复习课第02讲 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 - 2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第02讲 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 1.会用二元一次方程组解决生活中的实际问题； 2.会用一元一次不等式组解决生活中的实际问题. 实际问题的求解步骤 ① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”. ② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量. ③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系； ④ 列：根据相等关系列方程； ⑤ 解：求解未知数； ⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位. 【题型一】实际问题与二元一次方程 角度1 数字问题 【典题1】 一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 变式练习 1. 有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 角度2 几何问题 【典题1】如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 变式练习 1. 如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 2.如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是(    ) A． B． C． D． 3.如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 角度3 行程问题 【典题1】 在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． (1)你能求出甲、乙两人的速度吗？ (2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 变式练习 1. 已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．设长江、黄河的长分别是x千米，y千米，则下列方程组中正确的是(    ) A． B． C． D． 2. A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？ 角度4 销售问题 【典题1】 某超市购进A，B型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 大米种类 进价(元/袋) 售价(元/袋) A型 25 35 B型 30 42 (1)已知购进A，B型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？ (2)若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？ 变式练习 1. 某中学七年级(3)班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 2.为了适合不同人群的口味，莱芜信誉楼超市购进了巧克力味、牛奶味的两种草莓进行销售．已知箱巧克力味的进价与箱牛奶味的进价的和为元，且每箱巧克力味的进价比每箱牛奶味的进价贵元． (1)求每箱巧克力味的进价与每箱牛奶味的进价分别是多少元？ (2)如果某一天超市购进了巧克力味的草莓箱，且每箱价格提高出售，购进了牛奶味的草莓箱，且每箱价格提高出售，问这一天超市全部卖完利润为多少元？ 3.某药店出售A、B两种口罩，已知该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元． (1)请分别求出A、B两种口罩每个的进价是多少元？ (2)已知药店将A种口罩每个提价1元出售，B种口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种口罩(两种口罩均要购买)共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 【题型二】 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 角度1 方案问题 【典题1】 今年4月23日是第29个“世界读书日”．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为提高学生的阅读品味，继续推动书香校园建设，现决定购买《红星照耀中国》和《十万个为什么》两种书共50本．已知购买2本《红星照耀中国》和1本《十万个为什么》需100元；购买6本《红星照耀中国》与购买7本《十万个为什么》的价格相同． (1)求这两种书的单价； (2)若购买《红星照耀中国》的数量不少于所购买《十万个为什么》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？ 变式练习 1. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说“至少18元．”乙说：“至多15元．”丙说：“至多12元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格(元)所在的范围为(    ) A． B． C． D． 2.某公司要将一批物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过1215箱．若该公司计划租用A，B两种型号的货车共70辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 角度2 最值问题 【典题1】随着人们对健康的高度重视，水果已成为每个家庭的生活必需品．一名在校大学生抓住机会，利用“互联网+”自主创业，在网上销售，两种水果，今年一、二月份销售情况如表所示：(，两种水果的销售单价保持不变) 销售数量(千克) 销售额(元) A种 B种 一月份 300 100 5200 二月份 400 200 8000 (1)求，两种水果售价分别是多少元/千克？ (2)若种水果的进价为元千克，种水果的进价为元千克，该大学生预计下个月用不低于元的资金购进，两种水果共千克(每种水果的进货数量必须为整数)，且种水果的数量不少于种水果的两倍． ①问有几种进货方案，并写出其中进货资金最少的方案； ②为了回馈社会，支援山区，该大学生决定每销售一千克水果，爱心捐赠元给某山区一所小学．假设每月购进的水果都能够全部销售，在进货资金最少的情况下，要使捐赠后最低获利元，试求的最大值． 变式练习 1. “黎侯虎”是一种传统手工艺品，起源于山西省黎城县，因黎城古称黎侯国而得名．某网店销售两款黎侯虎工艺品摆件，已知B款黎侯虎工艺品摆件的单价比A款黎侯虎工艺品摆件单价的2倍少42元，购买4个A款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买3个B款黎侯虎工艺品摆件所需费用多28元． (1)求两款黎侯虎工艺品摆件的单价． (2)某校历史社团组织全校开展“山西民俗我知道”的知识竞赛活动．该校历史社团打算购买这两款黎侯虎工艺品摆件共25个作为知识竞赛的奖品，且该历史社团的预算不超过1330元．求该历史社团最多能购买B款黎侯虎工艺品摆件的数量． 2.某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材和，若购买件器材和件器材共需要元，若购买件器材和件器材共需要元． (1)求每件器材，的销售价格； (2)学校准备用不多于元的金额购买这两种器材共件，还要求购买器材不少于件，则学校购买费用最少多少元？ 3.