精品解析：江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 考试时间120分钟，总分150分 命题人： 一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接求解. 【详解】因为，， 所以. 故选:D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法计算 【详解】 故选：A. 3. 函数的周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简函数，再利用周期公式计算； 【详解】 则周期. 故选：B. 4. 在中，角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积运算先求出，再由正、余弦定理求解. 【详解】，所以， 则，即， 由正弦定理，. 故选:． 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【详解】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 6. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，分别写出的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵，， ∴， ∵点在边上，且，∴， ∴，， ∴. 故选：D. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 8. 已知，满足，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 若，与垂直的单位向量只能为 C. 若，则 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据得到A正确；B选项，求出与垂直的单位向量为或；C选项，根据平行得到方程，求出；D选项，根据夹角为钝角得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，，，与垂直的单位向量为或，B错误； C选项，由平行可得，解得，C正确； D选项，向量与向量的夹角为钝角，故且与不反向共线， 故，， 所以的取值范围是且，D错误. 故选：AC 10. 在中，，，则边的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形即可求得结果. 【详解】，， 由余弦定理得：， 即，解得：或；经检验，均满足题意. 故选：BD. 11. 下列化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，逆用余弦差角公式化简；B选项，利用正切和角公式化简；C选项，利用辅助角公式得到答案；D选项，利用正弦和角公式求出答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项， ，D正确. 故选：BCD. 三、填空题： 本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求解； 【详解】复数的共轭复数是. 故答案为：. 13. 已知在中，为上的一点，且，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合向量的线性运算公式及平面向量基本定理可得，进而可求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则. 故答案为：或. 14. 已知为锐角且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可. 【详解】解：由，得 ， 则， 是锐角，. 故答案为：. 四、解答题： 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中i是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若，求的虚部． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可； （2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为为纯虚数，所以且，综上，． 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以，所以， 所以的虚部为1． 16. 已知向量 满足，的夹角是 求： （1）求 的值； （2）求向量 的模； （3）记 与的夹角为，求的余弦值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义可求． （2）用模长公式可求． （3）用数量积定义反求夹角的余弦值即可． 【小问1详解】 ∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴ ； ．． 【小问3详解】 ∵， ∴ 17. 设. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，代入即可求得的值；整体代入法即可求得的单调递增区间； （2）先求得，再利用两角和的正弦公式即可求得的值. 【小问1详解】 ， 则， 由，可得 则的单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）得 又由，可得，则， 由，可得，又， 则，则 则 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求的大小； （2）设平分角交于点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角函数恒等变换求解； （2）根据，得，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得 ， 即， 则． 因为，所以，即， 得或，解得或， 又，所以； 【小问2详解】 ， ，即， ， 当且仅当时等号成立， 的最小值为． 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 函数的“源向量”为， 所以， 所以函数的值域为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 考试时间120分钟，总分150分 命题人： 一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则等于（　　） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的周期是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 8. 已知，满足，，则值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 若，与垂直的单位向量只能为 C. 若，则 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 10. 在中，，，则边的长可能为（ ） A. B. C. D. 11. 下列化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题： 本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数是_________． 13. 已知在中，为上的一点，且，若，则_________． 14. 已知为锐角且满足，则______. 四、解答题： 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中i是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若，求的虚部． 16. 已知向量 满足，的夹角是 求： （1）求 的值； （2）求向量 的模； （3）记 与的夹角为，求的余弦值． 17. 设. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求的值. 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求的大小； （2）设平分角交于点，且，求的最小值． 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $