复习课第03讲 与三角形有关的线段-2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第03讲 与三角形有关的线段 1.掌握三角形的三边关系； 2.掌握三角形的高、中线、角平分线的概念，会处理与之有关的几何问题. 1 三角形 (1)概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. (2)分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 2 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 3 与三角形有关的线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 (2)中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心. (3)角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型一】 三角形三边关系 【典题1】一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是(   ) A．5 B．6 C．7 D．8 变式练习 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是(    ) A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm， 3cm，6cm 2.一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是(　　) A． B． C． D． 3.在中，，，，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【题型二】 与三角形的高有关的计算问题 【典题1】 如图所示，在中，，，于点D，且，若点P在边上移动，的最小值(    ) A．4．6 B．4．8 C．5 D．5．2 变式练习 1. 在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为(　　) A． B． C． D． 2.如图：是的边上的中线，若，，，边上的高，边上的高(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 3.如图，、是的高，，，，则(    ) A． B．10 C． D．6 4.如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则(  )    A． B． C． D． 5.如图，在中，，三角形面积为27，点O是边上任意一点，则点O分别到，边的距离之和等于(    ) A．5 B． C．9 D．10 6.如图，中，，点D在上，于E、于F，若，面积为，则的长为 ． 【题型三】 根据三角形中线求长度 【典题1】 如图，已知为的中线， ， ，的周长为，则的周长为 ．    变式练习 1.如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，CM是的中线，，，则的周长比的周长大(    )      A．3 B．4 C．5 D．6 3.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为(      ) A．或 B． C． D．或 4.如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 【题型三】 根据三角形中线求面积 【典题1】 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于(    )． A． B．1 C． D．2 变式练习 1.如图，在中，为的中点，连接，取的中点，连接若的面积是1，则的面积是 ．    2.在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ． 3.如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．若的面积为16，则的面积为(    ) A． B． C． D． 4.如图，在中，点D是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 5.如图，在中，，是边上的中线，和的周长之差为，且与的和为． (1)求、的长； (2)若，是的中点，求的面积． 【题型四】 三角形的角平分线 【典题1】 如图所示，若有，，则下列结论中错误的是(   ) A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 【典题2】如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于(　　) A．120° B．130° C．115° D．110° 变式练习 1. 如图，在中，，则下列说法中，正确的是(　　) A．是的中线 B．是的角平分线 C．是的高线 D．是的中线 2.如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是(    )    A． B． C． D． 3.如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是(    )    A． B． C． D． 4.如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点则的度数是(  ) A． B． C． D． 5.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是(　　)    A．115° B．110° C．100° D．90° 6.如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线……，若，则为(　　)°． A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是(    ) A． B． C． D． 2.如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是(  　)    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 3.如图，在中，是边上的中线，是边上的高，若，，则的长度为(    ) A． B． C． D． 4.如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是(    ) A． B． C． D． 5.如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为(    ) A．8 B．10 C．12 D．14 6.中，，，若第三边c的长为偶数，则的周长为 7.如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ． 8.如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 9.如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【B组---提高题】 1.如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为(  ) A．3 B．4 C．5 D．6 2.如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 3.【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 (1)如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． (2)如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 (用含S的代数式表示)；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 与三角形有关的线段 1.掌握三角形的三边关系； 2.掌握三角形的高、中线、角平分线的概念，会处理与之有关的几何问题. 1 三角形 (1)概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. (2)分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 2 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 3 与三角形有关的线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 (2)中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心. (3)角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型一】 三角形三边关系 【典题1】一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是(   ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选：B． 变式练习 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是(    ) A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm， 3cm，6cm 【答案】B 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形；不符合题意； B．，能组成三角形；符合题意； C．，不能够组成三角形；不符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 2.一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 3.