第23讲 二元一次方程组的应用【十大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第23讲 二元一次方程组的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 2．通过小组合作，分析“鸡兔同笼”数字问题和行程问题等问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 3．掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。 知识点一 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 知识点二 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 考点一：二元一次方程组的应用——年龄问题 例1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【变式1-1】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【变式1-2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【变式1-3】（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    考点二：二元一次方程组的应用——分配问题 例2.某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 【变式2-1】某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？ 【变式2-2】（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【变式2-3】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案? (3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用． 考点三：二元一次方程组的应用——古代问题 例3. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________． 【变式3-2】我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题． 【变式3-3】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 考点四：二元一次方程组的应用——行程问题 例4. 已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【变式4-1】列方程组解应用题： (1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？ (2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？ 【变式4-2】小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【变式4-3】（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 考点五：二元一次方程组的应用——工程问题 例5. 玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【变式5-1】通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？ 【变式5-2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ (2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值． 【变式5-3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 考点六：二元一次方程组的应用——方案问题 例6. 去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运物资吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资吨． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？ (2)现有吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次．那么该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少． 【变式6-1】某校在2022年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 28 49 若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元. (1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【变式6-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）1月4日时许，南宁新闻网两位主持人在南宁沃柑基地现场直播砂糖橘直发哈尔滨的“投桃报李”之旅，假设两次满载的运输情况如下表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 3 4 第二次 2 6 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有吨砂糖橘需要再次运往哈尔滨，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【变式6-3】（23-24七年级下·山东聊城·期中）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)如果租用A型车a辆，B型车b辆，请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 考点七：二元一次方程组的应用——销售、利润问题 例7. 某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元． (1)求A、B两种纪念品的购进单价； (2)已知商店购进两种纪念品件，共花费元，两种纪念品均标每件元出售，其中有5件B种纪念品以七五折售出，求这件纪念品的销售利润． 【变式7-1】某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 35 50 雪容融 30 40 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 【变式7-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）端午节来临之际，哈市“隆兴”饰品商店准备购进A、B两种品牌的挂件进行销售，已知若购进A品牌的挂件2个，B品牌的挂件3个，共需90元，若购进A品牌的挂件4个，B品牌的挂件2个，共需100元． (1)求A、B两种品牌的挂件每个各多少元？ (2)若该饰品店购进A、B两种品牌的挂件共100个，其中A品牌的挂件每个售价为25元，B品牌的挂件每个售价为35元，A品牌的挂件很快售完，B品牌的挂件最后有10个打八折销售，售完全部挂件该饰品店共获利1230元，求该饰品店A、B两种品牌的挂件分别购进多少个？ 【变式7-3】临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 考点八：二元一次方程组的应用——数字问题 例8. 一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-1】一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________． 【变式8-2】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【变式8-3】小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 考点九：二元一次方程组的应用——几何问题 例9. 用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积． 【变式9-1】如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【变式9-2】（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【变式9-3】已知一个长方形草坪，若它的长增加米，宽减少米，则面积保持不变；若它的长减少米，宽增加米，则面积仍保持不变． (1)求：长方形草坪的长和宽； (2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积． 考点十：二元一次方程组的应用——图表问题 例10. 已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【变式10-2】某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 【变式10-3】童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 8 16 1440 第二次购物 7 15 1314 第三次购物 9 17 1252.8 (1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物； (2)求出商品A、B的标价； (3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（    ） A．