今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下． 名称 小份() 大份() 肉松小贝 16元 18元 巧克力欧包 12元 20元 购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份． (1)根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________． (2)为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？(优惠价格取最小整数) (3)在(2)中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝． 1.明代数学著作《珠算统筹》一书中记载这样一题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤 (一斤=16两)问：人和银各几何?”其大意为：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少半斤，问人和银各多少?设共有x人，y两银，则可列方程组为(     ) A． B． C． D． 2.如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为(　　)    A． B． C． D． 3.小明计划用元钱购买、两种笔记本，种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 4.某中学计划采购A，B两种型号的黑板共块，经洽谈，一块A型黑板需要元，一块B型黑板需要元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为(    ) A． B． C． D． 5.我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式(组)为(　　) A． B． C． D． 6.为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 7.为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． (1)求篮球和排球的单价； (2)据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率． 8.某商场欲购进和两种家电，已知种家电的进价比种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进种家电的件数与用1.2万元购进种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 1.会用二元一次方程组解决生活中的实际问题； 2.会用一元一次不等式组解决生活中的实际问题. 实际问题的求解步骤 ① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”. ② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量. ③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系； ④ 列：根据相等关系列方程； ⑤ 解：求解未知数； ⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位. 【题型一】实际问题与二元一次方程 角度1 数字问题 【典题1】 一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 变式练习 1. 有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【答案】甲数是24，乙数是12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y， 根据题意，得 解得 答：甲数是24，乙数是12． 角度2 几何问题 【典题1】如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 【答案】(1) (2)2秒或4秒 (3)或 【分析】(1)根据即可求出； (2)分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解； (3)分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【详解】(1)解：当点在边上运动时，，， ； (2)解：当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分． (3)解：当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或． 【点睛】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键． 变式练习 1. 如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，设宣传画的一边长为x，另一边长为y，根据等量关系列出方程组，根据矩形的周长公式即可求解，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设宣传画的一边长为x，另一边长为y， 则， ， 故选：B． 2.如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，设和的度数分别为，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设和的度数分别为， 由题意可得， 故选：． 3.如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】()设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， ()根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】(1)设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； (2)由()得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 角度3 行程问题 【典题1】 在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． (1)你能求出甲、乙两人的速度吗？ (2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1) 甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒；(2) 丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒． 【详解】(1)设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒； 根据题意得，解得， 答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒； (2)设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒， 根据题意得，解得， 答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒． 变式练习 1. 已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．设长江、黄河的长分别是x千米，y千米，则下列方程组中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组，找准等量关系是解决应用题的关键．