第01讲 有理数与数轴-2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第01讲 有理数与数轴 1.理解正数和负数的概念，了解相反意义的量； 2.掌握有理数的定义和分类； 3.掌握数轴的三要素，会画数轴. 1 正数和负数 (1)正数和负数的概念 正数：比大的数；负数：比小的数； (2)具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量. (3)的意义 ① 表示“没有”，比如贵哥钱包有元，表示他钱包里没钱； ② 是正数和负数的分界线，即不是正数，也不是负数； ③ 表示一个确切的量，比如温度计中的，说海拔时会以海平面为基准，则米表示海平面. 2 有理数的概念 整数和分数统称为有理数. 3 有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (2)按正数负数来分 4 数轴的概念 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 5数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 6利用数轴表示两数的大小 (1)在数轴上，越往右的数越大； (2)正数都大于，负数都小于，正数大于负数. 【题型一】 正数和负数的概念 相关知识点讲解 (1)正数：比大的数；负数：比小的数； (2)负数：在正数的前面加上“”(负号)的数； (3)即不是正数，也不是负数. (4). Eg： ，，是正数；，是负数. 解释 (1) 不一定是负数，说法：“带正号的数是正数，带负号的数是负数”是不正确的； 字母表示任意数，当是正数时，是负数；当是负数时，是正数；是时，仍是； (2) 正数有时可以在前面加“+”，有时也可以省略. 【典题1】 在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习 1.下列说法正确的是(    ) A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数 2.下列各数中，是正数的是(   ) A． B．0 C．2 D． 3.下列各数中，是负数的是(    ) A．5 B． C．0 D． 4.在中，负数有(  ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.正数和负数的定义：(1)像5，1.2，，……这样的数叫做 ，它们都比 大； (2)在正数前面加上“－”号的数叫做 ，如： －10，－3等，它们都比 小； (3) 0 既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【题型二】 具有相反意义的量 相关知识点讲解 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量. Eg：零上表示为正数，则表示零下. 【典题1】 下列各对量中，不具有相反意义的是(    ) A．胜2局与负3局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高与气温为零下 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【典题2】某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示(　　) A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【典题3】一种食品的包装质量标准是“”，下列几包抽检合格的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.下列各组数中，不是互为相反意义的量的是 (    ) A．收入200元与支出20元 B．上升10米和下降7米 C．超过与不足 D．增大2岁与减少2升 2.在下列选项中、具有相反意义的量是(    ) A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米 C．向东走3千米与向南走4千米 D．足球比赛胜5场与平2场 3.中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入300元记作元，那么元表示(    ) A．支出100元 B．收入100元 C．支出200元 D．收入200元 4.如果表示向东走，那么表示(    ) A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 5.2023年第31届世界水日宣传语为：珍惜每滴清水，拥有美好明天．世界水日提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小丽将节约用水3立方米记作立方米，那么浪费用水2立方米记作(    ) A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 6.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进35吨粮食记为“”，则“”表示(    ) A．卖掉35吨粮食 B．亏损35吨粮食 C．运出35吨粮食 D．吃掉35吨粮食 7.如图，这是小李的微信钱包账单截图，若表示收入66.38元，则下列说法正确的是(    ) A．表示收入11.50元 B．表示支出11.50元 C．表示支出元 D．这两项的收支和为77.88元 8.如图是某用户微信支付情况，若收入元记作“元”，那么“元”表示的意思是(    ) A．抢到100元红包 B．余额100元 C．转账收入100元 D．发出100元红包 9.某大米的重量的标识为，以下不符合要求的是(   ) A． B． C． D． 10.一袋糖果包装上印有“总质量克”的字样，小红拿去称了一下，发现质量为498克，则该糖果厂家 (填“有”或“没有”)欺诈行为． 【题型三】 有理数的概念和分类 相关知识点讲解 1整数和分数统称为有理数. 解释 (1) 正整数、、负整数统称为整数；其中和正整数统称为自然数； 正整数：;负正数: (2)正分数和负分数统称为分数； 正分数：，，，，…；负分数：，，，，…； (3)凡能写成(为整数且)形式的数，都是有理数. ① 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都是有数，比如; ② 整数也能化为分数，也是有理数； ③ 是无限不循环小数，不能写出分数形式，不是有理数. 2有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (2)按正数负数来分 【典题1】 下列关于有理数的说法正确的是(　　) A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【典题2】 把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{               …}； 非负整数集合{                  …}； 整数集合{                 …}； 正分数集合{                 …}． 变式练习 1.下列说法正确的是(   ) A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 2.下列说法中正确的是(    ) A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数 3.在0，，，，中，有理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.下列说法中，错误的是(   ) A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数 5.把下列各数填到相应的集合中：，，，，，0，． 分数集合：{             }； 负分数集合：{            }； 整数集合：{             }； 正整数集合：{             }； 正有理数集合：{             }． 【题型四】 数轴 相关知识点讲解 1 数轴的概念 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 【例】 画一条数轴. 解析 解释 (1)在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点； (2)通常规定直线上向右(或上)为正方向，从原点向左(或向下)为反方向； (3)同一数轴上的单位长度要一致，单位长度的具体长度选择根据实际出发； (4)数轴是一条直线，原点、正方向、单位长度缺一不可； 2数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 3 利用数轴表示两数的大小 (1)在数轴上，越往右的数越大； (2)正数都大于，负数都小于，正数大于负数. 【典题1】 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是(    ) A．   B．   C．   D．   【典题2】(1)请把下面不完整的数轴补充完整； (2)把下列各数：在数轴上表示出来； (3)将(2)中的数用“”连接起来． 变式练习 1. 下列数轴画得正确的是(    ) A． B． C． D． 2.已知点和点在同一个数轴上，点表示数为，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是(    ) A．3 B．7 C．3或 D．3或7 3.如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 ．    4.有一列数：0.5，3，，，； (1)补全下面的数轴，并把上述各数在数轴上表示出来； (2)把这一列数按从小到大的顺序排列起来，并用“<”连接． 5.如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t(秒)．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【A组---基础题】 1.已知下列各数：，，0，，，11．其中正数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出5元记作元，那么收入6元记作(   ) A．元 B．0元 C．元 D．元 3.一袋面粉的标准质量是，如果把一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为(   ) A． B． C． D． 4.已知实数，则下列各式中一定大于0的是(    ) A． B． C． D． 5.点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是(　　) A． B．6 C．或6 D．或2 6.巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表一．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为，则巴黎时间记为 ． 表一 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5:00 11:00 13:00 7.下列各数：中，有理数有 个． 8.判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中． ，，，0，6.5，，6，，，，π (1)整数集合：｛            …｝ (2)分数集合：｛         …｝ (3)非负数集合：｛        …｝ (4)非正数集合：｛       …｝ (5)正有理数集：｛        …｝ 9.请根据题目要求进行解答：题目“将数，，0，，0．75在数轴上表示出来．” ①在图中先将数轴完善起来，再用数轴上的点表示题目的数； ②请用“”将题目中的数连接起来，并说出你的理由． 10.如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【B组---提高题】 1.如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________(用含的代数式表示)； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 有理数与数轴 1.理解正数和负数的概念，了解相反意义的量； 2.掌握有理数的定义和分类； 3.掌握数轴的三要素，会画数轴. 1 正数和负数 (1)正数和负数的概念 正数：比大的数；负数：比小的数； (2)具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量. (3)的意义 ① 表示“没有”，比如贵哥钱包有元，表示他钱包里没钱； ② 是正数和负数的分界线，即不是正数，也不是负数； ③ 表示一个确切的量，比如温度计中的，说海拔时会以海平面为基准，则米表示海平面. 2 有理数的概念 整数和分数统称为有理数. 3 有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (2)按正数负数来分 4 数轴的概念 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 5数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 6利用数轴表示两数的大小 (1)在数轴上，越往右的数越大； (2)正数都大于，负数都小于，正数大于负数. 【题型一】 正数和负数的概念 相关知识点讲解 (1)正数：比大的数；负数：比小的数； (2)负数：在正数的前面加上“”(负号)的数； (3)即不是正数，也不是负数. (4). Eg： ，，是正数；，是负数. 解释 (1) 不一定是负数，说法：“带正号的数是正数，带负号的数是负数”是不正确的； 字母表示任意数，当是正数时，是负数；当是负数时，是正数；是时，仍是； (2) 正数有时可以在前面加“+”，有时也可以省略. 【典题1】 在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了正数的识别，熟知正数是大于0的数是解题的关键． 【详解】解：在，π，0，11，，3这六个数中，正数有π，11，3，共3个， 故选；C． 变式练习 1.下列说法正确的是(    ) A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数．根据正负数的定义，对各个选项中的说法进行判断即可． 【详解】解：A、可以表示正数、负数和0，可以是负数、正数和0，故此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B、一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C、既不是正数也不是负数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D、在正数的前面加“”号，就成了负数，此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2.下列各数中，是正数的是(   ) A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据正数的意义判断即可． 【详解】解：A.是负数，不符合题意； B.0既不是正数又不是负数，不符合题意； C.2是正数，符合题意； D.−5是负数；不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． 3.下列各数中，是负数的是(    ) A．5 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案；本题考查了正数和负数，掌握负数的定义是解题的关键． 【详解】根据小于零的数是负数，可得 为负数， 5，均为正数 0既不是正数也不是负数 故选：D． 4.在中，负数有(  ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】此题主要考查正负数的分类、注意0既不是正数也不是负数．根据大于0的为正数；小于0的为负数；0既不是正数也不是负数；由此进行分类即可． 【详解】解：在这7个数中， 负数有：，共3个； 故选：A． 5.正数和负数的定义：(1)像5，1.2，，……这样的数叫做 ，它们都比 大； (2)在正数前面加上“－”号的数叫做 ，如： －10，－3等，它们都比 小； (3) 0 既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【答案】 正数 0 负数 0 正数 负数 正数 负数 【分析】根据正数和负数的定义解答． 【详解】解：(1)像5，1.2，，……这样的数叫做正数，它们都比0大； 故答案为：正数，0； (2)在正数前面加上“－”号的数叫做负数，如： －10，－3等，它们都比0小； 故答案为：负数，0； (3) 0 既不是正数，也不是负数．0是正数和负数的分界点 故答案为：正数；，负数；正数；负数． 【点睛】本题考查正数和负数的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【题型二】 具有相反意义的量 相关知识点讲解 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量. Eg：零上表示为正数，则表示零下. 【典题1】 下列各对量中，不具有相反意义的是(    ) A．胜2局与负3局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高与气温为零下 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】C 【分析】 本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，一般情况下一对反义词具有相反意义． 【详解】解：A、胜局2与负3局具有相反意义，故本选项不符合题意； B、盈利3万元与亏损3万元具有相反意义，故本选项不符合题意； C、气温升高与气温升高没有相反意义，故本选项符合题意； D、转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈具有相反意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【典题2】某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示(　　) A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 【典题3】一种食品的包装质量标准是“”，下列几包抽检合格的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数与负数，弄清题意是解本题的关键．根据质量标识确定出合格的范围，即可做出判断． 【详解】解：根据食品的包装质量标准是“”，可知，合格的范围是： ， 则合格的是． 故选：C． 变式练习 1.下列各组数中，不是互为相反意义的量的是 (    ) A．收入200元与支出20元 B．上升10米和下降7米 C．超过与不足 D．增大2岁与减少2升 【答案】D 【分析】本题考查“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．据此逐一判断即可． 【详解】解：增大2岁与减少2升不是互为相反意义的量． 故选：D． 2.在下列选项中、具有相反意义的量是(    ) A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米 C．向东走3千米与向南走4千米 D．足球比赛胜5场与平2场 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反意义的量，正数和负数，解题的关键是熟练掌握正数和负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A、收入20元与支出30元是一对相反意义的量，故本选项符合题意； B、上升了6米和后退了7米不是一对相反意义的量，故本选项不符合题意； C、向东走3千米与向南走4千米不是一对相反意义的量，故本选项不符合题意； D、足球比赛胜5场与平2场不是一对相反意义的量，故本选项不符合题意． 