微专题 垂径定理8类高频考法（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

微专题 垂径定理8类高频考法 目录 题型一、利用垂径定理求值 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 2 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 3 题型四、利用垂径定理求解其他问题 4 题型五、垂径定理的推论 5 题型六、垂径三角形（构造单勾股） 7 题型七、垂径三角形（构造双勾股） 8 题型八、垂径定理的实际应用 9 题型一、利用垂径定理求值 例1（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 【变式1-1】如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 【变式1-2】在圆O中，，，，求 ． 【变式1-3】如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【变式1-4】如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 例2已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式2-1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式2-2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【变式2-3】在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 例3如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【变式3-1】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式3-2】如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【变式3-3】如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 题型四、利用垂径定理求解其他问题 例4如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【变式4-1】如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【变式4-2】数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角. (2)在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线． 【变式4-3】如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 题型五、垂径定理的推论 例5下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【变式5-1】如图，为的直径，是的中点，与，分别交于点，.若，，则的值为（   ） A．2.5 B． C．3 D． 【变式5-2】如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 题型六、垂径三角形（构造单勾股） 例6如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-1】如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【变式6-3】如图,是的直径，点C是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点D，连接，若的半径为，则 ． 题型七、垂径三角形（构造双勾股） 例7如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 题型八、垂径定理的实际应用 例8如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 【变式8-1】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【变式8-2】如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【变式8-3】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 垂径定理8类高频考法 目录 题型一、利用垂径定理求值 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 6 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 11 题型四、利用垂径定理求解其他问题 15 题型五、垂径定理的推论 20 题型六、垂径三角形（构造单勾股） 25 题型七、垂径三角形（构造双勾股） 28 题型八、垂径定理的实际应用 34 题型一、利用垂径定理求值 例1（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、折叠问题 【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出是等边三角形． 由翻折变换的性质推出是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦即可求出的长． 【详解】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 【变式1-1】如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 【答案】176 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了垂径定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，证明∽，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 则，，， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 故答案为：176 ． 【变式1-2】在圆O中，，，，求 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，延长交圆于点，连接，，根据垂径定理可得，证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已经舍去）， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答； 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，直径, ∴, ∵， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先由三角形中位线定理求得，再由垂径定理结合同圆中等弧对等弦得到，则，而，那么，故，再由三角形的外角性质即可证明； （2）可得，则，由圆周角定理得到，故，则点共圆，那么，可证明，则，再等量代换求证即可． 【详解】（1）证明：如图： ∵是直径， ∴， ∵分别为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧与弦的关系，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 例2已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式2-1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式2-2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【变式2-3】在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 例3如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求同心圆问题 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 【变式3-1】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求同心圆问题 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【变式3-2】如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求同心圆问题 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【详解】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 【变式3-3】如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、利用垂径定理求同心圆问题 【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型四、利用垂径定理求解其他问题 例4如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用垂径定理求解其他问题 【分析】由垂径定理得垂直平分，进而推导出，，，，再根据三角形外角定理判断出，从而得到射门角越来越大的结论． 【详解】解：∵的圆心在上， ∴线段是的直径， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵， ∴， 即， ∴射门角的变化情况是越来越大． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外角定理，解题关键是根据三角形外角定理判断角的大小关系． 【变式4-1】如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、圆周角定理、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-2】数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角. (2)在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、已知圆内接四边形求角度、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质以及作图，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）①在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求； ②连接，，并延长交于点，则即为所求． （2）延长交于，依据垂径定理即可得到为的中点，连接，则平分； 【详解】（1）解：①即为所求，如图所示， 四边形是圆内接四边形， ； ②连接，，并延长交于点，则即为所求，如图所示， 理由如下： 是的内接三角形． ， ， 又， ， ， ， 则即为所求． （2）解：如图，射线即为所求； 证明：是弦，且， 点为中点， ，即平分 【变式4-3】如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求解其他问题、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）利用垂径定理得到，则，利用圆内接四边形的性质得到，利用平角的定义得到，再利用等量代换即可证明； （2）连接、，利用垂径定理得到，，进而证出是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用圆周角定理求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型五、垂径定理的推论 例5下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 【变式5-1】如图，为的直径，是的中点，与，分别交于点，.若，，则的值为（   ） A．2.5 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，解直角三角形，连接，证明，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∴ 故选：B． 【变式5-2】如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、判断确定圆的条件、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可判定正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上，然后根据勾股定理分别求出平移前和平移后，最小覆盖圆的圆心到F的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上， 如图，设与的交点为P，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， 根据题意，得，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即； 向左移动后，如图，设与的交点为P，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， 根据题意，得，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴最小面积圆的圆心经过路程是， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点D在内 【知识点】已知两点坐标求两点距离、垂径定理的推论、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【详解】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是； 故答案为：． （2）解：圆的半径， 线段， 所以点在内． 题型六、垂径三角形（构造单勾股） 例6如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据翻折变换求出OD=CD=3，OC=6，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D， ∴OD=CD=×9=3，OC=OD+CD=6， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC， 连接OA， 由勾股定理得：AC= =3， 即AC=BC=3， ∴AB=AC+BC=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC=BC是解此题的关键． 【变式6-2】如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、折叠问题 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 【变式6-3】如图,是的直径，点C是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点D，连接，若的半径为，则 ． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 由，得到，求得根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接． ∵，将劣弧沿弦折叠交直径于点， ∴（同一圆周角所对的弧长相等）， ∴（等弧对等弦） ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型七、垂径三角形（构造双勾股） 例7如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识，作于，连接，可得，，设，则，，，即可根据求出，再利用勾股定理得，从而解决问题． 【详解】解：作于，连接，则， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ 故选：A． 【变式7-1】如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、折叠问题 【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a． ∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，， ∴AC＝CD＝DE， ∵CH⊥AD， ∴AH＝DH， ∵AD＝2OD， ∴AH＝DH＝OD＝a， 在Rt△OCH中，CH＝， 在Rt△ACH中，AC＝， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 【变式7-2】如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 【变式7-3】已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． （1）过点作交于点，首先根据勾股定理解得的长度，再利用面积法解得的长度，进而可得的值，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得的长即可； （2）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后根据三角形内角和定理解得的度数，即可获得答案； （3）根据“垂线段最短”即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作交于点，如下图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （3）解：∵点是线段上的动点，，，， ∴当点与点重合时，取最小值， 此时， 当点与点重合时，取最大值， 此时， ∴线段的长度取值范围是． 故答案为：． 题型八、垂径定理的实际应用 例8如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆形木材的圆心为，连接，，先根据垂径定理可得寸，再设圆材的半径为寸，则寸，寸，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设圆形木材的圆心为，连接，， 由题意得：点共线，， ∴， ∴（寸）， 设圆材的半径为寸，则寸， ∵深度为寸， ∴寸， 在中，，即， 解得， 即圆材的半径为13寸， 故答案为：13． 【变式8-1】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、两直线平行同位角相等、含30度角的直角三角形、垂径定理的实际应用 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 【变式8-2】如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【答案】(1)16米 (2)2米 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、已知正切值求边长 【分析】本题考查了余切，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可； （2）设与相交于点，连接，在中，根据余切定义可求出，设水面上升的高度为米，即，则，在中，根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理可得：， ∵，是半径， ∴， 即水面宽度的长为16米． （2）解：设与相交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设水面上升的高度为米，即，则， ∴， 在中，， ∴， 化简得， 解得（舍去），， 答：水面上升的高度为2米． 【变式8-3】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $