专题2.2 圆-垂径定理（七个考点3个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题2.2圆-垂径定理（七个考点3个易错点） 【考点1 利用垂径定理求值】 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【考点5 垂径定理的实际应用】 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【易错点1 垂径定理】 【易错点2 垂径定理的应用】 【易错点3 圆心角、弧、弦的关系】 【考点1 利用垂径定理求值】 1．如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 3．如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 4．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 5．的半径为，弦，，，则、间的距离是：（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 6．如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ． 7．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 8．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ． 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 10． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 11．如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 12．如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 13．如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是 ． 14．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 15．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是 ． 16．如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    【考点5 垂径定理的实际应用】 17．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 18．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 19．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 21．如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，圆形拱门所在圆的半径长为 m． 22．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 23．石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ． 24．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 25．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 26．如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 28．如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 29．如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 30．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 31．如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 32．如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 33．如图所示，、、是的三条半径，为弧的中点，、分别是、的中点．求证：． 34．如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：． 35．如图，是的直径，点在上，于点于点．求证．    36．如图，在中，弦与弦相交于点E，且．    求证：． 【易错点1 垂径定理】 1．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（　　） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3，将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为 　2　． 3．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是　1cm　． 4．如图，⊙O中M，N分别是弦AB，CD的中点，且AB＝CD，AB和CD不平行，则∠AMN与∠DNM的数量关系是 　 ． 5．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数； （2）若CE＝4，求圆O的半径． 6．如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为 　 　． 7．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 8．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 【易错点2 垂径定理的应用】 9．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　　cm． 10．如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为 　　米，所在圆的半径为 　 　米． 【易错点3 圆心角、弧、弦的关系】 11．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 12．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　2　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2圆-垂径定理（七个考点3个易错点） 【考点1 利用垂径定理求值】 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【考点5 垂径定理的实际应用】 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【易错点1 垂径定理】 【易错点2 垂径定理的应用】 【易错点3 圆心角、弧、弦的关系】 【考点1 利用垂径定理求值】 1．如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C 2．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 3．如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．根据垂径定理和勾股定理列方程即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或（舍去）， 的长是， 故答案为：3． 4．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 5．的半径为，弦，，，则、间的距离是：（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可. 【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E， ∵， ∴OE⊥AB， 在Rt△AOE中，OA=10，AE=AB=8，∴OE=6， 在Rt△COF中，OC=10，CF=CD=6，∴OF=8， 当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=8-6=2； 当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14， 故选：C. 【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量. 6．如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ． 【答案】 【分析】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可． 【详解】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图， 在中， 在中， 当圆心O在AB与CD之间时， 当圆心O不在AB与CD之间时， 即AB和CD之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】7或1． 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，    过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm， 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE═4cm， 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm． 故答案为：7或1． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 8．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ． 【答案】3 【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作OH⊥CD于H， 连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 10． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理的应用，能够根据需要作出辅助线，并运用垂径定理是解决本题的关键． 【详解】过点O作，垂足为点E， 在小中，， 在大中，， ∴， ， ∴    【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 12．如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则，    设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 13．如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；根据垂径定理的性质可知线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心，然后再根据勾股定理求得半径即可；熟知垂径定理的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作线段与线段的垂直平分线，交点即为圆心 由图可知点的坐标为： 的半径是 故答案为： 14．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 15．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是 ． 【答案】/度 【分析】过O作半径于点F，连，由垂径定理得到，则有，再根据题意证明为等边三角形，得到，则， 的度数可求． 【详解】解：过O作半径于点F，连， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则的度数是， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴对称图形的性质，熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键． 16．如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    【答案】3 【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键． 【考点5 垂径定理的实际应用】 17．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 18．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，，     ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 19．