题中的等量关系：①长江比黄河长836千米；②黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．据此列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：C． 2. A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？ 【答案】(1) 甲每小时行3千米，乙每小时行5千米． (2) 在他们出发后小时或小时两人相距1千米． 【详解】(1)设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米． 依题意，解方程组得， 答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米． (2)相遇前： (小时)， 相遇后： (小时)． 故在他们出发后小时或小时两人相距1千米． 角度4 销售问题 【典题1】 某超市购进A，B型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 大米种类 进价(元/袋) 售价(元/袋) A型 25 35 B型 30 42 (1)已知购进A，B型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？ (2)若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？ 【答案】(1)购进A型大米40袋，B型大米60袋； (2)1000元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及已知式子的值求代数式的值． (1)设购进A型大米x袋，B型大米y袋，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解． (2)设售出A型大米m袋，B型大米n袋，根据售出两种大米的销售总额为1400元得出m，n的关系式，再根据进货价为，然后代入即可求解． 【详解】(1)解：设购进A型大米x袋，B型大米y袋， 由题意得， 解得 答：购进A型大米40袋，B型大米60袋． (2)设售出A型大米m袋，B型大米n袋， 由题意得，， 化简得，， 进货价元． 变式练习 1. 某中学七年级(3)班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 【答案】(1)篮球每个元，足球每个元； (2)选用套餐①购买更划算． 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． (1)设篮球单价为每个元，足球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个足球，花元，并且每个足球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案； (2)分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案； 【详解】(1)解：设篮球单价为每个元，足球单价为每个元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个元，足球每个元； (2)解：若按照①套餐打折购买费用为： (元)， 若参加②满减活动购买费用为： (元)， 又， 所以(元)． 而， 所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 2.为了适合不同人群的口味，莱芜信誉楼超市购进了巧克力味、牛奶味的两种草莓进行销售．已知箱巧克力味的进价与箱牛奶味的进价的和为元，且每箱巧克力味的进价比每箱牛奶味的进价贵元． (1)求每箱巧克力味的进价与每箱牛奶味的进价分别是多少元？ (2)如果某一天超市购进了巧克力味的草莓箱，且每箱价格提高出售，购进了牛奶味的草莓箱，且每箱价格提高出售，问这一天超市全部卖完利润为多少元？ 【答案】(1)每箱巧克力味的进价为元，每箱牛奶味的进价为元 (2)这一天超市全部卖完利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用； (1)设每箱巧克力味的进价为元，每箱牛奶味的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； (2)根据(1)的结论，结合题意列出算式进行计算即可求解． 【详解】(1)解：设每箱巧克力味的进价为元，每箱牛奶味的进价为元 由题意可得，， 解得：， 答：每箱巧克力味的进价为元，每箱牛奶味的进价为元： (2)解：依题意，(元)； 答：这一天超市全部卖完利润为元． 3.某药店出售A、B两种口罩，已知该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元． (1)请分别求出A、B两种口罩每个的进价是多少元？ (2)已知药店将A种口罩每个提价1元出售，B种口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种口罩(两种口罩均要购买)共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种口罩的进价是3元，B种口罩的进价是5元 (2)共有2种购买方案，方案1：购买A种口罩6个，B种口罩2个；方案2：购买A种口罩3个，B种口罩4个 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； (1)设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，再利用该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元，再建立方程组求解即可； (2)设购买A种口罩m个，B种口罩n个，利用药店购买A、B两种口罩(两种口罩均要购买)共花费36元，再建立二元一次方程，利用方程的正整数解可得答案． 【详解】(1)解：设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，依题意得： ， 解得：， 答：A种口罩的进价是3元，B种口罩的进价是5元； (2)设购买A种口罩m个，B种口罩n个，依题意得： ，即， 解得：． 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴小雅共有2种购买方案， 方案1：购买A种口罩6个，B种口罩2个； 方案2：购买A种口罩3个，B种口罩4个． 【题型二】 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 角度1 方案问题 【典题1】 今年4月23日是第29个“世界读书日”．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为提高学生的阅读品味，继续推动书香校园建设，现决定购买《红星照耀中国》和《十万个为什么》两种书共50本．已知购买2本《红星照耀中国》和1本《十万个为什么》需100元；购买6本《红星照耀中国》与购买7本《十万个为什么》的价格相同． (1)求这两种书的单价； (2)若购买《红星照耀中国》的数量不少于所购买《十万个为什么》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元； (2)共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本． 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． (1)设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； (2)设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求出，根据m为正整数求解即可． 【详解】(1)设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元； (2)设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本， 根据题意得， 解得 ∵m为正整数 ∴当时，；当时，；当时，；当时，； ∴共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本． 变式练习 1. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说“至少18元．”乙说：“至多15元．”丙说：“至多12元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格(元)所在的范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答． 根据三人说法都错了得出不等式组解答即可． 【详解】根据题意可得：， 可得：， ∴． 故选：B． 2.某公司要将一批物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过1215箱．若该公司计划租用A，B两种型号的货车共70辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 【答案】(1)型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资 (2)租车方案共有3种，具体如下：①型货车14辆，型货车56辆；②型货车15辆，型货车55辆；③型货车16辆，型货车54辆． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用 (1)设A型号的货车每辆可装载x箱防疫物资，B型号的货车每辆可装载y箱防疫物资，由题意：若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资．列出二元一次方程组，解方程组即可； (2)设租用m辆A型号的货车，则租用辆B型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过1215箱．且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】(1)解：设型货车每辆可装载箱物资，型货车每辆可装载箱物资 由题意，得， 解得， 答：型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资． (2)解：设租用型货车辆，型货车辆．由题意，得 ， 解得， 因为是整数， 所以或， 所以租车方案共有3种，具体如下：①型货车14辆，型货车56辆；②型货车15辆，型货车55辆；③型货车16辆，型货车54辆． 角度2 最值问题 【典题1】随着人们对健康的高度重视，水果已成为每个家庭的生活必需品．一名在校大学生抓住机会，利用“互联网+”自主创业，在网上销售，两种水果，今年一、二月份销售情况如表所示：(，两种水果的销售单价保持不变) 销售数量(千克) 销售额(元) A种 B种 一月份 300 100 5200 二月份 400 200 8000 (1)求，两种水果售价分别是多少元/千克？ (2)若种水果的进价为元千克，种水果的进价为元千克，该大学生预计下个月用不低于元的资金购进，两种水果共千克(每种水果的进货数量必须为整数)，且种水果的数量不少于种水果的两倍． ①问有几种进货方案，并写出其中进货资金最少的方案； ②为了回馈社会，支援山区，该大学生决定每销售一千克水果，爱心捐赠元给某山区一所小学．假设每月购进的水果都能够全部销售，在进货资金最少的情况下，要使捐赠后最低获利元，试求的最大值． 【答案】(1)水果的售价为元/千克，水果的售价为元/千克 (2)①共有2种进货方案，进货资金最少的方案为：购进种水果千克，则购进种水果千克；②的最大值为 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组的应用； (1)设水果的售价为元/千克，水果的售价为元/千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； (2)①设购进种水果千克，则购进种水果千克，根据题意列出不等式组，求得不等式组的整数解，进而求得进价最少的方案； ②根据题意列出不等式，解不等式，求得最大值即可求解． 【详解】(1)解：设水果的售价为元/千克，水果的售价为元/千克，根据题意得， 解得： 答：水果的售价为元/千克，水果的售价为元/千克 (2)①解：设购进种水果千克，则购进种水果千克，依题意得， 解得： ∵每种水果的进货数量必须为整数 ∴或 则共有2种进货方案， 当时， 当时， ∵ ∴当时，， 即进货资金最少的方案为：购进种水果千克，则购进种水果千克； ②解：依题意， 解得： ∴的最大值为 变式练习 1. “黎侯虎”是一种传统手工艺品，起源于山西省黎城县，因黎城古称黎侯国而得名．某网店销售两款黎侯虎工艺品摆件，已知B款黎侯虎工艺品摆件的单价比A款黎侯虎工艺品摆件单价的2倍少42元，购买4个A款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买3个B款黎侯虎工艺品摆件所需费用多28元． (1)求两款黎侯虎工艺品摆件的单价． (2)某校历史社团组织全校开展“山西民俗我知道”的知识竞赛活动．该校历史社团打算购买这两款黎侯虎工艺品摆件共25个作为知识竞赛的奖品，且该历史社团的预算不超过1330元．求该历史社团最多能购买B款黎侯虎工艺品摆件的数量． 【答案】(1)A款黎侯虎工艺品摆件的单价为49元，B款黎侯虎工艺品摆件的单价为56元 (2)该历史社团最多能购买B款黎侯虎工艺品摆件15个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． (1)设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单价为y元，然后根据题意列出方程组求解即可； (2)设该历史社团购买B款黎侯虎工艺品摆件个，然后根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】(1)解：设A款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，B款黎侯虎工艺品摆件的单价为元． 根据题意，得，解得， 答：A款黎侯虎工艺品摆件的单价为49元，B款黎侯虎工艺品摆件的单价为56元． (2)设该历史社团购买B款黎侯虎工艺品摆件个． 根据题意，得． 解得． 为正整数， 的最大值为15． 答：该历史社团最多能购买B款黎侯虎工艺品摆件15个． 2.某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材和，若购买件器材和件器材共需要元，若购买件器材和件器材共需要元． (1)求每件器材，的销售价格； (2)学校准备用不多于元的金额购买这两种器材共件，还要求购买器材不少于件，则学校购买费用最少多少元？ 【答案】(1)每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组以及二元一次方程组的应用． (1)设、价格的未知数，根据已知条件列方程组． (2)设、数量的未知数，求出未知数的大小范围，根据要求选择合适的数量进行求和． 【详解】(1)解：设每件器材为元，每件器材为元， 由题可得方程组为：， 解得：， 所以每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元； (2)设器材买件，器材买件， 解：由题可得方程组为：， 解得：， 若要使学校购买费用最少，那么由于器材的销售价格低于器材的销售价格，所以当器材的购买数量最大时，学校购买费用最少， 即当时，购买费用最少为：元． 3.今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下． 