在中，，，，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系定理，可得不等式，解此不等式即可． 本题主要考查了三角形三边关系，解决问题的关键是熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边；任意两边差小于第三边”． 【详解】∵中，，，， 根据三角形的三边关系定理可得， ， ∴， 解得，． 故选：B． 4.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形． 【详解】解：若3为腰长，7为底边长， ∵， ∴三角形不存在， 若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边， ∴这个三角形的周长， 故答案为：． 【题型二】 与三角形的高有关的计算问题 【典题1】 如图所示，在中，，，于点D，且，若点P在边上移动，的最小值(    ) A．4．6 B．4．8 C．5 D．5．2 【答案】B 【分析】根据最短路径问题得：当时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案． 【详解】解：由题意得：当时，的值最小， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当时，的值最小是解题的关键． 变式练习 1. 在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短，以及三角形的面积公式．根据三角形的面积公式，得出，即可解答． 【详解】解：如图，根据题意，为边上的中线，过A作于M，      由垂线段最短知，， ∴ ， ∴， ∴的面积不可能为． 故选：D． 2.如图：是的边上的中线，若，，，边上的高，边上的高(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，列出等式，解答即可． 【详解】解：设边上的高为， ∵， ∴， 解得：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的高和三角形面积的求法，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半． 3.如图，、是的高，，，，则(    ) A． B．10 C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解： ， ， 故选：C． 4.如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则(  )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴(三角形三条高所在的直线交于一点)， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 5.如图，在中，，三角形面积为27，点O是边上任意一点，则点O分别到，边的距离之和等于(    ) A．5 B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握运用三角形面积的方法是解答本题的关键．连接，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点作，，连接， ∵在中，，该三角形的面积为27， ∴ ， 解得：， 即点O分别到，边的距离之和等于9． 故选：C． 6.如图，中，，点D在上，于E、于F，若，面积为，则的长为 ． 【答案】4 【分析】连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ，，，的面积为， ， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，作辅助线把分成两个三角形列出方程是解题的关键． 【题型三】 根据三角形中线求长度 【典题1】 如图，已知为的中线， ， ，的周长为，则的周长为 ．    【答案】18 【分析】此题考查了三角形的周长和中线，根据线段的和可得出，根据中线的定义得出，从而得出，最后再根据线段的和即可得出答案． 【详解】 的周长为， ∴， ∵ ， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故本题答案为：． 变式练习 1.如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2.如图，CM是的中线，，，则的周长比的周长大(    )      A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线，，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键． 【详解】∵为的边上的中线， ∴， ∴的周长与的周长大：， 故选：A． 3.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为(      ) A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 4.如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出． 【详解】解： 边上的高，，的面积是， ，即， ， 是边上的中线， ， 故答案为：8． 【题型三】 根据三角形中线求面积 【典题1】 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于(    )． A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出 进而求得 然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵点分别是边上的中点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵ 故选：B． 变式练习 1.如图，在中，为的中点，连接，取的中点，连接若的面积是1，则的面积是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形中线的性质求解即可，熟练掌握三角形的中线将三角形面积分成面积相同的两部分是解题关键． 【详解】解：∵点为的中点， 的面积是， ∵为的中点， 故答案为：． 2.在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的面积，关键是中线的性质，利用高相等，底边的比就是面积比是常用的求面积的方法． 根据三角形的中线平分面积，以及同高三角形面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与共高， ∴， ∴， ∴， ∵D是边的中点， 同理可得：， ∴， 故答案为：5． 3.如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．若的面积为16，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线性质、图形类规律探究，根据三角形的中线平分该三角形的面积得到的面积变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，, ， ， 依次类推，， 故选：D． 4.如图，在中，点D是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与相交于点O，连接，根据三角形的中线性质可得，，从而可得，再根据已知可得，从而可得，然后根据图形面积的和差关系进行计算，即可解答， 本题考查了三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：设与相交于点O，连接 ∵点D是边的中点，的面积是4， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴，故C不正确，不符合题意， ∵，， ∴，故A不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 5.如图，在中，，是边上的中线，和的周长之差为，且与的和为． (1)求、的长； (2)若，是的中点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形的中线的性质： （1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长及题意可得，，由可得，进而可求解； （2）根据三角形的中线的性质可得，，进而可求解； 熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， ， 和的周长之差为， ， 与的和为，即， 得：， 解得：， ． （2）， ， 是边上的中线，为的中点， ，， ． 【题型四】 三角形的角平分线 【典题1】 如图所示，若有，，则下列结论中错误的是(   ) A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义，对选项逐个判断即可．此题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 【详解】解： 是的平分线，A选项正确，不符合题意； 是的平分线，B选项正确，不符合题意； ，C选项正确，不符合题意； ∵从题干条件无法证明 嗯嗯不是的平分线，D选项错误，符合题意； 故选：D． 【典题2】如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于(　　) A．120° B．130° C．115° D．110° 【答案】C 【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣(∠ABC+∠ACB)． ∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BDC=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A=90°+×50°=115°．故选C． 变式练习 1. 如图，在中，，则下列说法中，正确的是(　　) A．是的中线 B．是的角平分线 C．是的高线 D．是的中线 【答案】B 【分析】利用已知条件可得，即可得到答案． 【详解】解：A、点不是的中点，故不是的中线，故A错误； B、∵， ∴， 即， ∴是的角平分线，故B正确； C、无法得到，不一定是的高线，故C错误； D、无法得到为的中点，不一定是的中线，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中线高线、角平分线的判断，解题的关键是根据题意得到． 2.如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ，故选项A正确，不合题意； ，故选项B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键． 3.如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵是的角平分线，、 ∴，B选项正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴，C选项错误，符合题意； ∵是的高， ∴，D选项正确，不符合题意； 故选D． 4.如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点则的度数是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可得到，代入求值即可； 【详解】∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴, 又∵， ， ∴． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质与内角和定理，准确分析题目是解题的关键． 5.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是(　　)    A．115° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【分析】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数． 【详解】∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°， ∵BE、CF是△ABC的角平分线， ∴ ∴ ∴∠BDC=180°﹣65°=115°， 故选A． 【点睛】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键. 6.如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线……，若，则为(　　)°． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， 得：， ， 由和得：， ， ， 同理， ， … ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 【A组---基础题】 1.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 2.如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是(  　)    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 【答案】C 【分析】由平行线间距离处处相等以及同底等高的两个三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解：由且平行线间距离处处相等，即可得到与的边上的高相等，同底等高的两个三角形的面积相等， 即与的面积相等， 故选：C 【点睛】此考查了平行线间的距离、三角形的面积等知识，熟练掌握平行线间距离处处相等是解题的关键． 3.如图，在中，是边上的中线，是边上的高，若，，则的长度为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可求得，再由面积公式即可求出的长度，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4.如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 , 故正确；   故正确； 故错误； 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键． 5.如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为(    ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 6.中，，，若第三边c的长为偶数，则的周长为 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解： ，， ，即， 第三边c的长为偶数， ， 的周长为， 故答案为：10． 7.如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ． 【答案】11 【分析】此题考查三角形的中线的性质．根据三角形的面积得出的面积为88，再利用中线的性质得出的面积为88，进而解答即可． 【详解】解：，， 的面积为：， 是的中线， 的面积为88， 点到的距离是． 故答案为：11． 8.如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． (1)根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； (2)根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； (3)过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】(1)证明：平分， ， ， ， ； (2)解：，， ， 平分， ， ， ， ； (3)解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 9.如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． (1)的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； (2)由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】(1)解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： (2)解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【B组---提高题】 1.如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为(  ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查三角形中线及垂线段最短问题，关键是根据三角形中线的性质利用面积公式得出解答．连接，过点作于，根据三角形中线的性质利用面积公式得出，进而利用距离最短解答即可． 【详解】解：连接，过点作于， ，分别是、的中点， ，，， ，， ， ， ， ， 点到直线的距离垂线段最短， ， 的最小值为5， 故选：C 2.如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 3.【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 (1)如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． (2)如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 (用含S的代数式表示)；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【答案】探究：，理由见解析；应用：24；拓展：(1)54；(2)，32 【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论； 应用：连接，，，运用探究结论可知，则，同理可得，即可求得阴影部分的面积； 拓展：(1)如图，连接，，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论； (2)连接并延长交于，可知是边上的中点，记6个小三角形的面积分别为，，，，，，可得，进而可得，可知四边形面积，要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，则只需要，可得的面积最大值为，即可求得四边形面积最大值． 本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质． 【详解】解：探究：，理由如下： 过点作，交于， ∵是中边上的中线，则， ∴， 即：； 应用：连接，，， ∵点A、B、C分别是、、的中点， ∴，，， ∴， 则， 同理可得， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：24； 拓展：(1)如图，连接，． ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积 ． 故答案为：54； (2)连接并延长交于， ∵点、是、边上的中点， ∴是边上的中线， 记6个小三角形的面积分别为，，，，，， 则，，，， ∴，即：， ∴，即：， 同理可知，， ∴， ∴四边形面积， 要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大， ∵中，，， ∴要使得的面积最大，则只需要， ∴的面积最大值为， 则四边形面积最大值为， 故答案为：，32． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$