故选：A． 3.中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入300元记作元，那么元表示(    ) A．支出100元 B．收入100元 C．支出200元 D．收入200元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．即可求解． 【详解】解：如果收入300元记作元，那么元表示支出100元． 故选：A． 4.如果表示向东走，那么表示(    ) A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】B 【分析】本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数表示意义相反的数．利用正数、负数分别表示意义相反的数解题． 【详解】解：表示向东走， 表示向西走， 故选：B 5.2023年第31届世界水日宣传语为：珍惜每滴清水，拥有美好明天．世界水日提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小丽将节约用水3立方米记作立方米，那么浪费用水2立方米记作(    ) A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】A 【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．利用相反意义量的定义判断即可． 【详解】解：如果节约用水3立方米记作立方米，那么浪费用水2立方米记作立方米． 故选：A 6.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进35吨粮食记为“”，则“”表示(    ) A．卖掉35吨粮食 B．亏损35吨粮食 C．运出35吨粮食 D．吃掉35吨粮食 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：粮库把运进35吨粮食记为“”， “”表示运出35吨粮食； 故选：C． 7.如图，这是小李的微信钱包账单截图，若表示收入66.38元，则下列说法正确的是(    ) A．表示收入11.50元 B．表示支出11.50元 C．表示支出元 D．这两项的收支和为77.88元 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：根据表示收入元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示， 表示支出元，故B本选项符合题意； 故选：B． 8.如图是某用户微信支付情况，若收入元记作“元”，那么“元”表示的意思是(    ) A．抢到100元红包 B．余额100元 C．转账收入100元 D．发出100元红包 【答案】D 【分析】本题考查用负数表示相反意义的量，根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，表示的意思是发出元红包． 故选：D． 9.某大米的重量的标识为，以下不符合要求的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意得出大米的重量范围在之间，即可得到答案． 【详解】解：大米的重量的标识为， 大米的重量范围在之间， 不符合要求， 故选：A． 10.一袋糖果包装上印有“总质量克”的字样，小红拿去称了一下，发现质量为498克，则该糖果厂家 (填“有”或“没有”)欺诈行为． 【答案】没有 【分析】本题考查的是正数与负数．理解字样的含义，食品的质量在克，即食品在克与克之间都合格． 【详解】解：∵总质量克， ∴食品在克，即食品在克与克之间都合格， 而产品为克，在范围内，故合格， ∴厂家没有欺诈行为． 故答案为：没有． 【题型三】 有理数的概念和分类 相关知识点讲解 1整数和分数统称为有理数. 解释 (1) 正整数、、负整数统称为整数；其中和正整数统称为自然数； 正整数：;负正数: (2)正分数和负分数统称为分数； 正分数：，，，，…；负分数：，，，，…； (3)凡能写成(为整数且)形式的数，都是有理数. ① 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都是有数，比如; ② 整数也能化为分数，也是有理数； ③ 是无限不循环小数，不能写出分数形式，不是有理数. 2有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (2)按正数负数来分 【典题1】 下列关于有理数的说法正确的是(　　) A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 【典题2】 把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{              …}； 非负整数集合{                 …}； 整数集合{                …}； 正分数集合{                …}． 【答案】3.5，，，10，；0，10；，0，10；3.5，，， 【分析】 本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正有理数，非负整数，整数，正分数的定义可得出答案． 【详解】解：正有理数集合{，，，10，，…}； 非负整数集合{ 0，10，…}； 整数集合{，0，10，…}； 正分数集合{，，，，…}． 故答案为：，，0.03，10，；0，10；，0，10；，，0.03，． 变式练习 1.下列说法正确的是(   ) A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【答案】A 【分析】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是熟记概念，注意0的划分范围．按照正负，有理数分为正有理数、0、负有理数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；逐一分析选项作答即可． 【详解】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意； C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意； D．一个有理数不是整数就是分数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2.