第22讲 解题技巧专题：二元一次方程组中易错及含参数问题【七大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第22讲 解题技巧专题：二元一次方程组中易错及含参数问题 【题型一 忽略二元一次方程中一次项系数不为0】 例1．（2023春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）若方程是关于x、y的二元一次方程，则m的值是 ． 【变式1-1】（2023春·山东菏泽·七年级校考阶段练习） 已知是二元一次方程，则 ． 【变式1-2】（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则 ． 【变式1-3】（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 . 【题型二 解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘】 例2.（2023春·新疆博尔塔拉·七年级校考期末）解方程组：． 【变式2-1】（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）解方程组：． 【变式2-2】（2023秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考阶段练习）解方程组：． 【变式2-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）解方程组： 【题型三 二元一次方程组中同解方程组】 例3. （2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组与有相同的解，求a，b的值． 【变式3-1】（2022春·陕西安康·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求的平方根． 【变式3-2】（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知方程组，与方程组的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求方程的解． 【变式3-3】（2023春·河南周口·七年级统考期中）已知方程组与方程组的解相同． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【题型四 已知二元一次方程的解的情况求参数或代数式的值】 例4.（23-24七年级下·山东泰安·期中）若是二元一次方程的一个解，则m的值是 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·天津·期中）已知是关于，的方程的一个解，则的值为 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·广西河池·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【变式4-3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知，是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 例5. （23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【变式5-1】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）如果关于x，y的方程组的解互为相反数，则a的值为 ． 【变式5-2】（23-24七年级下·广东江门·期中）已知方程组有正整数解，则正整数m的值是 ． 【变式5-3】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④x，y的值都为自然数的解有2对， 其中正确的有 【题型六 与二元一次方程组有关的新定义型问题】 例6. （23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 【变式6-1】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【变式6-2】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）中考新考法 阅读理解题  新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题： 关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值． 【变式6-3】（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 例7. （2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 ． 【变式7-1】（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级统考期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 3．（23-24七年级下·重庆·期中）关于x、y的方程组的解是，则的值是（    ）． A．4 B．9 C．5 D．11 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D．7 5．（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东日照·期中）已知方程是关于的二元一次方程， ． 7．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知是方程组的解，则的值为 . 8．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙只抄错c而其他运算全正确，解得，则 ． 9．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 10．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①是方程组的一个解；②当时，的值互为相反数；③若，则； ④取任意实数，的值始终不变． 其中正确的是 ．（填写正确结论的序号） 三、解答题 11．（2024·陕西西安·一模）解方程组：． 12．（2024·江苏南京·二模）解方程组：． 13．（23-24七年级下·山东日照·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 14．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 15．（23-24七年级下·山西临汾·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 16．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是_______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为 ；的解为 ． (4)发现：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 解题技巧专题：二元一次方程组中易错及含参数问题 【题型一 忽略二元一次方程中一次项系数不为0】 例1．（2023春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）若方程是关于x、y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值． 【详解】根据题意得：，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2023春·山东菏泽·七年级校考阶段练习） 已知是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得出关于的方程，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】根据二元一次方程的定义，可得 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 【变式1-2】（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知项的次数是1的整式方程是二元一次方程，是解题的关键． 【变式1-3】（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 . 【答案】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【题型二 解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘】 例2.（2023春·新疆博尔塔拉·七年级校考期末）解方程组：． 【答案】 【分析】将原方程组化为：，再用加减消元法消去一个未知数，即，求出，再把代入①求出即可． 【详解】解：原方程组化为：， 得：， ， 把代入①得：， ， 原方程组的解是 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，掌握消元法将二元一次方程组转化成一元一次方程是解题关键． 