精品解析：上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题

静安区2023学年第二学期教学质量调研 高一数学试卷 2024．06 考生注意： 1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分） 1. 已知向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值. 【详解】，故， 故答案为：. 2. 若复数满足（为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法可求，求出后可求. 【详解】，故，故， 故答案为：. 3. 已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式以及题意即可求解. 【详解】由题意可知，故， 所以. 故答案为：3. 4. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】##0.28 【解析】 【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解. 【详解】由题得， 故由三角函数定义得， 所以. 故答案为：. 5. 已知向量，且，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据坐标形式的向量加法规则求出，再利用向量共线的坐标表示直接计算即可. 【详解】由题， 又，故，. 故答案为：. 6. 已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 7. 在中，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出． 【详解】由正弦定理，且，则，设， 由余弦定理，可得. 故答案为：. 8. 设是正实数，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的概念求的最大值. 【详解】如图： 函数在第一象限的射线的倾斜角为，图象关于轴对称， 将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，当时，所得图象与垂直于的直线还是只有1个交点，所以仍然是函数的图象； 当时，旋转所得的图象是一段为，一段是轴的正半轴（包括原点），不是函数图象； 当时，如图所示，则图形不是函数的图象. 又，故的最大值为. 故答案为： 9. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据的范围可得答案. 【详解】角的终边经过点， 可得， 因为，，所以， 可得. 故答案为：. 10. 函数部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 11. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 12. 已知函数，且，则（ ） A. 11 B. 14 C. 17 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 13. 若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意以及对数函数单调性性质即可直接求解. 【详解】函数在内是严格减函数， 所以，，故. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 14. 已知一元二次方程． （1）在复数范围内解该方程； （2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）可得，，再根据夹角公式求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以方程有一对虚数根，设为、， 又， 解得，． 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 所以与夹角的大小为． 15. 设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本量法求出的通项公式可求. 【详解】设公差为，则， 又，所以，解得． 所以，故． 16. 化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角化成一角一函数，再利用诱导公式即可化简，或者利用两角和公式计算和即可得解. （2）根据诱导公式和切与弦的关系即可化简得解. 【小问1详解】 法一：． 法2： 【小问2详解】 . 17. 已知函数． （1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； （2）将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1），，单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“五点法”完成表格，确定函数解析式，可求函数单调增区间. （2）做出函数图象，根据图象求的取值范围. 【小问1详解】 根据“五点法”，完成列表： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以表中所填的数据为：． 由表格可知：，，. 所以. 由， 得， 所以函数单调递增区间． 【小问2详解】 根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下： 该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，， 所以的取值范围是． 18. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： （1）求；（结果保留一位小数，单位：） （2）对于第辆车，写出函数的分段表达式； （3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 【答案】（1）， （2） （3）至多有7辆汽车通过该十字路口 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得答案； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理可得答案； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，求的最大，分别计算到可得答案. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得： ， 其中，， 或者写成 ； 【小问3详解】 由于十字路口亮绿灯的时长为，即， 于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算， ， 第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口． 在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口， 【点睛】思路点睛：利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静安区2023学年第二学期教学质量调研 高一数学试卷 2024．06 考生注意： 1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分） 1. 已知向量，则______． 2. 若复数满足（为虚数单位），则______． 3. 已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______． 4. 已知角的终边经过点，则______． 5. 已知向量，且，则实数______． 6. 已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 7. 在中，若，则___________ 8. 设是正实数，将函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值______． 9. 已知角终边经过点，则______． 10. 函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______． 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 11. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 12 已知函数，且，则（ ） A 11 B. 14 C. 17 D. 20 13. 若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 14. 已知一元二次方程． （1）在复数范围内解该方程； （2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 15. 设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求． 16. 化简下列各式： （1）； （2）． 17. 已知函数． （1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； （2）将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 18. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： （1）求；（结果保留一位小数，单位：） （2）对于第辆车，写出函数的分段表达式； （3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$