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 20．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理以及垂径定理的综合运用．根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，根据垂径定理和勾股定理求解即可．解题的关键：构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 【详解】解：∵圆弧形桥拱的跨度，拱高， ∴点是的中点，且， ∴此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，设圆的半径是， ∴， 在中， ，，，， ∴，即， 解得：， ∴拱桥的半径为米． 故选：B． 21．如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，圆形拱门所在圆的半径长为 m． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， 设 ，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． 即圆形拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 22．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设该门洞的半径的半径为，过点作 于点，延长交圆于点，连接 ，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：． 23．石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用， 勾股定理等知识，根据垂径定理得到，在中，，列方程并解方程即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴, 在中， ， ∴ ∴ 解得, 即半径为． 故答案为：10 24．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 25．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， 所对的圆心角的度数为 故选：D 26．如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查平行线性质、圆心角概念、等腰三角形性质，连接，根据平行线性质得到，利用等腰三角形性质得到，再次利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：连接， 弦直径， ， ， ， ， ． 则所对的圆心角的度数为． 故选：A． 27．如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接，    ∵， ∴，，，皆为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则度数为． 故选：B． 28．如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， 又， 即， ， ， ∴，， ∴，，， ∵，即， 解得， ∴， 故选：C． 29．如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故选：C． 30．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 31．如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点， 连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的度数是， ∵是的两条直径， ∴的度数是， ∴的度数是， 故答案为：． 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 32．如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 33．如图所示，、、是的三条半径，为弧的中点，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和全等三角形的判定和性质，能求出 是解此题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出，求出，根据全等三角形的判定得出，再得出答案即可． 【详解】证明：∵为的中点， ∵分别是的中点， 在和中， 34．如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 先根据得出，再由平行线的性质得出，故可得出，据此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．如图，是的直径，点在上，于点于点．求证．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆的对称性及全等三角形的性质和判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 连接，根据定理得出，由全等三角形的性质得出 ，进而可得出结论． 【详解】证明：连接，，    ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在中，弦与弦相交于点E，且．    求证：． 【答案】见解析 【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立． 【详解】证明：， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明． 【易错点1 垂径定理】 1．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（　　） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 【答案】C 【解答】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴由垂径定理得：AE＝AB＝3cm，CF＝CD＝4cm， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE＝＝＝4（cm） 同理求出OF＝3cm， EF＝4cm﹣3cm＝1cm； ② 当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE＝4cm，OF＝3cm， 则EF＝4cm+3cm＝7cm； 即AB与CD的距离是1cm或7cm， 故选：C． 2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3，将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，延长OD交于点E， ∴CD＝BD＝BC＝， 由折叠得：OD＝DE＝OE， ∵OE＝OB， ∴OD＝OB， 在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2， ∴（OB）2+（）2＝OB2， 解得：OB＝或OB＝﹣（舍去）， ∴AB＝2OB＝2， 故答案为：2． 3．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是　1cm　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E， ∵分直径成1cm和5cm两部分， ∴AB＝6cm， ∴OA＝AB＝3cm， ∴OE＝OA﹣AE＝2cm， ∵∠OEF＝30°， ∴OF＝OE＝1（cm）． 故答案为：1cm． 4．如图，⊙O中M，N分别是弦AB，CD的中点，且AB＝CD，AB和CD不平行，则∠AMN与∠DNM的数量关系是 　∠DNM＝∠AMN　． 【答案】∠DNM＝∠AMN． 【解答】解：连接ON，OM， ∵M，N分别是弦AB，CD的中点， ∴ON⊥CD，OM⊥AB， ∴∠OND＝∠OMA＝90°， ∵AB＝CD， ∴ON＝OM， ∴∠ONM＝∠OMN， ∴∠OND﹣∠ONM＝∠OMA﹣∠OMN， ∴∠DNM＝∠AMN， 故答案为：∠DNM＝∠AMN． 5．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数； （2）若CE＝4，求圆O的半径． 【答案】8． 【解答】解：（1）如图， ∵AO⊥BC，AO过O， ∴CE＝BE， ∴AB＝AC， 同理得：AC＝BC， ∴AB＝AC＝BC ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B＝60°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴∠BCD＝30°， ∵CE＝4， 在Rt△CEO中，OE＝4， ∴OC＝2OE＝8， 即圆O的半径为8． 6．如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为 　8或12或4　． 【答案】8或12或4． 【解答】解：当△ABC为等腰三角形时，分以下两种情况： ①如图1，以AB为底边时，AC＝BC，连接C1C2，AO，则C1C2过圆心O， ∴C1C2⊥AB， ∴AD＝AB＝1， ∵OA＝2， ∴OD＝＝， ∴C1D＝2+，C2D＝2﹣， ∴BC12＝＝8+4，BC22＝＝8﹣4； ②如图2，以AB为腰时，AB＝AC3＝BC4＝2，连接OC3，AO，AO交BC3于E，则BE＝C3E，BC42＝4， ∵OC3＝AO＝AC3＝2， ∴△AC3O是等边三角形， ∴∠EOC3＝60°， ∴∠OC3E＝30°， ∴C3E＝， ∴BC3＝2， ∴BC32＝（2）2＝12， 综上，BC2＝8或12或4． 故答案为：8或12或4． 7．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解：连接OB， ∵四边形ABCO是菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵OP⊥AB， ∴∠BOP＝∠AOB＝30°， 由圆周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°， 故选：A． 8．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， 由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP＝3 故选：C． 【易错点2 垂径定理的应用】 9．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　cm． 【答案】这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 10．如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为 　5　米，所在圆的半径为 　　米． 【答案】5，． 【解答】解：如图，连接BC，过点E作EM⊥AD于M，交BC于N， 设所在圆的圆心为O，连接AO， ∵AE＝ED，EM⊥AD， ∴AM＝DM＝AD＝4.8米， ∴点O在EM上， 设圆O的半径为x米， Rt△AEM中，AE＝8米，AM＝4.8米， ∴EM＝＝＝6.4米， ∴OM＝（6.4﹣x）米， 在Rt△AMO中，由勾股定理得：AO2＝AM2+OM2， ∴x2＝4.82+（6.4﹣x）2， ∴x＝5， ∴所在圆的半径为5米； ∵AE＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵∠EAD＝∠CBE，∠EDA＝∠ECB， ∴∠EBC＝∠ECB， ∴EB＝EC， ∵∠AED＝∠CEB， ∴∠EAD＝∠ECB， ∴AD∥BC， ∴∠CNE＝∠AME＝90°， ∵CF⊥AD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠AFC＝∠CNE＝∠FMN＝90°， ∴四边形MNCF是矩形， ∴MN＝CF，CN＝FM＝2.4+4.8＝7.2， ∵∠AEM＝∠CEN， ∴tan∠AEM＝tan∠CEN，即＝， 即＝＝， ∴EN＝9.6米， ∴MN＝9.6+6.4＝16（米）， 设所在圆的圆心为O'，则O'在MN上， 连接O'A，O'C，则O'A＝O'C， 设O'M＝b米， 由勾股定理得：O'A2＝4.82+b2＝（16﹣b）2+7.22， ∴b＝8.9， ∴O'A＝＝（米）， 即所在圆的半径为米． 故答案为：5，． 【易错点3 圆心角、弧、弦的关系】 11．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°． 故选：B． 12．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OC， ∵C为弧AB的中点， ∴弧AC＝弧BC， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝n， ∴CM＝＝， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$