110钱 B．80钱 C．125钱 D．135钱 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（河南省新乡市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）为纪念五四运动105 周年，弘扬五四精神，某校团委计划组织全校共青团员到南阳市镇平县彭雪枫革命烈士纪念馆开展红色研学之旅．该校计划统一乘车前往，若调配29座客车若干辆，则有7 人没有座位；若调配37座客车，则用车数量将减少1 辆，并空出12 个座位．设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）“一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（    ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 二、填空题 5．（江苏省淮安市2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试题）已知一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字交换后，所得的新数比原数小36，则原来的两位数是 ． 6．（23-24七年级下·重庆铜梁·期中）某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是 米． 7．（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 8．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 三、解答题 9．（2024·海南省直辖县级单位·二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 10．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 12．（2024七年级下·天津·专题练习）某公司有火车皮和货车可供租用．货主准备租用火车车皮和货车运输一批物资．已知用这种火车车皮6节和货车15辆运货360吨；用火车车皮8节和货车10辆运货440吨． (1)每节火车车皮和每辆货车平均各装物资多少吨？ (2)若货主共有300吨货，计划租用该公司的火车车皮或货车正好（每节车皮和每辆货车都满载）把这批货运完，该公司共有哪几种运货方案？写出所有的方案． 13．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    14．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话． (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 15．（2024·江苏淮安·一模）某校开展了“金山银山，不如绿水青山”为主题的环保知识竞赛，后勤部为学生购买奖品：A类钢笔和B类钢笔一共100支，单价分别为8元和14元，共花去1000元，并公布出费用明细．对此，同学们提出了质疑，觉得后勤部算错了． (1)请用方程的知识帮助后勤部计算一下，为什么他们搞错了； (2)后勤部拿出发票后，发现的确错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能认出单价是小于10的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 16．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）某服装超市销售10套型时装和20套型时装的利润为5000元，销售20套型时装和10套型时装的利润为5500元． (1)求每套型时装和型时装的销售利润分别为多少元？ (2)该商店计划一次购进两种型号的时装共120套，其中型时装的进货量不超过型时装的2倍，设购进型时装套，这120套时装的销售总利润为元； ①求关于的函数关系式（并求出自变量的取值范围）； ②该商店购进型、型时装各多少套，才能使销售总利润最大？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 二元一次方程组的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 2．通过小组合作，分析“鸡兔同笼”数字问题和行程问题等问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 3．掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。 知识点一 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 知识点二 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 考点一：二元一次方程组的应用——年龄问题 例1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【变式1-1】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 【变式1-2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【变式1-3】（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 考点二：二元一次方程组的应用——分配问题 例2.某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨 (2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可； （2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可． （1） 设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨． 根据题意得 解得． 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨． （2） 设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得 ，即， 又因为均为正整数， 所以或或， 所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆； 方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆． 方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）； 方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）； 方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）； 因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 【变式2-1】某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？ 【答案】有30间学生宿舍，有160名学生 【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿， 依题意，得：， 解得：． 答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式2-2】（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式2-3】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案? (3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资 (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车 (3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答； （3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可． （1） 解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资， 依题意得： 解得：     答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资． （2） 接：设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意得：300a+400b=3100， ∴． 又∵a，b均为非负整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车； 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车． （3） 解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）； 方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）； 方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）． ∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． 考点三：二元一次方程组的应用——古代问题 例3. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得： ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式3-1】《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题意列出等量关系：上禾6束上禾每束之实十八升下禾10束下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实五升上禾5束上禾每束之实，即可解答． 【详解】解：根据等量关系：上禾6束上禾每束之实十八升下禾10束下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实五升上禾5束上禾每束之实，可列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确的找到等量关系是解题的关键． 【变式3-2】我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题． 【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱 【分析】设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 依题意有：， 解得， 答：合伙人数为21人，羊价为150钱． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组． 【变式3-3】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 【答案】共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，根据每人出8文钱，则多出3文钱；每人出7文钱，则缺少4文钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，由题意得： ，解得：， 答：共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元． 考点四：二元一次方程组的应用——行程问题 例4. 已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【答案】(1)a和b的值分别为60，40； (2) 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可； （2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可． 【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等， ∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km． ∴由题意得：， 解得：； 即a和b的值分别为60，40； （2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等， ∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时 ∴由题意得： 解得：； ∴甲车前一半的时间为：， 由于，则乙h时行的路程为：， ∵， ∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km， ∴相遇时甲车还没行驶到60km， ∴相遇时间为：， 则离A地的路程为：． 即：两车相遇时，离A地． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． 【变式4-1】列方程组解应用题： (1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？ (2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？ 【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛； (2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h． 【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可； （2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可． （1） 解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛， 由题意得： 解得， 答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛； （2） 解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h， 由题意得：， 解得， 答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键． 【变式4-2】小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【答案】5千米 【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解． 【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校， 由题意可得， 解得， 答：小北需要骑行5千米到达学校． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键． 【变式4-3】（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 考点五：二元一次方程组的应用——工程问题 例5. 玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司 【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得， 解得： ∵ ∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司． （3）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意得： 解得： ∴公司共需万元，乙公司共需万元，4万元＜6万元， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【变式5-1】通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？ 【答案】 【分析】设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天，列出关于和的二元一次方程，解出即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据题意列方程得 ， 解得， 答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【变式5-2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ (2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值． 【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车． (2)m的值为12． 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根据n，m均为正整数且，即可求出m的值． （1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车． （2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均为正整数，且，∴（舍），（舍），，∴m的值为12． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式5-3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 考点六：二元一次方程组的应用——方案问题 例6. 去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运物资吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资吨． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？ (2)现有吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次．那么该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资 (2)该公司有三种租车方案，方案一租车费用最少 【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资，根据题意，列出方程组，解出即可得出答案； （2）设租辆型车，辆型车，根据题意，得出，且、均为正整数，解出或或，据此得出该公司有三种租车方案，再算出每种租车方案的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资， 根据题意，可得：， 解得：， ∴1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资； （2）解：设租辆型车，辆型车， 根据题意，可得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司有三种租车方案： 方案一：租辆型车，辆型车； 方案二：租辆型车，辆型车； 方案三：租辆型车，辆型车， ∴方案一所需费用为（元）， 方案二所需费用为（元）， 方案三所需费用为（元）， ∵， ∴方案一租车费用最少． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确列出方程． 【变式6-1】某校在2022年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 28 49 若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元. (1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元 (2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元 【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可； （2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． （1） 解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y， 由题意可得：， 解得：， ∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元； （2） 设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆， 28a+49b=588， 化简得：4a+7b=84， ∴， ∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元； 当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元， ∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，注意题中有干扰数据． 【变式6-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）1月4日时许，南宁新闻网两位主持人在南宁沃柑基地现场直播砂糖橘直发哈尔滨的“投桃报李”之旅，假设两次满载的运输情况如下表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 3 4 第二次 2 6 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有吨砂糖橘需要再次运往哈尔滨，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5、4吨 (2)共有三种方案，方案一；租用甲货车辆，乙货车1辆；方案二；租用甲货车6辆，乙货车6辆；方案三：租用甲货车2辆，乙货车辆 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用．熟练掌握解二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲货车每辆能装货吨，乙货车每辆能装货吨，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设租用甲货车辆，乙货车辆，为正整数，依题意得，，解得，，可知当时，；当时，；当时，；然后作答即可． 【详解】（1）解：设甲货车每辆能装货吨，乙货车每辆能装货吨， 依题意得，， 解得，， ∴甲、乙两种货车每辆分别能装货5、4吨； （2）解：设租用甲货车辆，乙货车辆，为正整数， 依题意得，， 解得，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，共有三种方案，方案一；租用甲货车辆，乙货车1辆；方案二；租用甲货车6辆，乙货车6辆；方案三：租用甲货车2辆，乙货车辆． 【变式6-3】（23-24七年级下·山东聊城·期中）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)如果租用A型车a辆，B型车b辆，请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车7辆；方案2：租用A型车5辆，B型车4辆；方案3：租用A型车9辆，B型车1辆 (3)方案1：租用A型车1辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为940元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需总租金． （1）1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运货31吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； （3）根据总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨． （2）解：依题意，得：， ． 又，均为正整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用型车1辆，型车7辆；方案2：租用型车5辆，型车4辆；方案3：租用型车9辆，型车1辆． （3）解：租车方案1所需费用（元； 租车方案2所需费用（元； 租车方案3所需费用（元． ， 方案1：租用型车1辆，型车7辆最省钱，最少租车费为940元． 考点七：二元一次方程组的应用——销售、利润问题 例7. 某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元． (1)求A、B两种纪念品的购进单价； (2)已知商店购进两种纪念品件，共花费元，两种纪念品均标每件元出售，其中有5件B种纪念品以七五折售出，求这件纪念品的销售利润． 【答案】(1)A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元； (2)元． 【分析】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据“购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元”列出方程求解即可； （2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，根据“购进两种纪念品件，共花费元” 列出方程求解即可得到A种纪念品和B种纪念品的件数，再根据“利润=总销售额－成本”即可得出答案． 【详解】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元， 根据题意，得 解得 答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元． （2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件， 依题意，得 所以 售完利润为：（元） 答：这32件纪念品的销售利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 【变式7-1】某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 35 50 雪容融 30 40 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 【答案】(1)20个，30个 (2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个 【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可． （1） 解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个， 有题意得 解得 答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个； （2） 由表格得， 设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个， ∴35a+30b=600 ∴ ∵a，b为正整数 ∴可得， ∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键． 【变式7-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）端午节来临之际，哈市“隆兴”饰品商店准备购进A、B两种品牌的挂件进行销售，已知若购进A品牌的挂件2个，B品牌的挂件3个，共需90元，若购进A品牌的挂件4个，B品牌的挂件2个，共需100元． (1)求A、B两种品牌的挂件每个各多少元？ (2)若该饰品店购进A、B两种品牌的挂件共100个，其中A品牌的挂件每个售价为25元，B品牌的挂件每个售价为35元，A品牌的挂件很快售完，B品牌的挂件最后有10个打八折销售，售完全部挂件该饰品店共获利1230元，求该饰品店A、B两种品牌的挂件分别购进多少个？ 【答案】(1)A品牌的挂件每个15元，B品牌的挂件每个20元 (2)购进A品牌的挂件40个，B品牌的挂件60个 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，正确理解题意、列出方程组是关键． （1）设A品牌的挂件每个元，B品牌的挂件每个元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进A品牌的挂件个，B品牌的挂件个，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设A品牌的挂件每个元，B品牌的挂件每个元，根据题意得 解得 答：A品牌的挂件每个15元，B品牌的挂件每个20元． （2）设购进A品牌的挂件个，B品牌的挂件个，根据题意得 解得 答：购进A品牌的挂件40个，B品牌的挂件60个． 【变式7-3】临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个 【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可． （1） 解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元， 依题意得：， 解得：， 答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元； （2） 设需要的空瓶个，的空瓶个， 依题意得：， ， ，均为非负整数， 或或， 当，时，总损耗为； 当，时，总损耗为； 当，时，总损耗为； ， 分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 考点八：二元一次方程组的应用——数字问题 例8. 一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可． 【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x， 交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y， 则10x+y−10y−x=63， 整理得：x−y=7， 又∵x，y为正整数，且0<x<9，0<y<9， ∴或 ∴这个两位数为：92或81． 故选A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示出一个两位数是解题的关键． 【变式8-1】一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________． 【答案】27 【分析】设十位数字为x，个位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字=5，（10×十位数字+个位数字）+10×个位数字+十位数字=99，根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y， 由题意，得， 解得：， 即原来的两位数是27． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数的值． 【变式8-2】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【变式8-3】小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5 (2)第一次他们拼成的两位数为45 (3)第二次拼成的两位数是54 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． （3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是， 所以第二次拼成的两位数是54． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 考点九：二元一次方程组的应用——几何问题 例9. 用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积． 【答案】 【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体积公式，即可得出结果． 【详解】设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为， 根据题意可得， 解得， ∴长为，宽为，高为， 则体积， 则这种药品包装盒的体积为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长． 【变式9-1】如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出小长方形的长与宽，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）-6×8×2=44（）． 答：阴影部分的面积为44． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式9-2】（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． 【变式9-3】已知一个长方形草坪，若它的长增加米，宽减少米，则面积保持不变；若它的长减少米，宽增加米，则面积仍保持不变． (1)求：长方形草坪的长和宽； (2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积． 【答案】(1)长方形草坪的长为米，宽为米 (2)原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米 【分析】（1）设长方形草坪的长和宽分别为米，根据题意列出方程组，转化为二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据长方形的长减少1，宽减少1，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设长方形草坪的长和宽分别为米，根据题意，得 即 解得： 答：长方形草坪的长为米，宽为米 （2）解：依题意，平方米， 答：原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 考点十：二元一次方程组的应用——图表问题 例10. 已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值． 【答案】m=15，n=9 【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】根据题意以及表格数据， 有：， 解得， 答：m的值为15，n的值为9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式10-2】某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元 (2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克 【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可 （2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解． （1） 设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得 4×2a－5×a＝60， 解得a＝20， 则2a＝40． 答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元； （2） 设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意，得 解得 【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键． 【变式10-3】童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 8 16 1440 第二次购物 7 15 1314 第三次购物 9 17 1252.8 (1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物； (2)求出商品A、B的标价； (3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元 (3)商店是打八折出售这两种商品的 【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可． （1） 根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物， 故答案是：三； （2） （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元； （3） 设商店是打m折出售这两种商品， 由题意得，， 解得：m=8． 答：商店是打八折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（    ） A．110钱 B．80钱 C．125钱 D．135钱 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设合伙人有人，羊的价格为钱，根据每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设合伙人有人，羊的价格为钱，由题意，得： ，解得：； 故羊的价格为135钱， 故选D． 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设该队胜场，负场，根据9场比赛中得到12分列二元一次方程组即可求解． 【详解】设该队胜场，负场，由题意得 ， 故选：A． 3．（河南省新乡市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）为纪念五四运动105 周年，弘扬五四精神，某校团委计划组织全校共青团员到南阳市镇平县彭雪枫革命烈士纪念馆开展红色研学之旅．该校计划统一乘车前往，若调配29座客车若干辆，则有7 人没有座位；若调配37座客车，则用车数量将减少1 辆，并空出12 个座位．设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键正确分析题目中的等量关系． 设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人，根据“若调配29座客车若干辆，则有7人没有座位；若调配37座客车，则用车数量将减少1辆，并空出12个座位”列出方程． 【详解】设计划调配29座客车x辆，全校共青团员共有y人． 根据题意，得． 故选：B． 4．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）“一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（    ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元，根据3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴1千克“路丁茶”的价格是60元， 故选：B． 二、填空题 5．（江苏省淮安市2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试题）已知一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字交换后，所得的新数比原数小36，则原来的两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，原两位数的个位数字为，十位数字为，根据题意列出方程组，然后求解即可，解题的关键是熟练掌握两位数与各数位上的数字之间的关系． 【详解】设原两位数的个位数字为，十位数字为，则 ： ， 解得：， ∴原来的两位数是． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·重庆铜梁·期中）某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设上坡路的长度为，平路长，然后根据时间路程速度结合已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：设上坡路的长度为，平路长， 由题意得， ， 解得， ∴上坡路的长度为，平路长， ∴该同学家到学校全程是， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 8．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ， 故答案为： 三、解答题 9．（2024·海南省直辖县级单位·二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 【答案】购买清酒2斗，醑酒3斗 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设购买清酒x斗，醑酒y斗，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设购买清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得： 解得： 答：购买清酒2斗，醑酒3斗． 10．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为，长为，再结合图形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】设小长方形的宽为，长为， 根据题图，得， 解得， 种植番茄的面积为， 种植辣椒的面积为， 答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 12．（2024七年级下·天津·专题练习）某公司有火车皮和货车可供租用．货主准备租用火车车皮和货车运输一批物资．已知用这种火车车皮6节和货车15辆运货360吨；用火车车皮8节和货车10辆运货440吨． (1)每节火车车皮和每辆货车平均各装物资多少吨？ (2)若货主共有300吨货，计划租用该公司的火车车皮或货车正好（每节车皮和每辆货车都满载）把这批货运完，该公司共有哪几种运货方案？写出所有的方案． 【答案】(1)每节火车车皮平均装物资50吨，每辆货车平均装物资4吨 (2)四种，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆货车平均装物资y吨，根据“用这种火车皮6节和货车15辆运货360吨；用火车车皮8节和货车10辆运货440吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用a节火车车皮和b辆货车正好把这批货运完，根据货物总重量＝每节火车车皮载货量×租用数量+每辆货车载重量×租用数量，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为非负整数即可求出结论． 【详解】（1）解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆货车平均装物资y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆货车平均装物资4吨． （2）设租用a节火车车皮和b辆货车正好把这批货运完， 根据题意得：， ∴． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 答：该公司共有四种运货方案，方案一：租用6节火车车皮；方案二：租用4节火车车皮和25辆货车；方案三：租用2节火车车皮和50辆货车；方案四：租用75辆货车． 13．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 14．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话． (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人； (2)甲、乙两公司共捐款36000元； (3)共有2种购买方案，方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资；方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“甲公司的人数比乙公司少30人，且甲、乙两公司的捐款总数相同”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用甲、乙两公司的捐款总数甲公司的人均捐款数甲公司的人数乙公司的人均捐款数乙公司的人数，即可求出结论； （3）设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲公司有150人，乙公司有180人； （2）解： （元． 答：甲、乙两公司共捐款36000元； （3）解：设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资， 根据题意得：， ． 又，均为正整数，且， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资； 方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 15．（2024·江苏淮安·一模）某校开展了“金山银山，不如绿水青山”为主题的环保知识竞赛，后勤部为学生购买奖品：A类钢笔和B类钢笔一共100支，单价分别为8元和14元，共花去1000元，并公布出费用明细．对此，同学们提出了质疑，觉得后勤部算错了． (1)请用方程的知识帮助后勤部计算一下，为什么他们搞错了； (2)后勤部拿出发票后，发现的确错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能认出单价是小于10的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 【答案】(1)后勤部搞错了；理由见解析 (2)笔记本的单价为2元或8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意准确列出方程组是解题关键． （1）设单价为8元的钢笔买了x支，则单价为14元的钢笔买了y支，根据题意列出方程组即可； （2）设笔记本的单价为m元，结合题意，列出方程组根据，且m为整数，分情况求解即可． 【详解】（1）解：设单价为8元的钢笔买了x支，则单价为14元的钢笔买了y支， 根据题意得： ， 解得：， ∵钢笔的数量不可能是小数， ∴后勤部搞错了； （2）解：设笔记本的单价为m元， 根据题意得：  ， 解得：， 因为，且m为整数， ， ∵x取整数， ∴，68， 当时，， 当时，， 综上所述，笔记本的单价为2元或8元． 16．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）某服装超市销售10套型时装和20套型时装的利润为5000元，销售20套型时装和10套型时装的利润为5500元． (1)求每套型时装和型时装的销售利润分别为多少元？ (2)该商店计划一次购进两种型号的时装共120套，其中型时装的进货量不超过型时装的2倍，设购进型时装套，这120套时装的销售总利润为元； ①求关于的函数关系式（并求出自变量的取值范围）； ②该商店购进型、型时装各多少套，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元 (2)①；②当该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元，根据“销售10套型时装和20套型时装的利润为5000元，销售20套型时装和10套型时装的利润为5500元”列出二元一次方程组，解方程即可得出答案； （2）①设购进型时装套，则购进型时装套，根据总利润型时装利润型时装利润即可得出函数关系式，再根据“型时装的进货量不超过型时装的2倍”列出不等式，解不等式即可得出范围；②利用一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元， 由题意得：， 解得：， ∴每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元； （2）解：①设购进型时装套，则购进型时装套， 由题意得：， ∵型时装的进货量不超过型时装的2倍， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大，为，此时， ∴当该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$