下列说法中正确的是(    ) A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键． 【详解】解：、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意； 、既不是正数也不是负数，该选项错误，不合题意； 、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意； 、是最大的负整数，该选项错误，不合题意； 故选：． 3.在0，，，，中，有理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数可以化为有限小数或无限循环小数，据此即可求解． 【详解】解：在0，，，，中，有理数有0，，三个． 故选：C 4.下列说法中，错误的是(   ) A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是负有理数，故A不符合题意； B、是整数，故B符合题意； C、是正有理数，故C不符合题意； D、是负分数，故D不符合题意； 故选：B． 5.把下列各数填到相应的集合中：，，，，，0，． 分数集合：{            }； 负分数集合：{           }； 整数集合：{            }； 正整数集合：{            }； 正有理数集合：{            }． 【答案】；；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类及定义进行分类即可． 【详解】解：分数集合：； 负分数的集合：； 整数集合：； 正整数集合：； 正有理数集合：， 故答案为：；；；；． 【题型四】 数轴 相关知识点讲解 1 数轴的概念 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 【例】 画一条数轴. 解析 解释 (1)在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点； (2)通常规定直线上向右(或上)为正方向，从原点向左(或向下)为反方向； (3)同一数轴上的单位长度要一致，单位长度的具体长度选择根据实际出发； (4)数轴是一条直线，原点、正方向、单位长度缺一不可； 2数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 3 利用数轴表示两数的大小 (1)在数轴上，越往右的数越大； (2)正数都大于，负数都小于，正数大于负数. 【典题1】 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴的基本要素是解题关键．规定了原点、正方向和规定长度的直线叫数轴，数轴的三要素缺一不可，据此分析判断即可． 【详解】解：A.没有原点，故此选项错误，不符合题意； B.单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C.没有正方向，故此选项错误，不符合题意； D.符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【典题2】(1)请把下面不完整的数轴补充完整； (2)把下列各数：在数轴上表示出来； (3)将(2)中的数用“”连接起来． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】(1)根据数轴的三要素：正方向，单位长度，原点，补充数轴即可； (2)根据有理数在数轴上的表示方式将数表示在数轴上即可； (3)根据数轴上正方向的数总是小于负方向的数排列大小即可． 【详解】解：(1)数轴表示如下： ； (2)； (3)． 【点睛】本题考查了数轴的三要素，在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，将有理数准确表示在数轴上是解本题的关键． 变式练习 1. 下列数轴画得正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2.已知点和点在同一个数轴上，点表示数为，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是(    ) A．3 B．7 C．3或 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示方法，数形结合，由数轴上两点之间距离的表示方法直接求解即可得到答案，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得， 点表示数为， 点表示的数是3或， 故选：C． 3.如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 ．    【答案】M 【分析】本题考查的是数轴，正数和负数，根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数， ∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧， ∴表示负数的是点M， 故答案为：M． 4.有一列数：0.5，3，，，； (1)补全下面的数轴，并把上述各数在数轴上表示出来； (2)把这一列数按从小到大的顺序排列起来，并用“<”连接． 【答案】(1)数轴见解析 (2) 【分析】(1)根据数轴的三要素：单位长度，正方向，原点，将数轴补充完整，然后将上述各数表示在数轴上即可； (2)根据数轴上的数，负方向的数总是小于正方向的数进行解答即可． 【详解】(1)解：补全数轴以及数轴表述数如下： (2)解：． 【点睛】本题考查了数轴的三要素，在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，熟练掌握有理数在数轴的表示方法是解本题的关键． 5.如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t(秒)．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． (1)计算出点Q运动的路程，即可解答； (2)计算出点Q的运动路程，即可解答； (3)分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】(1)解：当时， 点Q表示的数为； (2)解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 (3)解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【A组---基础题】 1.已知下列各数：，，0，，，11．其中正数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，11是正数，则正数有2个， 故选：B． 2.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出5元记作元，那么收入6元记作(   ) A．元 B．0元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数的意义．根据正负数的意义可进行求解． 【详解】解：支出5元记作元， 收入6元记作元； 故选：A． 3.一袋面粉的标准质量是，如果把一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数表达相反意义的量．根据正负数的意义，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示即可． 【详解】解：一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为． 故选：． 4.已知实数，则下列各式中一定大于0的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的大小，对于选项A，B，C可以举反倒，由于可得，从而可判断D 【详解】解：A．∵当时，，∴不正确； B．∵当时，，∴不正确； C．∵当时，，∴不正确； D．∵，∴，∴正确； 故选：D． 5.点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是(　　) A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】C 【分析】 本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数(注意考虑在原点左侧或右侧两种情况)，再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题． 【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度， 所以点A表示的数是4或， 又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点， 所以点B表示的数是：或． 故选：C． 6.巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表一．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为，则巴黎时间记为 ． 表一 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5:00 11:00 13:00 【答案】 【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为，则巴黎时间记为， 故答案为：． 7.下列各数：中，有理数有 个． 【答案】5 【分析】 本题考查负有理数的识别，熟练掌握整数和分数统称有理数是解题的关键．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：这5个数是有理数． 故答案为：5 8.判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中． ，，，0，6.5，，6，，，，π (1)整数集合：｛           …｝ (2)分数集合：｛        …｝ (3)非负数集合：｛       …｝ (4)非正数集合：｛      …｝ (5)正有理数集：｛       …｝ 【答案】(1)，0，6， (2)，，6.5，，，， (3)，0，6.5，6，，，π (4)，，0，， (5)，6.5，6，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．根据整数、分数、非负数、正有理数以及负数的定义进行判断即可． 【详解】(1)解：整数集合：｛，0，6，…｝ 故答案为：，0，6； (2)解：分数集合：｛，，6.5，，，，，…｝ 故答案为：，，6.5，，，，； (3)解：非负数集合：｛，0，6.5，6，，，π…｝ 故答案为：，0，6.5，6，，，π； (4)解：非正数集合：｛，，0，，，…｝ 故答案为：，，0，，； (5)解：正有理数集：｛，6.5，6，，，…｝ 故答案为：，6.5，6，，； 9.请根据题目要求进行解答：题目“将数，，0，，0．75在数轴上表示出来．” ①在图中先将数轴完善起来，再用数轴上的点表示题目的数； ②请用“”将题目中的数连接起来，并说出你的理由． 【答案】①见解析，②，理由见解析 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． ①先完善数轴，然后在数轴上准确找到各数对应的点； ②利用①的结论，即可解答． 【详解】解：①如图： ②由①得：， 理由：数轴上，左边的数小于右边的数． 10.如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【答案】(1)1； (2)； (3)能，移动方法共有种：方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为． 【分析】 本题考查数轴的简单应用，理解点在数轴上的移动规律与点对应的数相应的变化是解题的关键． (1)由数轴上的点的移动规律即可求解． (2)由数轴上的点的移动规律即可求解． (3)由数轴上的点的移动规律并分类讨论即可求解． 【详解】(1) 因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所表示的数是； (2) 因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的数是； (3) 一共有种移动方法能使移动，，三个点中的任意两个点之后，三个点表示的数相等，且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 【B组---提高题】 1.如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________(用含的代数式表示)； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． (1)根据数轴上两点间的距离公式即可求解； (2)①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】(1)解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； (2)①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$