名称 小份() 大份() 肉松小贝 16元 18元 巧克力欧包 12元 20元 购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份． (1)根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________． (2)为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？(优惠价格取最小整数) (3)在(2)中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝． 【答案】(1)巧克力欧包 (2)大份每份应优惠4元 (3)然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出不等式组． (1)根据题中表格分别计算即可； (2)设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元，由题意列不等式解答即可； (3)设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包，由题意列不等式组解答即可； 【详解】(1)解：购买肉松小贝大份每克的价格：元， 肉松小贝小份每克的价格：元， ∴购买肉松小贝大份每克的价格比小份每克的价格便宜； 巧克力欧包大份每克的价格：元， 巧克力欧包小份每克的价格：元， ∴购买巧克力欧包大份每克的价格比小份每克的价格还贵； 故此种糕点为巧克力欧包， 故答案为：巧克力欧包． (2)设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元． 由题意，得， 解得． ∵x取最小整数， ∴，即大份每份应优惠4元． (3)设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包． 由题意，得 解得． 答：然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝． 1.明代数学著作《珠算统筹》一书中记载这样一题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤 (一斤=16两)问：人和银各几何?”其大意为：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少半斤，问人和银各多少?设共有x人，y两银，则可列方程组为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：根据“每人分7两，则多4两”可得； 根据“每人分9两，则少半斤” 可得； 故选：B 2.如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大长方形的对边相等，列出关于、的二元一次方程组即可，本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形对边相等的性质，列出等量关系式． 【详解】解：根据图题意得：， 故选：． 3.小明计划用元钱购买、两种笔记本，种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设购买、两种笔记本分别为本，本，根据题意，列出二元一次方程，求出、正整数解即可． 【详解】解：设购买、两种笔记本分别为本，本， 由题意得：， ， 、均为正整数， 当时，，当时，， 故有种购买方案， 故选：D． 4.某中学计划采购A，B两种型号的黑板共块，经洽谈，一块A型黑板需要元，一块B型黑板需要元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：∵采购A型黑板x块，计划采购A，B两种型号的黑板共块， ∴采购B型黑板块， ∵B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍， ∴； ∵学校此次划拨采购黑板的总费用为元 ∴ 故选：D 5.我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式(组)为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题列不等式组，易得学生总人数，有一间宿舍不空但所住的人数不足5人是一个宿舍人数比0多，比5人少，关系式为：总人数间宿舍的人数；总人数间宿舍的人数，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住， ∴学生总人数为人， 由题意得：， 故选：C． 6.为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 【答案】一班有个同学，领到有棵树苗； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一班有x个同学，领到有y棵树苗，根据数量列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得， ， 解得， 答：一班有个同学，领到有棵树苗． 7.为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． (1)求篮球和排球的单价； (2)据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率． 【答案】(1)篮球单价是56元，排球的单价是48元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找出等量关系列二元一次方程组和找出各数量关系列出不等式是解题的关键； (1)设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元”，即可得出关于x、y的二元一次方程方程组，解方程即可； (2)设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据“篮球和排球最少剩下43个”，列一元一次不等式，求出最大值即可． 【详解】(1)设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得 解得：， 答：篮球单价是56元，排球的单价是48元． (2)解：设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据题意得： 解得：， 当损耗率损耗率最大， 排球的最大损耗率为 8.某商场欲购进和两种家电，已知种家电的进价比种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进种家电的件数与用1.2万元购进种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种家电每件进价500元，种家电每件进价600元 (2)共有3种购买方案．方案1：购进种家电65件，种家电35件．方案2：购进种家电66件，种家电34件．方案3：购进种家电67件，种家电33件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； (1)设A种家电每件进价为x元，根据“用1万元购进A种家电的件数与用万元购进B种家电的件数相同”再建立方程求解即可； (2)设购进A种家电a件，根据“该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且种家电不超过67件”再建立不等式解题即可． 【详解】(1)解：设种家电每件进价为元，则种家电每件进价为元．根据题意得   解得： 经检验，是原方程的解且符合题意 答：种家电每件进价500元，种家电每件进价600元． (2)设购进种家电件，则购进种家电件．根据题意得   解得 又为正整数 的值可以为65，66，67． 该商场共有3种购买方案． 方案1：购进种家电65件，种家电35件． 方案2：购进种家电66件，种家电34件． 方案3：购进种家电67件，种家电33件． 10 学科网（北京）股份有限公司 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