为__________. 【答案】 或. 【解析】 【分析】本题分两种情况求解：①当在双曲线的两支上时，先由正弦定理在三角形中由正弦定理得到，再由双曲线的定义得到，得到，最后在三角形中由余弦定理化简得到离心率为.②当在双曲线的左支上时，，，类比上一种情况求解得到离心率为 . 【详解】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的两支上时， 由题可知， ， ，则 因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . ②如图所示，当在双曲线的左支上时， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . 故答案为： 或. 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11. 若，，且，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 12. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 13. 已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 14. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于结论①，作出经过点，，的截面即可判断；对于结论②，由分析可得，即可判断；对于结论③，作出经过点且与直线垂直的平面，判断平面与是否有交点即可判断；对于结论④，分析点与点重合时与点从上靠近点的三等分点向点运动时两种情况的截面面积的变化情况即可判断. 【详解】对于结论①，取中点为，连接， ，， 因为正方体，为的中点，所以， 所以四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点， 故结论①正确； 对于结论②，因为关于对称，所以，求的最小值，即求的最小值， 因为正方体，所以四点共面， 所以与会相交于一点，设为， 此时， 因为 ， 所以的最小值为错误，故结论②错误； 对于结论③，取中点分别为，连接，设交 于点，若平面， 在平面中，易知， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以. 所以存在点，使得， 故结论③正确. 对于结论④，当点与点重合时，截面为矩形，截面面积为， 当点为上靠近点的三等分点时， 取中点为，连接，，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，所以四点共面， 此时四边形即为平面截正方体所得截面， 证明如下：已知平面，求证点为上靠近点的三等分点， 因为，所以，所以点为上靠近点的三等分点，得证. 又因为，且，， 所以四边形为等腰梯形，面积为， 所以当点为上靠近点的三等分点时，截面面积为， 当点趋近于点时，截面面积趋近于， 因为，，点为上靠近点的三等分点向点运动时，截面面积的变化是连续的， 所以点为上靠近点的三等分点向点运动时存在某点，使得截面面积为， 故线段上至少存在两个点使得截面面积为， 故结论④不正确 故选：B 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建系求得直线方向向量和平面法向量，由向量位置关系即可证明； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 故，，. 设平面的法向量，则， 即，令，得， 则. 因为，故， 为平面的一个法向量，平面， 所以平面； 【小问2详解】 为的中点，故，则，，. 设平面的法向量，平面的法向量，则， ，即，令，得， 则. ，即，令，则， 则. 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 16. 2026年是农历马年，某城市举办了一场盛大的“万马奔腾”主题灯会．其中，有一盏名为“骐骥奋蹄”的创意花灯，其主体造型是由上实校训“攀登”的攀的小篆字形（如图）构造的一个巨大的双曲线形拱门，象征着马年的昂扬向上．该拱门的横截面轮廓可以看作是双曲线．设计师为了保证拱门的视觉冲击力，设定其离心率为3，且拱门最窄处（实轴）的宽度为2米． （1）求该双曲线的方程； （2）为了增加节日气氛，工作人员计划在拱门内部安装一条模拟“马鬃”飘逸效果的彩色灯带．这条灯带呈直线型，其斜率为1（即与水平方向成角），方程为．调试时发现，当灯带在拱门内的可见长度（弦长）为米时，光影效果最佳．求此时控制参数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出，计算得到方程； （2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式计算即可. 【小问1详解】 设，因为设定其离心率为3， 且拱门最窄处（实轴）的宽度为2米．故，解得，， 故，因此； 【小问2详解】 联立，整理得， ， 设双曲线与直线交点为，， 由韦达定理可得，， 由题可知弦长， 故， 即，整理得， 解得，故此时控制参数的值为. 17. 已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． （1）求的值； （2）设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由过焦点确定抛物线的方程，再与直线联立，由韦达定理结合抛物线的定义即可求解； （2）设出的方程，与抛物线联立后结合韦达定理，列出关于的表达式，解出的值后即可求得点的坐标，即可求证. 【小问1详解】 由题意得抛物线的焦点为， 若过点，则有，解得， 故抛物线，准线方程为， 联立，得，则， 所以. 【小问2详解】 易得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 联立，得，则， ， ， 解得，当时，直线，令，则，即， 所以， 当时，直线，令，则，即， 所以， 综上，得证. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系； （3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线与该圆相切 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知椭圆的半焦距，再根据条件求出和的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设，可得直线的方程为.联立直线与椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出点的横坐标及纵坐标，进而得到直线的方程，求出的中点到直线的距离，即可判断直线与该圆的位置关系； （3）设出直线的方程及两点的坐标，联立直线与椭圆组成的方程组，利用三角形相似将变形为，分两种情况，点在椭圆上或外部和在椭圆内部讨论，去掉绝对值符号，利用的范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的半焦距. 由离心率为，可得，解得. 所以，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意得． 设，则直线的方程为． 由消去得． 因为直线与的两个交点分别为和， 所以，得． 直线的斜率为， 直线的方程为，即． 的中点为，点到直线的距离， 所以直线与该圆相切； 【小问3详解】 设直线的方程为， 由消去得， 所以. 则． 如图1所示，当点在椭圆上或外部时，，此时， 于是． 如图2所示，当点在椭圆内部时，， 所以， 令，则， 所以． 所以的取值范围为． 四、附加题（每题10分，共20分） 19. 如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则 （1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程； （2）该椭圆：）的左、右焦点分别为，，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于，两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直. ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数与椭圆定义，求出，进而写出椭圆标准方程； （2）①在平面中求出，再根据折叠后的空间图形建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出异面直线和所成角的余弦值即可； ②根据椭圆定义以及长度关系找到，再将长度关系根据弦长公式转化成解析式，结合韦达定理求出直线中的，进而求出. 【小问1详解】 圆柱轴线与水平面夹角，所以，，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由直线：与，联立消去整理得， 解得或，因为点，在轴上方，所以得，， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 记异面直线和所成角为， 则； ②设，在新图形中对应点记为，. 由，，故， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程得，，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）； ，，，， ，， 上式左右两边同时平方化简得：. 又；， 得，， ，， 解得， ∵，所以. 20. 已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． （1）求证：在一条直线上，并求该直线的方程； （2）对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由渐近线与定点求出双曲线方程，再求切线方程并得交点，利用向量关系证明点列共线且在直线上； （2）根据条件证明面积成等比数列，求出前项和，再用裂项相消放缩法证明倒数和小于. 【小问1详解】 因为直线为双曲线的一条渐近线，因此设双曲线的方程为， 又双曲线经过点，因此，解得， 因此双曲线的方程为； 显然过且与双曲线相切的直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即， 联立，得 因此,解得， 因此直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，则， 联立得，则， 因为，因此，因此， 因为，所以，即三点共线且方程为：， 由于，因此， 又因为，因此， 因为，所以共线，因此共线， 故共线且轨迹方程为. 【小问2详解】 因为，，且，设直线的方程为， 又过点，因此，得，因此的方程为， 到直线的距离为，则， 因为共线，且，因此， ， 因此，则， 设，直线， 联立得，即， 联立得，即， 因此，， 即， 因此， 又因为，因此， 因此，， 因为， 因此， 因此 因为，所以， 即，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上实验2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷 2026.1 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 直线的倾斜角大小为_____________. 3. 已知圆，则半径是_______． 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 5. 若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 6. 已知球的直径，则球体积为______． 7. 已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 8. 已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则的最小值是____. 9. 现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______． 10. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为__________. 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11. 若，，且，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 12. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 13. 已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 14. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 16. 2026年是农历马年，某城市举办了一场盛大的“万马奔腾”主题灯会．其中，有一盏名为“骐骥奋蹄”的创意花灯，其主体造型是由上实校训“攀登”的攀的小篆字形（如图）构造的一个巨大的双曲线形拱门，象征着马年的昂扬向上．该拱门的横截面轮廓可以看作是双曲线．设计师为了保证拱门的视觉冲击力，设定其离心率为3，且拱门最窄处（实轴）的宽度为2米． （1）求该双曲线的方程； （2）为了增加节日气氛，工作人员计划在拱门内部安装一条模拟“马鬃”飘逸效果的彩色灯带．这条灯带呈直线型，其斜率为1（即与水平方向成角），方程为．调试时发现，当灯带在拱门内的可见长度（弦长）为米时，光影效果最佳．求此时控制参数的值． 17. 已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． （1）求的值； （2）设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系； （3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围． 四、附加题（每题10分，共20分） 19. 如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则 （1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程； （2）该椭圆：）的左、右焦点分别为，，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于，两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直. ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． （1）求证：在一条直线上，并求该直线的方程； （2）对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $