精品解析：河南省百师联盟联考2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题

2023—2024学年度高二6月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等比数列，公比，则（ ） A. 81 B. 27 C. 32 D. 16 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是 A. B. C. D. 6. 哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ） A. 2041年～2042年 B. 2061年～2062年 C. 2081年～2082年 D. 2101年～2102年 7. 已知正方体的棱长为3，分别在上，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 8. 若 则 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，则 B. 若随机变量服从正态分布，则 C 若随机变量服从两点分布，，则 D. 若随机变量的方差，则 10. 已知点在圆上，点，，则（ ） A. 存点，使得 B. C. 存在点，使得 D. 11. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则的值可能为7 12. 设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ） A. 的拐点为 B. 有极值点，则 C. 过的拐点有三条切线 D. 若，，则 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在的展开式中，的系数为_________. 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 15. 已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______. 16. 已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则_____． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数零点个数． 18. 2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）： 满意 不满意 合计 男性 10 50 女性 60 合计 120 （1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列； （3）在抽出120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的对象中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，，． （1）证明：； （2）求平面和平面夹角余弦值． 21. 已知椭圆方程为，离心率为且过点． （1）求椭圆方程； （2）过左焦点的直线交椭圆于两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度高二6月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求的值. 【详解】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 所以，解得； 故选：C. 2. 某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有种方法，再与另外2人一起进行排列，有种方法，相乘即可得到答案. 【详解】4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学， ∴4名同学不同的分组方法只能为2，1，1， ∴不同安排方法有(种). 故选：D. 3. 已知为等比数列，公比，则（ ） A. 81 B. 27 C. 32 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】根据可得，所以或， 若，则不符合要求， 若，则符合要求，故， 故选：A 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】密码被破译分三种情况：甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲乙都破译出密码，根据相互独立事件的概率和公式可求解出答案. 【详解】设 “甲独立地破译一份密码” 为事件A， “乙独立地破译一份密码” 为事件B， 则，，，， 设 “密码被破译” 为事件C ， 则， 故选：B. 【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 5. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义和离心率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，，∵，∴，∴， ∵，∴离心率是， 故选：C. 6. 哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ） A. 2041年～2042年 B. 2061年～2062年 C. 2081年～2082年 D. 2101年～2102年 【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列求出其通项公式，给赋值即可． 【详解】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列， 则等差数列的通项公式为， ，， 可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年． 故选：B． 7. 已知正方体的棱长为3，分别在上，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得的坐标，再利用空间向量的模的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为，所以， 所以，故. 故选：A. . 8. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，构造函数，求导、研究单调性、极值、最值比较大小即可. 【详解】由题意知：，令， ，由，解得， 在，在， 所以在上单调递增；在上单调递减. 因为，所以，即，也就是， 又，因为在上仅有一个极大值， 所以，即最大，所以. 故选：A. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，则 B. 若随机变量服从正态分布，则 C. 若随机变量服从两点分布，，则 D. 若随机变量的方差，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解. 【详解】对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确. 对于B，若随机变量服从正态分布，则， 故，故选项B正确. 对于C，若，，，故选项C错误. 对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误. 故选：AB. 10. 已知点在圆上，点，，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. 存在点，使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设，若，推出恒成立，即可判断C、D. 【详解】圆即，圆心，半径，又， 所以，因为点在圆上，所以， 所以存在点，使得，故A对． 因为，所以点在圆外，又，点在圆内， 所以当与圆相切时，取最大值， 此时，所以，故B对． 对于D，设，若 ， 又点在圆上，一定成立，故D对，C错. 故选：ABD． 11. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则的值可能为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列与的下标关系判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD 12. 设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ） A. 的拐点为 B. 有极值点，则 C. 过的拐点有三条切线 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，二次求导，解方程，求出拐点为；B选项，有变号零点，由根的判别式得到不等式，得到B正确；C选项，举出反例，求出过的拐点只有1条切线；D选项，二次求导得到函数的拐点，从而得到对称中心，，得到D正确. 【详解】A选项，，， 令，解得， 故的拐点为，A正确； B选项，有极值点，则有变号零点， 故，故，B正确； C选项，不妨设，此时，拐点为， ，切点为，， 故切线方程为， 将代入得，， 故过的拐点有1条切线，C错误； D选项，，时，， ，， 令得，，则， 故拐点为， 则关于点对称， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质比如三次函数零点问题，极值点情况等. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在的展开式中，的系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理分析可得，进而可得结果. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案. 【详解】解：， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又在上递减， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】利用等比数列性质得，结合已知得，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于数列为正项等比数列，所以， 因此， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为12. 故答案为：12 16. 已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，联立方程组求得，得到直线的倾斜角为，结合斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为， 联立方程组，解得，即， 又由，可得轴，因为，可得， 所以直线的倾斜角为， 因为抛物线的焦点为，则， 整理得且，解得， 即，解得或（舍去）. 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的零点个数． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）先求切点，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程. （2）求导，分析函数的单调性，根据函数的极值判断函数零点的个数. 【小问1详解】 函数，可得， 所以且，即切线的斜率为且切点坐标为， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，单调递减 当时，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也为最小值，， 所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为0． 18. 2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）： 满意 不满意 合计 男性 10 50 女性 60 合计 120 （1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列； （3）在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的对象中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，无关 （2）分布列见解析； （3）2 【解析】 【分析】（1）先完善列联表，计算出，结合临界值表即可求解； （2）先求出抽到男性家长的概率，判断出随机变量服从二项分布，再由二项分布的概率公式列出分布列即可； （3）先由分层抽样求出满意的家长中男性家长和女性家长的人数，得出的取值为0，1，2，分别求出对应概率，求出期望，解不等式即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，得到列联表如下： 满意 不满意 合计 男性 40 10 50 女性 60 10 70 合计 100 20 120 零假设：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”，所以没有充分证据证明零假设不成立，所以没有90%的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”. 【小问2详解】 解：从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率为， 且各次抽取之间相互独立，所以随机变量， 所以，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】解：从给出“满意”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人， 其中男性有人，女性有人，所以随机变量的取值为， 可得， 则随机变量的数学期望， 则，解得，又因为，故的最大值为2. 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列式计算可得结果； （2）根据分组求和法、等差数列求和公式及等比数列求和公式可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，，解得， 所以， 故数列的通项公式 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 故数列的前项和. 20. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，，． （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 平面，又平面，． ，． 又平面，平面． 又平面，． 【小问2详解】 由题及（1）可知两两相互垂直，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意可得：， ， 设平面和平面的法向量分别为， 则，. 取， 平面和平面夹角的余弦值为： ． 21. 已知椭圆方程为，离心率为且过点． （1）求椭圆方程； （2）过左焦点的直线交椭圆于两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，3 【解析】 【分析】（1）根据离心率和顶点坐标直接求的值，得椭圆方程； （2）分直线斜率为零和不是零讨论，当直线斜率不为零时，设直线方程为，联立方程组，借助韦达定理，进行向量运算求解. 【小问1详解】 由题，， ，所以， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知，． 当直线斜率为零时，不妨设， 则， 此时存在，使成立， 当直线斜率不为零时，设直线方程为， 联立方程组消去得，易知， 所以， ， ， 又因为， 所以， 又因为，当时，最小为3． 综上，存在，使成立，最小为3． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 22. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数讨论函数的单调性可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 当时，，R上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$