【变式2-1】（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）解方程组：． 【答案】 【分析】将方程②变形为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】 ②变形为：，③ 得，， 解得，， 把代入①，解得， 所以，原方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． 【变式2-2】（2023秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考阶段练习）解方程组：． 【答案】 【分析】将方程组变形为，然后用加减消元法解二元一次方程即可． 【详解】解：原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 【变式2-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）解方程组： 【答案】 【分析】先将二元一次方程去分母变为，然后再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 原方程可变为 得 解得： 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 【题型三 二元一次方程组中同解方程组】 例3. （2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入， 则有, 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键． 【变式3-1】（2022春·陕西安康·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】先解方程组，得，将代入，再解方程组，得，得到的值及平方根． 【详解】解：解方程组，得， 将代入，得， 解方程组，得， ∴， ∵1的平方根是, ∴的平方根是． 【点睛】此题考查了同解方程组，解二元一次方程组，求一个数的平方根，正确掌握同解方程组的解题思路是解题的关键． 【变式3-2】（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知方程组，与方程组的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两方程组解相同，联立②和③，再用加减消元法求解即可； （2）将（1）所求的解代入①，④，求得a和b的值，再代入中求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组，与方程组的解相同， ∴联立②③可得， 解得； （2）将代入①，④， 并联立可得方程组， 解得， 代入方程，得， ∴． 【点睛】本题考查同解方程组，解二元一次方程，解一元一次方程．理解同解方程组的定义和掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键． 【变式3-3】（2023春·河南周口·七年级统考期中）已知方程组与方程组的解相同． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同解方程组，得到方程组的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到，进行求解即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同， 所以方程组的解即是它们的公共解， 解得：， 将分别代入另两个方程得：， 解得：； （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． 【题型四 已知二元一次方程的解的情况求参数或代数式的值】 例4.（23-24七年级下·山东泰安·期中）若是二元一次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握二元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24七年级下·天津·期中）已知是关于，的方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：是关于、的方程的一个解， 把代入到原方程，得， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级下·广西河池·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键． 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解 ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 【变式4-3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知，是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，由方程的解可得，再把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ； 【题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 例5. （23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数，将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 【变式5-1】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）如果关于x，y的方程组的解互为相反数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据可求出，由x，y互为相反数可得，求出a的值即可 【详解】解： ，得， ， x，y互为相反数， ， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级下·广东江门·期中）已知方程组有正整数解，则正整数m的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了含参二元一次方程组的解法，解方程组，用含m的代数式表示出y是解答本题的关键． 先解，用含m的代数式表示y的值，再根据方程组有正整数解求出m的值． 【详解】， 得， 解得： ∵方程组有正整数解，m为正整数， ∴或或 ∴或或 ∴或或 ∴分别代入②得，或或（不符合题意，舍去） ∴正整数m的值是1或2． 故答案为：1或2． 【变式5-3】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④x，y的值都为自然数的解有2对， 其中正确的有 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组是解法是解题的关键．求得二元一次方程组的解，再利用方程组解答意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：关于，的方程组的解为：． 则关于，的方程组的解为：， 即 解得不存在 ①的结论不正确； ， 无论取何值，，的值都不可能互为相反数， ②的结论正确； 当时，， 当时，方程组的解也是方程的解， ③的结论正确； ，的值都为自然数的解有，，，，共4对， ④的结论不正确． 综上，正确的是：②③． 故答案为：②③． 【题型六 与二元一次方程组有关的新定义型问题】 例6. （23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 解得：． 【变式6-1】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，即， 解得：． 【变式6-2】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）中考新考法 阅读理解题  新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题： 关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了二元一次方程组以及新定义的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合“友好方程组”的定义进行分类讨论，①若x值相等，y值互为相反数，先得出原方程组的解为，同理可知方程组的解为联立⑤，⑥得方程组解得以及②若y值相等，x值互为相反数，得，⑦，得，⑧，再建立方程组，进行计算，即可作答． 【详解】解：分情况讨论：①若x值相等，y值互为相反数， 由①得，由④得， 则，解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为 将代入②中，得，⑤ 同理可知方程组的解为 将代入③，得，⑥ 联立⑤，⑥得方程组解得 ②若y值相等，x值互为相反数， 由①得，由④得， 则，解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为 将代入②，得，⑦ 同理可得的解为 将代入③，得，⑧ 联立⑦，⑧得方程组 解得 综上所述，a，b的值为或 【变式6-3】（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； （3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． （2）解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． （3）解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 【题型七 二元一次方程组的特殊解法】 例7. （2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于，的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴出关于，的二元一次方程组的解是， 解得： ， ∴关于m、n的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键． 【变式7-1】（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察两个方程组结合二元一次方程组的解的定义，得出，，结合，即可作答． 【详解】解：因为方程组的解是， 所以的解是x和y， 那么得， 因为， 则解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【变式7-2】（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【分析】利用令，得到关于h，t的方程组，根据题意求得h，t，再求解即可． 【详解】解：令，，代入方程组可得 关于的方程组， 因为关于x，y的方程组的解是 则关于的方程组的解是 则，化简可得： 解得 【点睛】此题考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用换元法对式子进行变形，得到． 【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级统考期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得， 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，根据题意可得，进行求解即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解， ， ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·重庆·期中）关于x、y的方程组的解是，则的值是（    ）． A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 把方程的解代入得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 把解代入方程组进行计算可得，再将所求方程组变形得，由此可得，根据解方程即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ①②得， ， ③④得，， ∴⑤得，， ∴， 解得，， 故选：A ． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东日照·期中）已知方程是关于的二元一次方程， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程，即可进行解答． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知是方程组的解，则的值为 . 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，代数式求值． 先求出方程组的解，进而得到a、b的值，然后再代入求值即可． 【详解】原方程组为：， ①+②得：， 解得：， 把代入①， 得：， 解得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙只抄错c而其他运算全正确，解得，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的相关知识，以及已知字母的值，求代数式的值，把代入方程组，求得c值，再把代入，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，最后将a，b，c代入代数式求解即可． 【详解】解：把代入方程组得：， 解②得：， 把代入，得：③ 联立①③得：， 解得：， ∴， 故答案为：1． 9．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程组得到，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①是方程组的一个解；②当时，的值互为相反数；③若，则； ④取任意实数，的值始终不变． 其中正确的是 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解法，解题的关键是明确方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．①将，代入检验即可做出判断；②将代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去得到关于与的方程，即可做出判断． 【详解】解：①将代入方程组得：， 解得：，故原说法正确； ②将代入方程组得：， ①②得：，即， 将代入②得：， 则与互为相反数，故原说法正确； ③将代入方程组得：， 解得：， 将，代入方程的左边得：，是方程的解，故原说法正确； ④， 由①得：， 代入②得：， 整理得：，故原说法正确， 综上所述，正确的为①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题 11．（2024·陕西西安·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 整理得： ，得， 将代入①，得， 方程组的解为． 12．（2024·江苏南京·二模）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可得答案． 【详解】解： 将，得，③ 将，得，④ ，得，， 将带入①，得， ∴方程组得解为． 13．（23-24七年级下·山东日照·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1 (2) 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可； （2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2） 解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 14．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把代入方程组，然后用加减消元法求解即可； （2）把两个方程相加得，结合即可求出的值． 【详解】（1）当时，这个方程组可化为 ，得③， ，得④， 由得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以当时，这个方程组的解为 （2） 由，得， ，， 解得． 15．（23-24七年级下·山西临汾·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把代入，把代入，分别解方程即可求解； （2）把；代入，求得方程组的解，再将解代入，利用加减消元法求得的值，即可求解； （3）将的值代入，整理得，当时，方程有无数个解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为， ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得方程组为，解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在， 由（2）得关于x的方程为， 整理得， ∵关于x的方程有无数个解， ∴，解得． 16．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是_______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为 ；的解为 ． (4)发现：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，1． (2) (3)， (4) 【分析】本题以新定义为背景，考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组 （1）含项的系数和含项的系数相等，常数项相等； （2）先求和，再写共轭二元一次方程； （3）消元法求解； （4）利用整体思想求解． 【详解】（1）解：由定义可得：，， ，， 故答案为：，1． （2）解：将，和，分别代入，得： ，解得：， 二元一次方程为：， 共轭二元一次方程为：， 故答案为：． （3）解方程组， ①②得：， ， 将代入①得，， ， 方程组的解为：． 解方程组， ⑤⑥得：， ， 将代入⑤得：， ， 方程组的解为：， 故答案为：，． （4）解：将，，代入方程组得：， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$