专题02 方程与不等式(真题8个考点+模拟18个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（上海专用）

专题02 方程与不等式(真题8个考点+模拟18个考点） 一．解二元一次方程组（共3小题） 1．（2024•上海）解方程组：． 【分析】由①得出，求出或，求出或，把代入②得出，求出，求出，再把代入②得出，再求出即可． 【解答】解：， 由①，得， 或， 或， 把代入②，得， 解得：， 即； 把代入②，得， 解得：， 即， 所以方程组的解是，． 【点评】本题考查了解高次方程，能根据求出或是解此题的关键． 2．（2022•上海）解方程组：的结果为 　　． 【分析】由可知，再根据计算出，然后与联立计算即可． 【解答】解：，且， ， 可得方程组， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了高次方程组的解法，根据题干寻找解题方向及熟练掌握常见公式如平方差公式等是解题的关键． 3．（2021•上海）解方程组：． 【分析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题． 【解答】解：， 由①得：， 把代入②，得：， 化简得：， 解得：，． 把，依次代入得： ，， 原方程组的解为． 【点评】本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力． 二．根的判别式（共5小题） 4．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 【分析】求出的根为或，的根为或，可知，不符合题意；由得△，知不符合题意；由知△，知符合题意． 【解答】解：的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个相等实数根，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足△． 5．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是　　． 【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根， △，即， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 6．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】由根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式是解题的关键． 7．（2021•上海）若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 　　． 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后求出的取值范围． 【解答】解：一元二次方程无实数根， △， 解得， 的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 8．（2020•上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　4　． 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△，即可求值． 【解答】解：依题意， 方程有两个相等的实数根， △，解得， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△时，方程有两个相等的实根，当△时，方程有两个不相等的实根，当△时，方程无实数根． 三．一元二次方程的应用（共2小题） 9．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　　． 【分析】设平均每月的增长率为，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答． 【解答】解：设平均每月的增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 所以平均每月的增长率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 10．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额前六天的总营业额第七天的营业额，即可求出结论； （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）（万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 四．无理方程（共1小题） 11．（2023•上海）已知关于的方程，则　18　． 【分析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边平方得：， 解得：， 经检验是原方程的解． 故答案为：18． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 五．换元法解分式方程（共2小题） 12．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论． 【解答】解：设，则， 分式方程可变为：， 去分母得：， 整理得：， 故选：． 【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 13．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设，则原方程化为，再转化为整式方程即可求解． 【解答】解：把代入原方程得：，转化为整式方程为，即． 故选：． 【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 六．不等式的性质（共1小题） 14．（2024•上海）如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：如果，两边同时加上5得，则不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则符合题意； 如果，两边同时乘得，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 七．解一元一次不等式（共1小题） 15．（2021•上海）不等式的解集是 　　． 【分析】不等式移项，把系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：移项，得：， 系数化为1，得：， 故答案为． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 八．解一元一次不等式组（共3小题） 16．（2023•上海）解不等式组：． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键，同大取大，同小取小，大大小小取不了，小大大小取中间． 17．（2022•上海）解关于的不等式组：． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：， 由①得，， ， 解得， 由②得，， ， ， 解得， 所以不等式组的解集为：． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 18．（2020•上海）解不等式组：． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解． 【解答】解：， 解不等式①得， 解不等式②得． 故原不等式组的解集是． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 一．一元一次方程的应用（共3小题） 1．（2024•宝山区二模）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 　6.5　尺． 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【解答】解：设木长为尺， 根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 故答案为：6.5． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键． 2．（2024•徐汇区二模）市“第届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）． （1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； （2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性． 【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地， 小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生， 总路程为：（千米）， 第二次到达考场所需时间为：（小时）， 0.75小时分钟， ， 他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地； （2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场， 先将4人用车送到考场所需时间为 （分钟）， ， 此时他们与考场的距离为， 设汽车返回 后与步行的4人相遇， 则： 十， 解得， 此时汽车与考场的距离为， 汽车由相遇点再去考场所需时间为， 用这一方案送这8人到考场共需（分钟）． ， 采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．（2024•闵行区三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【分析】设该学生接温水的时间为 ，则接温水 ，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【解答】解：设该学生接温水的时间为 ， 根据题意可得：， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键． 二．解二元一次方程（共1小题） 4．（2024•静安区三模）二元一次方程的正整数解为　　． 【分析】要求二元一次方程在正整数范围内的解，首先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的取值范围，再分析解的情况． 【解答】解：，即． 由于，所以， 即． 已知是正整数，则可取1、2； 当时，； 当时，． 故该二元一次方程的正整数解为：．故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次方程和不定方程的解法，能够根据已知条件求出的取值范围进而得到的正整数值是解决问题的关键． 三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 5．（2024•闵行区二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金两，1只羊值金两，那么可列方程组为 　　． 【分析】根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 四．二元一次方程组的应用（共1小题） 6．（2024•金山区二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 　20　千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 　　元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【分析】（1）由图直接可得答案； （2）由20千克草莓销售额为400元列式计算即可； （3）求出，，再根据销售利润为2000元列方程计算即可． 【解答】解：（1）由图可知，当销售量为20千克时，销售额和成本相等； 故答案为：20； （2）（元千克）， 每千克草莓的销售价格是20元； 故答案为：20； （3）设，， 根据图象可知，，， 解得，， ，， 销售利润为2000元， ， 解得， 如果销售利润为2000元，那么销售量为多220千克． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 五．换元法解一元二次方程（共1小题） 7．（2024•徐汇区三模）若实数满足，则　3　． 【分析】利用换元法设，解即可，注意． 【解答】解；设，则， 原方程变为 解得，（不合题意舍去） ． 【点评】本题考查了用换元法解题的能力． 六．根的判别式（共5小题） 8．（2024•虹口区二模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△”是解题的关键． 9．（2024•宝山区二模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为　　 A． B． C． D．4 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到△，建立关于的方程，解答即可． 【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根， △， ， 解得， 故选：． 【点评】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时△；当一元二次方程有两个相等的实数根时，△；当方程没有实数根时，△，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 10．（2024•普陀区二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用直接开平方法据诶方程可对、选项进行判断；通过计算根的判别式的值，利用根的判别式的意义判断方程根的情况，则可对、选项进行判断． 【解答】解：．，解得，所以选项不符合题意； ．，解得，，所以选项符合题意； ．△，方程没有实数解，所以选项不符合题意； ．△，方程有两个相等的实数解，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 11．（2024•徐汇区二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 　有两个不相等的　实数根． 【分析】先计算出△的值得到△，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12．（2024•浦东新区二模）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 　　． 【分析】根据根的判别式：△，来列出关于的式子，再求出的取值范围即可． 【解答】解：△， 方程没有实数根， △， 即：， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据方程的根的情况，列出关于的式子． 七．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 13．（2024•杨浦区二模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为，根据题意可列方程 　　． 【分析】根据上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，列方程即可． 【解答】解：根据题意得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 14．（2024•黄浦区二模）现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为 　　． 【分析】设原矩形纸片的长是厘米，则宽为厘米，所得的长方体的长为厘米，宽为厘米，高为2厘米，根据“所得的长方体的体积是48立方厘米”即可列出方程． 【解答】解：设原矩形纸片的长是厘米，则宽为厘米，所得的长方体的长为厘米，宽为厘米，高为2厘米， 根据题意，得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解． 八．一元二次方程的应用（共1小题） 15．（2024•嘉定区二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数 1 2 3 利润数（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【分析】（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由1，3月份的利润数，利用待定系数法，即可求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将，代入得：， 解得：． 这个企业在2022年1至3月的利润数关于与月份数的函数关系式为， 当时，． 答：2月份的利润为98万元； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 九．解二元二次方程组（共4小题） 16．（2024•长宁区二模）解方程组：． 【分析】把②变形为，可得或，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解． 【解答】解：由②得：， 或， 原方程组相当于和， 分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组． 17．（2024•嘉定区二模）解方程组：． 【分析】把变形得，从而可将原方程组降次，转化为两个二元一次方程组求出答案． 【解答】解：由得：， 或； 原方程组可化为两个二元一次方程组： 或， 分别解这两个方程组，得原方程组的解是 或． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是把方程组降次，转化为两个二元一次方程组． 18．（2024•静安区三模）解方程组：． 【分析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：， 由方程（1）可得或， 则方程组可变为或， 解得或． 【点评】考查了高次方程，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 19．（2024•黄浦区三模）解方程组： 【分析】由②得从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【解答】解：由②得：， ，即或， 原方程组可化为两个二元一次方程组： （Ⅰ）或（Ⅱ）， 解（Ⅰ）得：； 解（Ⅱ）得：； 原方程组的解是或． 【点评】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 一十．无理方程（共5小题） 20．（2024•普陀区校级三模）下列方程中有实数根的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的非负性逐项判断即可． 【解答】解：， ，故无实数解，不符合题意； ，， 无实数解，不符合题意； 中，， ， 而，故无实数解，不符合题意； 当时，， 故有实数解，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查无理方程的解，解题的关键是掌握算术平方根的非负性． 21．（2024•崇明区二模）方程的根是 　　． 【分析】将方程，移项得，再将方程两边同时平方转化为整式方程，解这个整式方程，然后再检验即可得出答案． 【解答】解：对于方程，移项得：， 方程两边同时平方，得：， 解得：， 经检验得：是方程的根． 方程的根是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键． 22．（2024•宝山区二模）方程的解是 　．　． 【分析】首先将两边同时平方得，再解这个整式方程求出，然后再进行检验即可得出原方程的解． 【解答】解：对于方程，两边同时平方得：， 移项得：， ， 或， 由，解得：， 由，解得：， 经检验得：为增根，是原方程的根． 方程的解是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键． 23．（2024•宝山区校级模拟）方程的解是 　　． 【分析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边平方，得， 整理得：， ， 或， 解得：或， 经检验：是原方程的解，不是原方程的解， 所以原方程的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 24．（2024•静安区二模）方程的根为 　　． 【分析】依据题意，，从而，可得，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意得，， ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了无理方程的意义，解题时要能根据二次根式的意义得出的范围是关键． 一十一．解分式方程（共3小题） 25．（2024•浦东新区三模）解方程：． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：， 整理得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 检验：当时，， 当时，， 是增根，分式方程的解为． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 26．（2024•普陀区二模）解方程：． 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， ， 方程两边都乘，得， 整理得：， ， ，， 检验：当时，， 所以是分式方程的解； 当时，， 所以是增根， 所以分式方程的解是． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 27．（2024•宝山区二模）解方程：． 【分析】通过方程两边都乘以最简公分母，将原方程化为整式方程再求解、检验． 【解答】解：方程两边同时乘， 得， 整理，得， 解得或， 检验：当时，最简公分母； 当时，最简公分母， 原方程的解是或． 【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验． 一十二．换元法解分式方程（共3小题） 28．（2024•长宁区三模）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】设，则原方程可化为，整理后即可得出选项． 【解答】解：， ， 设，则原方程可化为， 方程两边都乘，得， 即． 故选：． 【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键． 29．（2024•嘉定区二模）用换元法解方程：时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 　　． 【分析】根据设，则方程可转化为：，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可． 【解答】解：设，则方程可转化为：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了换元法，熟练掌握换元法是解决问题的关键． 30．（2024•长宁区二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 　　． 【分析】设，则原方程转化为，再方程两边都乘即可． 【解答】解：， 设，则原方程转化为：， 方程两边都乘，得， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键． 一十三．由实际问题抽象出分式方程（共1小题） 31．（2024•宝山区校级模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设乙组每小时植树棵，可列出方程为， 故选：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 一十四．不等式的性质（共2小题） 32．（2024•杨浦区二模）已知，下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知， 两边同乘得，则不符合题意； 两边同乘，再同时加2得，则符合题意； 两边同乘2得，则不符合题意； 两边同时减得，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 33．（2024•松江区二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质分析判断． 【解答】解：， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项不符合题意； ，是任意实数， ， ，故选项不符合题意，选项符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质． 一十五．解一元一次不等式（共4小题） 34．（2024•金山区二模）不等式的解集是 　　． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得． 【解答】解：， ， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 35．（2024•虹口区二模）解不等式：的解集为 　　． 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【解答】解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 36．（2024•宝山区二模）不等式的解集是 　　． 【分析】根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可． 【解答】解：去分母，得． 移项，得． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集． 37．（2024•普陀区校级三模）如图，在数轴上，点，分别表示数2，．如果点在点的右侧，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，数轴，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 一十六．一元一次不等式的整数解（共1小题） 38．（2024•嘉定区二模）不等式的最小整数解是 　5　． 【分析】移项、合并同类项得出其解集，从解集中找到最小整数即可． 【解答】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 该不等式的最小整数解为5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键． 一十七．解一元一次不等式组（共5小题） 39．（2024•静安区三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与如图中表示的的取值范围相同的是　　 A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为1.5、2.5和 D．到2.5所表示的点的距离不大于1.5的点所表示的 【分析】求出不等式组的解集可判断选项；根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，可判断选项；根据三角形的三边关系可判断选项，根据数轴上的点的距离公式可判断选项． 【解答】解：由题意可知，图中表示的的取值范围是． ．不等式组的解集为，故本选项不符合题意； ．代数式中的的取值范围是，故本选项不符合题意； ．的三边长分别为1.5、2.5和，则，故本选项不符合题意； ．到2.5所表示的点的距离不大于1.5的点所表示的，则，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上不是不等式的解集，掌握三角形的三边关系、解一元一次不等式组的步骤以及二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 40．（2024•徐汇区二模）不等式组的解集是 　　． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 41．（2024•奉贤区二模）不等式组的解集是 　　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 42．（2024•闵行区二模）不等式组的解集是 　　． 【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 43．（2024•浦东新区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 一十八．一元一次不等式组的整数解（共4小题） 44．（2024•黄浦区三模）不等式组的整数解是 　0，1　． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集是， 故该不等式组的整数解是0，1， 故答案为：0，1． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 45．（2024•徐汇区三模）不等式组的整数解是 　，　． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， ， 不等式组的整数解为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 46．（2024•杨浦区三模）解不等式组：，并写出它的整数解． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解是，，0，1，2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 47．（2024•宝山区校级模拟）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的自然数解是0，1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式(真题8个考点+模拟18个考点） 一．解二元二次方程组（共3小题） 1．（2024•上海）解方程组：． 2．（2022•上海）解方程组：的结果为 　　． 3．（2021•上海）解方程组：． 二．根的判别式（共5小题） 4．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 5．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是　　． 6．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 7．（2021•上海）若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 　　． 8．（2020•上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　　． 三．一元二次方程的应用（共2小题） 9．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　　． 10．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 四．无理方程（共1小题） 11．（2023•上海）已知关于的方程，则　　． 五．换元法解分式方程（共2小题） 12．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 13．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 六．不等式的性质（共1小题） 14．（2024•上海）如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 七．解一元一次不等式（共1小题） 15．（2021•上海）不等式的解集是 　　． 八．解一元一次不等式组（共3小题） 16．（2023•上海）解不等式组：． 17．（2022•上海）解关于的不等式组：． 18．（2020•上海）解不等式组：． 一．一元一次方程的应用（共3小题） 1．（2024•宝山区二模）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 　　尺． 2．（2024•徐汇区二模）市“第届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）． （1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； （2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 3．（2024•闵行区三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 二．解二元一次方程（共1小题） 4．（2024•静安区三模）二元一次方程的正整数解为　　． 三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 5．（2024•闵行区二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金两，1只羊值金两，那么可列方程组为 　　． 四．二元一次方程组的应用（共1小题） 6．（2024•金山区二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 　　千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 　　元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 五．换元法解一元二次方程（共1小题） 7．（2024•徐汇区三模）若实数满足，则　 　． 六．根的判别式（共5小题） 8．（2024•虹口区二模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 9．（2024•宝山区二模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为　　 A． B． C． D．4 10．（2024•普陀区二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是　　 A． B． C． D． 11．（2024•徐汇区二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 　　实数根． 12．（2024•浦东新区二模）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 　　． 七．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 13．（2024•杨浦区二模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为，根据题意可列方程 　　． 14．（2024•黄浦区二模）现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为 　　． 八．一元二次方程的应用（共1小题） 15．（2024•嘉定区二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数 1 2 3 利润数（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 九．解二元二次方程组（共4小题） 16．（2024•长宁区二模）解方程组：． 17．（2024•嘉定区二模）解方程组：． 18．（2024•静安区三模）解方程组：． 19．（2024•黄浦区三模）解方程组： 一十．无理方程（共5小题） 20．（2024•普陀区校级三模）下列方程中有实数根的是　　 A． B． C． D． 21．（2024•崇明区二模）方程的根是 　　． 22．（2024•宝山区二模）方程的解是 　　． 23．（2024•宝山区校级模拟）方程的解是 　　． 24．（2024•静安区二模）方程的根为 　　． 一十一．解分式方程（共3小题） 25．（2024•浦东新区三模）解方程：． 26．（2024•普陀区二模）解方程：． 27．（2024•宝山区二模）解方程：． 一十二．换元法解分式方程（共3小题） 28．（2024•长宁区三模）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 29．（2024•嘉定区二模）用换元法解方程：时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 　　． 30．（2024•长宁区二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 　　． 一十三．由实际问题抽象出分式方程（共1小题） 31．（2024•宝山区校级模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为　　 A． B． C． D． 一十四．不等式的性质（共2小题） 32．（2024•杨浦区二模）已知，下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 33．（2024•松江区二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 一十五．解一元一次不等式（共4小题） 34．（2024•金山区二模）不等式的解集是 　　． 35．（2024•虹口区二模）解不等式：的解集为 　　． 36．（2024•宝山区二模）不等式的解集是 　　． 37．（2024•普陀区校级三模）如图，在数轴上，点，分别表示数2，．如果点在点的右侧，那么的取值范围是 　　． 一十六．一元一次不等式的整数解（共1小题） 38．（2024•嘉定区二模）不等式的最小整数解是 　　． 一十七．解一元一次不等式组（共5小题） 39．（2024•静安区三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与如图中表示的的取值范围相同的是　　 A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为1.5、2.5和 D．到2.5所表示的点的距离不大于1.5的点所表示的 40．（2024•徐汇区二模）不等式组的解集是 　　． 41．（2024•奉贤区二模）不等式组的解集是 　　． 42．（2024•闵行区二模）不等式组的解集是 　　． 43．（2024•浦东新区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 一十八．一元一次不等式组的整数解（共4小题） 44．（2024•黄浦区三模）不等式组的整数解是 　　． 45．（2024•徐汇区三模）不等式组的整数解是 　　． 46．（2024•杨浦区三模）解不等式组：，并写出它的整数解． 47．（2024•宝山区校级模拟）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$